上海市青浦高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

上海市青浦高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月質(zhì)量檢

測數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.直線3x-2y+5=O的一個(gè)法向量為.

2.拋物線y?=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

3.點(diǎn)（9,-7,1）關(guān)于xQy平面對(duì)稱點(diǎn)是.

4.若事件A發(fā)生的概率為r,則它的對(duì)立事件發(fā)生的概率為.

5.空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1,點(diǎn)瓦巴G分別是AB,AD,DC

的中點(diǎn)，則而?通的值為.

6.已知點(diǎn)P和點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為和（1,2）,若直線/：x+，wy+，〃=0與線段PQ相交,

則機(jī)的取值范圍是

22

7.已知方程工+^^=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

k-410-Jt

8.已知口/WC的頂點(diǎn)4（-3,0）、8（6,0）,若頂點(diǎn)C在拋物線y=/上移動(dòng)，則門A8C的

重心的軌跡方程為.

9.若隨機(jī)事件AB互斥，A,8發(fā)生的概率均不等于0,且分別為P（4）=3-2?,

P（B）=5a-6,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

22

10.已知橢圓E:=+4=l（a>b>0）的半焦距為C,且C=6b,若橢圓E經(jīng)過A，B兩

a'b'

點(diǎn)，且AB是圓〃：食+2）2+（），-1）2=產(chǎn)的一條直徑，則直線AB的方程為.

y+l+>/2

11.設(shè)滿足/+9一2國一21M=0,則的取值范圍為

X+5+V2

12.空間中到正方體ABC。-AAGR棱4。，AB,CG距離相等的點(diǎn)有

個(gè).

二、單選題

13.已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4B,C,若

—?—?—?—?/、..31

O￡>=，"OA+〃O3+/?OCG??,”,p€R),貝四點(diǎn)共面"是"=5,n=-,P=-1

的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.直線/：y-履-1=0與橢圓二+t=1恒有公共點(diǎn)，則"?的取值范圍是()

5m

A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)55,+<?)D.[l,+oo)

15.已知點(diǎn)0,43,C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量￡=3+麗+兀，向量

b=OA+OB-OC,則與肩B不能構(gòu)成空間基底的向量是()

A.OAB.QBC.OCD.礪或而

16.已知正方體ABC。-ABCA的棱長為3,動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面8CCg上運(yùn)動(dòng)(包括邊界),

且則與平面AORA所成角的正切值的取值范圍為()

兒何B.[答』[C.悟[]D.[1,715]

三、解答題

17.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作

(1)設(shè)5名同學(xué)為：甲、乙、人權(quán)c,寫出這一事件的樣本空間；

(2)求甲、乙都入選的概率.

18.如圖所示，在平行六面體ABC。-A耳GA中，。為AC的中點(diǎn).

(1)化簡：Afi--AB--AD.

22

__2____

(2)設(shè)E是棱。4上的點(diǎn)，且瓦=§函，若西=x^+y而+z麗，試求實(shí)數(shù)X,

y,z的值.

試卷第2頁，共4頁

19.在長方體AgCQ中，AD=A4,=1,45=3,點(diǎn)E是棱A3上的點(diǎn),

AE=2EB.

⑴求異面直線4。與EC所成角的大小;

(2)求點(diǎn)C到平面1DE的距離.

20.折紙又稱“工藝折紙”，是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源

遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用圓形紙片，按如下步驟折紙(如

下圖)，

步驟1：設(shè)圓心是。，在圓內(nèi)不是圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為尸；

步驟2：把紙片對(duì)折，使圓周正好通過B

步驟3：把紙片展開，于是就留下一條折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,能得到越來越多條的折痕.

所有這些折痕圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心0的

距離為2,按上述方法折紙.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

7T

(2)求經(jīng)過F,且與直線R?夾角為7的直線被橢圓截得的弦長.

4

TT

21.在梯形A88中，AB//CD,ABAD=-,AB=2AD=2CD=4,尸為的中點(diǎn)，

線段/C與。P交于。點(diǎn)(如圖1).將AACD沿AC折起到A4C。位置,使得平面D'AC1

平面8AC(如圖2).

圖1圖2

(1)求證：8c〃平面P0。；

(2)求二面角的大??；

(3)線段PO上是否存在點(diǎn)0,使得CQ與平面BCD所成角的正弦值為好？若存在,

8

求出空的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.（3,-2）（答案不唯一）

【分析】根據(jù)方程直接寫出即可.

