(小白高考)新高考數(shù)學(xué)(適合藝考生)一輪復(fù)習(xí)41《拋物線》鞏固練習(xí)（教師版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)41《拋物線》鞏固練習(xí)一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程是()A.x＝eq\f(1,2)B.x＝﹣eq\f(1,2)C.y＝eq\f(1,8)D.y＝﹣eq\f(1,8)【答案解析】答案為：D.析：拋物線y＝2x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,2)y，其準(zhǔn)線方程為y＝﹣eq\f(1,8).LISTNUMOutlineDefault\l3若拋物線x2＝4y上的點(diǎn)P(m，n)到其焦點(diǎn)的距離為5，則n＝()A.eq\f(19,4)B.eq\f(9,2)C.3D.4【答案解析】答案為：D.解析：拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，根據(jù)拋物線的定義可知，5＝n＋1，得n＝4，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線C與雙曲線x2﹣y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是()A.y2＝±2eq\r(2)xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±4eq\r(2)x【答案解析】答案為：D.解析：由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為(﹣eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0).設(shè)拋物線C的方程為y2＝±2px(p＞0)，則eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以拋物線C的方程為y2＝±4eq\r(2)x.故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知A是拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|＝4時，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是()A.x＝﹣1B.y＝﹣1C.x＝﹣2D.y＝﹣2【答案解析】答案為：A.解析：過A向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為B，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D.因?yàn)椤螼FA＝120°，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30°，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1.選A.LISTNUMOutlineDefault\l3頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)P(﹣4，﹣2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y2＝﹣xB.x2＝﹣8yC.y2＝﹣8x或x2＝﹣yD.y2＝﹣x或x2＝﹣8y【答案解析】答案為：D.解析：設(shè)拋物線為y2＝mx，代入點(diǎn)P(﹣4，﹣2)，解得m＝﹣1，則拋物線方程為y2＝﹣x；設(shè)拋物線為x2＝ny，代入點(diǎn)P(﹣4，﹣2)，解得n＝﹣8，則拋物線方程為x2＝﹣8y.LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y2＝2px(p＞0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為10，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.4B.8C.16D.32【答案解析】答案為：B.解析：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣eq\f(p,2)(p＞0)，如圖，則根據(jù)拋物線的性質(zhì)有|PF|＝eq\f(p,2)＋6＝10，解得p＝8，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y＝eq\f(1,2)x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于點(diǎn)N，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，則|MF|＝()A.2B.3C.eq\r(2)D.eq\r(3)【答案解析】答案為：C.解析：如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq\r(2)|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq\r(2).故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為()A.(0,0)B.(eq\f(1,2)，1)C.(1，eq\r(2))D.(2,2)【答案解析】答案為：D.解析：過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2).LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4eq\r(3)，則拋物線的方程為()A.y2＝6xB.y2＝8xC.y2＝16xD.y2＝eq\f(15x,2)【答案解析】答案為：B.解析：設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝eq\f(p,2)，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋eq\f(p,2)＝2p，所以x＝eq\f(3,2)p，所以y＝±eq\r(3)p，又△MFO的面積為4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝4eq\r(3)，解得p＝4(p＝﹣4舍去).所以拋物線的方程為y2＝8x.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，﹣eq\r(3)).若線段FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，則|MF|＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(3),3)【答案解析】答案為：A.解析：由題意，F(xiàn)(1,0)，|AF|＝2，設(shè)|MF|＝d，則M到準(zhǔn)線的距離為d，M的橫坐標(biāo)為d﹣1，由三角形相似，可得eq\f(d－1,1)＝eq\f(2－d,2)，所以d＝eq\f(4,3)，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PA⊥l，垂足為A，|PF|＝4，則直線AF的傾斜角等于()A.eq\f(7π,12)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)【答案解析】答案為：B.解析：由拋物線y2＝4x知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝﹣1，由拋物線定義可知|PA|＝|PF|＝4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2eq\r(3))，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1，2eq\r(3))，所以kAF＝eq\f(2\r(3)－0,－1－1)＝﹣eq\r(3)，所以直線AF的傾斜角等于eq\f(2π,3)，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F，且斜率為eq\r(3)的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，則M到直線NF的距離為()A.eq\r(5)B.2eq\r(3)C.3eq\r(3)D.2eq\r(2)【答案解析】答案為：B.