小學(xué)奧數(shù)題庫《幾何》-直線型-畢克定理-4星題（含解析）

幾何-直線型幾何-畢克定理-4星題

課程目標(biāo)

知識點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

畢克定理B1.了解格點(diǎn)圖形的概念。少考

2.熟悉畢克定理并且能夠應(yīng)用畢克

定理解決相關(guān)的格點(diǎn)面積。

知識提要

畢克定理

?概念格點(diǎn)多邊形：多邊形的邊必須是直線段，頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上.

?正方形格點(diǎn)和畢克定理一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交

點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”.水平線和垂直線圍成的每個小正方形稱為“面積單位〃.畢克定理：s=

N+g-1其中，N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)，L表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的

面積.

?三角形畢克定理5=（2+；-1）*2=27+4一：其中，N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)，L表示

多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積.

精選例題

畢克定理

1.在平面上，用邊長為1的單位正方形構(gòu)成正方形網(wǎng)格，頂點(diǎn)都落在單位正方形的頂點(diǎn)（又稱

為格點(diǎn)）上的簡單多邊形叫做格點(diǎn)多邊形.最簡單的格點(diǎn)多邊形是格點(diǎn)三角形，而除去三個頂

點(diǎn)之外.內(nèi)部或邊上不含格點(diǎn)的格點(diǎn)三角形稱為本原格點(diǎn)三角形.如右圖所示的格點(diǎn)三角形

BRS.每一個格點(diǎn)多邊形都能夠很容易地劃分為假設(shè)干個本原格點(diǎn)三角形.那么，右圖中的格

點(diǎn)六邊形EFGHKB可以劃分為個本原格點(diǎn)三角形.

【答案】36

【分析】根據(jù)格點(diǎn)面積公式：

格點(diǎn)多邊形面積=多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)+多邊形一周的格點(diǎn)數(shù)-2-1,

可得面積:

15+8+2+1=18,

每個本原格點(diǎn)三角形最小面積是

11

1x1x-=

22

所以可以劃分為本原格點(diǎn)三角形的個數(shù)為—-

1z

18'=36（個）.

2.以下圖中正六邊形的面積為24平方米，其中4、B、C都是所在邊的中點(diǎn)，。是BC的三等分

點(diǎn)，陰影局部的面積是平方米.

【答案】5

【分析】

將六邊形分割為三角形格點(diǎn)，如上圖所示，正六邊形被分成24個面積為1平方米的正三角形，

根據(jù)畢克公式，內(nèi)部點(diǎn)n=2,邊上點(diǎn)b=3,那么陰影的面積為：（2+3+2—l）x2=5（平

方米）.

3.如圖，水平相鄰和豎直相鄰的兩個格點(diǎn)間的距離都是1,那么圖中陰影局部的面積是.

[答案】17

【分析】根據(jù)畢克定理，正方形格點(diǎn)圖算面積：

面積=內(nèi)部點(diǎn)+邊界點(diǎn)+2-1.

內(nèi)部點(diǎn)：8個；

邊界點(diǎn)：20個;

所以面積：

8+20+2—1=17.

4.如以下圖所示，網(wǎng)格中每個小正方格的面積都為1平方厘米.小明在網(wǎng)格紙上畫了一匹紅鬃

烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點(diǎn)在格子點(diǎn)上或在格線上），那么這個剪影

的面積為平方厘米.

【答案】56,5

【3析】通過分割和格點(diǎn)面積公式可得小馬總面積為56.5個正方形，即面積為56.5平方厘米.

5.如圖相鄰兩個格點(diǎn)間的距離是1,那么圖中陰影三角形的面積為.

【答案】"

【分析】連接4D、CD、BC.

那么可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到AABC的面積為：

4

1+二1=2，

△4CD的面積為：

3

3+——1—3.5,

△ABD的面積為：一

4

2+]-1=3.

所以

BO：OD=S^ABC'?S>ACD

=2:3.5

=4:7,

所以

_4

SUBO=4+7X^hABD

4

=nx3

12

=11"

6.如圖，水平方向和豎直方向上相鄰兩點(diǎn)之間的距離都是假設(shè)四邊形4BCD的面積是23,

求五邊形EFGH/的面積.

【答案】28

【分析】根據(jù)畢克定理：

S=Q+Z?+2—1,

有

(10+5+2-l)xni2=23,

有

m2=2;

所以五邊形EFGH/的面積是

(12+6+2—1)X2=28.