【詳解】直線At+B.y+C=O的一個(gè)法向量為（AS）

所以直線3x-2y+5=0的一個(gè)法向量為（3,-2）.

故答案為：（3,-2）.（答案不唯一）

2.（1.0）

【詳解】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)在X軸上，Kp=2,.-.1=所以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)

為（1,0）,故答案為。,0）.

3.（9,-7,-1）

【分析】根據(jù)關(guān)于什么對(duì)稱什么不變來得答案.

【詳解】點(diǎn)（9,-7,1）關(guān)于x0y平面對(duì)稱點(diǎn)是（9,-7,-1）

故答案為：（9,-7-1）

4.+1

【分析】直接根據(jù)互為對(duì)立事件的概率和為1得答案.

【詳解】若事件A發(fā)生的概率為，，則它的對(duì)立事件發(fā)生的概率為1-r

故答案為：I-/

5.-##0.25

4

【分析】由題意，四面體是正四面體，每個(gè)三角形都是等邊三角形，利用向量的數(shù)量積的定

義解答.

【詳解】FGAB=-ACAB=-xlxlxcos60°=-

224

故答案為：7.

4

答案第1頁，共12頁

A

【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)P，Q在直線/兩側(cè)或在直線/上，BP（-1+2/H）-（1+3/M）＜0,求解即可.

【詳解】若直線//+四-〃，=0與線段尸。相交，

則點(diǎn)P,。在直線/兩側(cè)或在直線/上，

則有（-1+2m）-（1+3〃。40,

解得：，

所以用的取值范圍是,

故答案為：?

7.坪<4或%>10}

【分析】根據(jù)雙曲線的尤2,丁項(xiàng)的系數(shù)異號(hào)列不等式求解.

，2

【詳解】方程F+」一=1表示雙曲線，則（"4）（10-％）＜0,

k―410—/r

解得Z＜4或Q10

故答案為：坪＜4或00}

8.y=3（x-l）~1

xr=3x-3

【解析】設(shè)的重心G（X?）,c（y,y）,x^o,由重心的性質(zhì)可得,,，代入拋

7=3y

物線方程化簡即可得解.

【詳解】設(shè)J3C的重心G(x,y),C(x',y'\x'^0,

x=

xf=3x-3

則有，,即所以XHl,

y'=3y

y=

答案第2頁，共12頁

因?yàn)辄c(diǎn)C在曲線y=f上,

所以有3y=（3x—3）~,即y=3（x—i,

故答案為：y=3（x—

64

9.-<a<-

53

【分析】由隨機(jī)事件A3互斥，根據(jù)互斥事件概率的性質(zhì)列不等式組求解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件A8互斥，A3發(fā)生的概率均不等于0,且分別為P（A）=3-2匹

P(B)=5a-6

0<P(A)<l0<3-2?<1

則0<P(B)<l,叫0<5〃-6<1,

P(A)+P(B)<13a-3<l

64

解得

64

故答案為：

10.x-2y+4=0

【解析】設(shè)4（外,凹）,3（七,必），代入橢圓方程做差，根據(jù)直線的斜率公式及AB的中點(diǎn)M,

求出直線斜率，即可得到直線方程.

【詳解】設(shè)4/必）,8（々,必）,

2222

代入橢圓方程可得:%+A口,

口一口得:必一乂=

馬一百^（當(dāng)+必）

由c=?可得”2—6="=36,即與=L

a4

又AB的中點(diǎn)M(—2,1),

y2f/（/+為）

所以原8==一■-x(-2)=-

馬一%/（%+乂）42

所以直線A5的方程為y-l=；（x+2）,

即x-2y+4=0.

故答案為：x-2y+4=0

答案第3頁，共12頁

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是解決涉及弦的中點(diǎn)與斜率問題的方法，首先設(shè)弦端點(diǎn)的坐標(biāo),

代入曲線方程后做差，可得出關(guān)于弦斜率與弦中點(diǎn)的方程,代入已知斜率，可研究中點(diǎn)問題，

代入已知中點(diǎn)可求斜率.