解析：∵直線MF的斜率為eq\r(3)，MN⊥l，∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，∴△NMF是邊長為4的等邊三角形，∴M到直線NF的距離為2eq\r(3).故選B.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3拋物線y2＝eq\f(1,4)x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.【答案解析】答案為：(eq\f(1,16)，0).解析：由于拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2)，0)，因此拋物線y2＝eq\f(1,4)x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,16)，0).LISTNUMOutlineDefault\l3已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案解析】答案為：(1,0).解析：由題知直線l的方程為x＝1，則直線與拋物線的交點(diǎn)為(1，±2eq\r(a))(a＞0).又直線被拋物線截得的線段長為4，所以4eq\r(a)＝4，即a＝1.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).LISTNUMOutlineDefault\l3若拋物線y2＝4x上有一條長度為10的動弦AB，則AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離為_____.【答案解析】答案為：4解析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l：x＝﹣1，弦AB的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離d＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)≥eq\f(|AB|,2)，所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離的最小值為5，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為5﹣1＝4.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F與雙曲線eq\f(x2,3)﹣y2＝1的右焦點(diǎn)重合，若A為拋物線在第一象限上的一點(diǎn)，且|AF|＝3，則直線AF的斜率為________.【答案解析】答案為：﹣2eq\r(2).解析：∵雙曲線eq\f(x2,3)﹣y2＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴拋物線方程為y2＝8x，∵|AF|＝3，∴xA＋2＝3，得xA＝1，代入拋物線方程可得yA＝±2eq\r(2).∵點(diǎn)A在第一象限，∴A(1，2eq\r(2))，∴直線AF的斜率為eq\f(2\r(2),1－2)＝﹣2eq\r(2).三 、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3若拋物線y2＝﹣2px(p＞0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為﹣9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo).【答案解析】解：由拋物線定義，設(shè)焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)).則準(zhǔn)線為x＝eq\f(p,2)，M到準(zhǔn)線的距離為d，則d＝|MF|＝10.則eq\f(p,2)﹣(﹣9)＝10，∴p＝2.故拋物線方程為y2＝﹣4x.將M(﹣9，y)代入拋物線方程得y＝±6.∴M(﹣9，6)或M(﹣9，﹣6).LISTNUMOutlineDefault\l3求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(﹣3，2)；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)在直線x﹣2y﹣4＝0上.【答案解析】解：(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝﹣2px(p＞0).把(﹣3，2)代入，得22＝﹣2p×(﹣3)，解得p＝eq\f(2,3).所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝﹣eq\f(4,3)x.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0).把(﹣3，2)代入，得(﹣3)2＝4p，解得p＝eq\f(9,4).所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(9,2)y.(2)直線x﹣2y﹣4＝0與x軸的交點(diǎn)為(4，0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，﹣2)，故拋物線的焦點(diǎn)為(4，0)或(0，﹣2).當(dāng)焦點(diǎn)為(4，0)時，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則eq\f(p,2)＝4，所以p＝8.所以拋物線方程為y2＝16x.當(dāng)焦點(diǎn)為(0，﹣2)時，設(shè)拋物線方程為x2＝﹣2py(p＞0)，則﹣eq\f(p,2)＝﹣2，所以p＝4.所以拋物線方程為x2＝﹣8y.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程.【答案解析】解：由題意知，直線AB的斜率一定存在，∴設(shè)直線AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2﹣2pkx﹣2p＝0，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝﹣2p.①(1)由x2＝2py得y′＝eq\f(x,p)，則A，B處的切線斜率的乘積為eq\f(x1x2,p2)＝﹣eq\f(2,p)，∵點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，∴AN⊥BN，∴﹣eq\f(2,p)＝﹣1，∴p＝2.(2)易得直線AN：y﹣y1＝eq\f(x1,p)(x﹣x1)，直線BN：y﹣y2＝eq\f(x2,p)(x﹣x2)，聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))結(jié)合①式，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，﹣1).|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2﹣x1|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(4p2k2＋8p)，點(diǎn)N到直線AB的距離d＝eq\f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq\f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，則S△ABN＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝SKIPIF1<0≥2eq\r(2p)，當(dāng)k＝0時，取等號，∵△ABN的面積的最小值為4，∴2eq\r(2p)＝4，∴p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y.LISTNUMOutlineDefault\l3過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8.(1)求直線l的方程；(2)若A關(guān)于