小學(xué)奧數(shù)最優(yōu)方案與最佳策略解題思路

最優(yōu)方案與最佳策略

【最優(yōu)方案】

例1某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別

在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時(shí)；每件乙產(chǎn)品需分別在A、

B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、2,0、4小時(shí)。已知A、B、C、D四臺(tái)設(shè)備，每

天最多能轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間分別是12、8、16、12小時(shí)。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤(rùn)

200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤(rùn)300元。問(wèn)：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大

利潤(rùn)?

（中國(guó)臺(tái)北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間每天最

多為12小時(shí)，則行：（2a+2b）不超過(guò)12?

又（a+2b）不超過(guò)8,

4a不超過(guò)16.

4b不超過(guò)12o

由以上四個(gè)條件知，

當(dāng)b取1時(shí)，a可取1、2、3、4；

當(dāng)b取2時(shí),a可取1、2、3、4；

當(dāng)b取3時(shí)，a可取1、2。

這樣，就是在以上情況卜,，求利潤(rùn)200a+300b的最大值?？闪斜砣绮?:

b123

a1234123412

200a+300b500700900110080010001200140011001300

所以，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時(shí)，能得到最大利潤(rùn)1100元。

例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個(gè)服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個(gè)廠

的人員和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點(diǎn)不同，甲廠每月

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用彳的時(shí)間生產(chǎn)上衣，不的時(shí)間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)900套成衣；乙廠每月

用;的時(shí)間生產(chǎn)上衣，!■的時(shí)間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)1200套成衣?，F(xiàn)在兩廠

聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長(zhǎng)多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過(guò)去每月能多生產(chǎn)

成衣______套。

（1989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

錯(cuò)折：用廠每月用3,（即稱21）的時(shí)間生產(chǎn)上—衣；乙廠每月用4方［即%20）

的時(shí)間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長(zhǎng)于生產(chǎn)褲子，乙廠長(zhǎng)于生產(chǎn)上衣。

如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，則可生產(chǎn)

2

900十5=2250（條）s

如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，則可生產(chǎn)

4

1200-7=2100（件）o

把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2ioo套成衣，這時(shí)甲廠生產(chǎn)150

條褲子的時(shí)間可用來(lái)生產(chǎn)成套的成衣

2

150X-=60（套）。

故現(xiàn)在比過(guò)去每月可以多生產(chǎn)60套。

【最佳策略】

例1A、B二人從A開(kāi)始，輪流在1、2、3、...、1990這1990個(gè)數(shù)中劃去

一個(gè)數(shù)，直到最后剩卜兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否則A勝。問(wèn)：誰(shuí)能必勝？制勝

的策略是什么？

（《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

講析：將這1990個(gè)數(shù)按每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組：（1、2）,（3、4）,（5、6）,…,

（1989、1990）o

當(dāng)A任意在括號(hào)中劃去一個(gè)時(shí)，B就在同一個(gè)括號(hào)中劃去另一個(gè)數(shù)。這樣B

就一定能獲勝。

例2桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根

或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問(wèn)：誰(shuí)可獲勝？

（1992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

講析：因?yàn)閮扇溯喠鞲魅∫淮魏螅梢宰龅街蝗?根。誰(shuí)要搶到第1992根,

誰(shuí)就必須搶到第1989根，進(jìn)而搶到第1986、1983、1980、…、6,3根。

誰(shuí)搶到第3根呢？向然是后取的人。即后取的可以獲勝。

后者獲勝的策略是，當(dāng)先取的人每取?次火柴梗時(shí)，他緊接著取一次，每次

取的根數(shù)與先取的加起來(lái)的和等于3。

例3行分別裝球73個(gè)和118個(gè)的兩個(gè)箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球,

規(guī)定取得最后一球昔為勝。問(wèn)：若要先取者為獲勝，應(yīng)如何?。?/p>

（上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽成題）

講析：先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每

次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。

例：一項(xiàng)工程，甲、乙合做8天可以完成，乙、丙合做10天可以完成，現(xiàn)在先由

甲、乙、丙合做5天后，余下的再由乙做2天即可完成，乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要

幾天？

思路解析：由題意可知，這類工程問(wèn)題可以用“組合法”解題，昨天的文章中已經(jīng)例

舉過(guò)同類型的題，今天的這道題難度加大。

既然是用“組合法”，那我們按思路來(lái)解析：

先由甲、乙、丙合做5天，余下的由乙做2天完成

可以組合成：甲、乙合做5天+乙、丙合做2天十丙做3天。

完整解題如下：

解：設(shè)工程總量為“1”

14-8=1/8（甲、乙工作效率和）

14-10=1/10（乙、丙工作效率和）

（1-1/8x