11.[0,1]

【解析】由題意，得到(|x|-l)2+(|y|-l)2=2,根據(jù)對(duì)稱性，作出方程對(duì)應(yīng)的圖像，根據(jù)

y+1+0

表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)加卜5-0,-1-應(yīng))連線的斜率，結(jié)合圖像,即可得出結(jié)果.

x+5+>/2

【詳解】由V+y2-2兇一23=0可得

(|X|-1)2+(|>'|-1)2=2,

根據(jù)對(duì)稱性，作出此方程對(duì)應(yīng)的圖象,

J+I+A/2表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)仞(-5-夜,-1-右)連線的斜率,

X+5+V2

由圖像可得，直線y=x+4與圓(x+l)2+(y-1)2=2顯然相切，且y=x+4過點(diǎn)

M(-5-V2-1-5/2),所以41；

''X+5+V2

直線y=-1-應(yīng)與圓(x+1『+(y+lf=2相切，且y=-1-&過點(diǎn)旭(-5-夜,-1-a),所

以叫斗*

X+5+V2

v+1+

因此-A的取值范圍為[o,i],

X+5+J2

故答案為：[0,11.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:

答案第4頁，共12頁

非線性目標(biāo)函數(shù)的常見類型及解題思路：

1.斜率型：2=/普=,?一/（公工0）表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)連線所

C

在直線的斜率的3倍；

C

2.距離型：（1）z=（x-4+仃-4表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與（a⑼之間距離的平方；

（2）z=|Ax+8），+C|=y]A2+B2-牛'）：。表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）到直線

VA+B'

Av+3y+C=O的距離的店萬倍.

12.無數(shù)

【分析】由于點(diǎn)。，用顯然滿足要求，猜想線段。片上任一點(diǎn)都滿足要求，然后證明結(jié)論.

【詳解】在正方體ABC。-A4G"上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)該正方體的棱長

為1,連接。與，并在。片上任取一點(diǎn)

因?yàn)楹?（1,1,1）

所以設(shè)P（a,a,a）,其中04a41,

作PE_L平面垂足為E,再作EFLAQ,垂足為G

則4。1PE,AR1EF,PE口￡尸=E,PE,EFu面EFP,

，A。，面EFP,又FPu面EFP,

???A。1FP,則PF是點(diǎn)、p到直線AR的距離，

所以PF=J/+（i-02,

同理點(diǎn)P到直線AB、CC,的距離也是揚(yáng)+（一）2,

所以。上任一點(diǎn)與正方體ABC。-A蜴G"的三條棱A。，AB,CG所在直線的距離都相

等，

所以與正方體ABCO-ABCQi的三條棱AR,AB,CG所在直線的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè).

答案第5頁，共12頁

故答案為：無數(shù)

13.A

【解析】根據(jù)空間向量的共面定量，結(jié)合充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由題意，空間中四點(diǎn)4B,C,D,若詼=加礪+〃而+p反

若4B,C,。四點(diǎn)共面，根據(jù)空間向量的共面定量，只需，"+〃+〃=1,

31

又由僧=一，H=-,p=-l,可得〃2+〃+p=l,

22

31

所以=耳，n=-9p=T”時(shí)，4,B,C,。四點(diǎn)共面，即必要性成立，

反之不一定成立，即充分性不成立，

所以B,C,。四點(diǎn)共面”是=,，〃=g，2=7"的必要不充分條件.

故選：A.

14.C

【解析】由于直線/：y-履-i=o恒過點(diǎn)(0,1),所以要使直線/：>-日-i=o與橢圓工+匯=1

5m

恒有公共點(diǎn)，只要點(diǎn)(0,1)橢圓上或橢圓內(nèi)即可，從而可求得m的取值范圍

【詳解】解：直線/：y-丘-1=0恒過點(diǎn)(0,1),

因?yàn)橹本€/：y-丘-1=。與橢圓片+《=1恒有公共點(diǎn)，

5m

所以點(diǎn)(0,1)橢圓上或橢圓內(nèi)即可，

m>0

所以,解得機(jī)之/且用。5,

M<i

、5m

所以加的取值范圍是［1,5)=(5,E),

故選：C

答案第6頁，共12頁

15.C

【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出.

［詳解】OC=-(a-b)=-(OA+OB+OC)--(OA+OB-OC),

二反與1、b不能構(gòu)成空間基底；

故選：C.