7.如圖，是一個漂亮禮盒的平面圖，相鄰兩個格點(diǎn)距離為1,請求出圖形的面積是多少？

【答案】21

【分析】方法一：利用割補(bǔ)，圖中長方形的面積是2x6=12,左邊三角形我們可以把它包含

在一個4x4的方陣中如下左圖，用總面積減去其他三角形的面積，所以左邊三角形面積是4x

4—3x4+2—1x2+2-2x4+2=5,右邊三角形同理包含在一個4x5的長方形中，所

以右邊三角形的面積是4x5-(l+5)x4+2—4xl+2-4xl+2=4,所以禮盒的總面

積是12+5+4=21.

方法二：利用畢克定理，略.

8.如圖，計算圖形面積是多少？(每相鄰三個點(diǎn)”?［或”???”成面積為1的等邊三角形)

【答案】12

【分析】方法一：利用分割法，將原四邊形分割成兩個三角形48c和ABD,ABC是單位三角形

CEF面積的4倍，從而面積是4.同理4BD的面積是單位三角形CEF的8倍，所以面積是8,因此

四邊形面積是4+8=12.

方法二：利用三角形畢克定理：S=(/V+|-l)x2,N:5個，L:4個，所以面積是(5+4+

2-1)x2=12.

9.相鄰兩個格點(diǎn)距離為1,求以下各個格點(diǎn)多邊形的面積是多少？

【答案】15；20

【分析】利用畢克定理，圖(1)N:10個，L:12個，面積是10+12+2-1=15；

圖(2)M16,L:10,面積是16+10+2-1=20.

10.如圖，有21個點(diǎn)，每相鄰三個點(diǎn)成或，所形成的三角形都是等邊三角形.計算

三角形A8C的面積是多少？

【答案】10

【分析】

方法一：利用割補(bǔ)，將ABC分割成四個三角形，易得SMCO=2,S^AEB=3,

S^FBC=4，所以SA48c=1+2+3+4=10.

方法二：畢克定理，N:4個，L:4個，所以SmBC=(4+^-1)X2=10.

11.如圖，如果每個小等邊三角形的面積都是1平方厘米.四邊形48CD和三角形EFG的面積分

別是多少平方厘米？

【答案】20平方厘米，10平方厘米

【分析】四邊形ABC。中，N:9個，L:4個，畢克定理可知

S四邊形ABCD=（9+g-1）x2=20（平方厘米）；

在三角形EFG中，N:4個,L:4個，

S三角形EFG=1+；1）x2=10（平方厘米）.

12.如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？

【答案】6.5

【分析】方法一：正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：（N+9-l）x單位正方形面積，其中N為

圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，L為圖形周界上格點(diǎn)數(shù).

有N=4,L=7,那么用粗線圍成圖形的面積為：

7

（4+--1）x1=6.5（平方厘米）

方法二：如以下圖，先求出粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積，

有

①=3+2=1.5

還有三個小正方形，所以粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為

1.5+/+1+1+1+1+3=9.5,

而整個格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為16,所以粗線圍成的圖形的面積為：

16-9.5=6.5（平方厘米）.

13.如圖，每個小正方形的面積均為2平方厘米.陰影多邊形的面積是多少平方厘米？

【答案】19平方厘米

（分析】陰影局部的面積為：（7+：-1）x2=19（平方厘米）.

14.計算下面各圖形面積是多少？（每相鄰三個點(diǎn)”?「或成面積為1的等邊三角形）

【答案】22：23

【分析】利用畢克定理.圖⑴，M7個，L:1（1個，$=（7+10+2-1）x2=22；

圖⑵,N:5,L:15,S=（5+15+2-1）x2=23.

15.求以下格點(diǎn)多邊形的面積（每相鄰三個點(diǎn)“???〃或成面積為1的等邊三角形）.

【答案】19；19；18；21

【分析】方法一：分割法，略.

方法二：畢克定理，圖（1）N:7個，L:7個，S=（7+7+2-1）x2=19；

圖（2）N:8個，L:5個，5=（84-5^2-1）x2=19：

圖（3）M7個，L:6個，5=（7+6^2-1）X2=18；

圖（4）N:8個，＞7個，5=（8+7^-2-1）x2=21.

16.如圖，中相鄰兩個格點(diǎn)的距離都是1,圖中三個圖形的面積分別是多少？

【答案】3；11；5.5

【分析】方法一：利用割補(bǔ)，第一個圖“喇叭”的面積是3；第二個圖“狗”的面積是11；第三

個圖“貓”的面積是5.5.

方法二：利用畢克定理，S=N用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)，L表示多邊形周界上的格

點(diǎn)，S表示多邊形面積.

內(nèi)部點(diǎn)邊上點(diǎn)正方形個數(shù)

喇叭080+8+2—1=3

狗2202+20+2—1=11

貓0130+13+2—1=5.