16.B

【分析】找到點(diǎn)M在平面ADRA的投影為點(diǎn)M在平面平面上，建立平面直角坐標(biāo)

系，求出點(diǎn)N的軌跡方程，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出。從而求出答案.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M在平面的投影為點(diǎn)N,則|MN|=3,所求線面角為，，則

幽3

因?yàn)橛枚?2MB,所以NA=2NA,在平面A。。0上，以/為坐標(biāo)原

'|RN||AN「

點(diǎn)，NC為X軸，A4為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

22

則4(0,0),4(0,3),設(shè)N(x,y),次+(—『=2々+/,化簡得：x+(y+l)=4,

(x>0,y>0),故點(diǎn)N的軌跡為以為圓心，半徑為2的且位于第一象限的圓弧ST,

如圖所示，連接"A，與圓弧ST相交于點(diǎn)N',此時(shí)AN=〃N'取得最小值，由勾股定理得：

"4=歷話=5,所以RM=5-2=3,當(dāng)點(diǎn)N與S重合時(shí)，RN=RS取得最大值，由

答案第7頁，共12頁

勾股定理得：D,S=>/9+4=Vi3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】立體幾何中軌跡問題，建立合適的坐標(biāo)系，求出軌跡方程是解決問題的重要方法,

將幾何問題代數(shù)化，數(shù)形結(jié)合解決問題.

17.(1)答案見解析

【分析】(1)直接5個(gè)里面選3個(gè)即可寫出樣本空間；

(2)根據(jù)古典概型的概率公式可得答案.

【詳解】(1)5名同學(xué)為：甲、乙、

從中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作這一事件的樣本空間為：

｛甲乙甲乙b,甲乙c,甲4b,甲ac,甲乙ab,乙ac,乙bc,abe].

(2)甲、乙都入選的基本事件有3個(gè)：甲乙甲乙匕，甲乙c,

3

故甲、乙都入選的概率為伍.

答案第8頁，共12頁

―.112

18.(1)\A；(2)%=-xy=-->z=--.

【分析】(1)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解；

(2)用基底衣，而，麗表示出訪后可得x，%z的值.

【詳解】⑴而-g(而+砌=必-正=-西+礪=電

________1__________2___

(2)EO=AO-AE=-(AB+AD)-AD——AA

23

^^AB--AD--AX,

223

112

,“5、---

19.(1)1

⑵至

【分析】（1）先作出異面直線AR與EC所成角，再去求其大小即可

（2）依據(jù)三棱錐等體積法去求點(diǎn)C到平面DQE的距離.

【詳解】（1）在平面力內(nèi)作AS7/CE交C￡＞于￡,連接RE',

則ZDtAE'為異面直線AD,與EC所成角或其補(bǔ)角.

因?yàn)锳B=3,AE=2EB,所以￡8=1,所以?！?1,

因?yàn)锳O=OA=1,所以AE'=RE=Q,

而明=0,所以口4￡＞盧'為正三角形，NRAE'=/,

從而異面直線A。與EC所成角的大小為半

答案第9頁，共12頁

(2)設(shè)點(diǎn)C到平面。ER的距離為力,

SGED,=；D\D.DE=gx\"^=與,S.DEC=/x3xl=彳,

由匕'-。卬=匕5,-0?7得！x@/j=Lxaxl,所以〃

32325

22

20.(1)X—+^v-=1；(2)2—4.

437

【分析】(1)建立直角坐標(biāo)系后，由橢圓的定義即可得解；

(2)聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式即可得解.

【詳解】(1)如圖，以FO所在的直線為x軸，尸。的中點(diǎn)/為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)P(x,y)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知|勿|+歸。=|40|=4且忻。=2,

所以尸點(diǎn)軌跡以F,。為左右焦點(diǎn)，長軸長2a=4的橢圓，

因?yàn)?c=2,2〃=4,所以c=1,4=2,=3,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+￡=1;

43

(2)如圖，不妨令過F(TO)的直線交橢圓于C,，且傾斜角45。,

所以直線C￡）:y=x+1,設(shè)C（%,yJ,￡）（%,%），

聯(lián)立]3x+4.y-12,消元得7丁+8》_8=0,△>（）,

[y=x+l

..88

所以玉+九2=-->X\X2=_1，

所以|C￡）|=J1+].J（X]+%）2_4/工2+4xg=?.