濱州雙城教育數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義第章《平面向量》

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第八章平面向量一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時(shí)用有向線段來(lái)表示，線段的長(zhǎng)度表示向量的模。向量的符號(hào)用兩個(gè)大寫字母上面加箭頭,或一個(gè)小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a｜表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的.零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。定義2方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量)，規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律.定理1向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則.加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。定理2非零向量a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)0,使得a=f定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a,b不共線，則對(duì)同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y,使得c=xa+yb，其中a,b稱為一組基底。定義3向量的坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x,y,使得c=xi+yi，則(x，y)叫做c坐標(biāo)。定義4向量的數(shù)量積，若非零向量a，b的夾角為，則a，b的數(shù)量積記作a·b=｜a｜·｜b|cos=|a|·|b｜c(diǎn)os<a，b>，也稱內(nèi)積，其中｜b|cos叫做b在a上的投影(注：投影可能為負(fù)值)。定理4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1，y1)，b=(x2,y2）,1．a(chǎn)+b=（x1+x2,y1+y2）,a—b=（x1—x2，y1-y2），2．λa=(λx1，λy1），a·(b+c)=a·b+a·c,3．a(chǎn)·b=x1x2+y1y2，cos（a,b）=（a,b0)，4.a//bx1y2=x2y1，abx1x2+y1y2=0。定義5若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn),則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使,λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則.由此可得若P1,P，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，（x,y)，(x2,y2），則定義6設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h，k）的方向,平移|a｜=個(gè)單位得到圖形,這一過(guò)程叫做平移。設(shè)p（x,y）是F上任意一點(diǎn)，平移到上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則稱為平移公式。定理5對(duì)于任意向量a=（x1,y1)，b=（x2,y2），|a·b|≤｜a|·|b｜,并且|a+b|≤｜a｜+|b｜.【證明】因?yàn)閨a|2·|b|2—｜a·b｜2=—（x1x2+y1y2）2=(x1y2-x2y1）2≥0，又|a·b｜≥0,｜a｜·|b|≥0,所以|a|·｜b|≥｜a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得｜a+b|≤|a|+|b｜.注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1,x2,…,xn)，b=（y1，y2,…，yn),同樣有|a·b|≤|a｜·|b｜,化簡(jiǎn)即為柯西不等式:(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又｜a·b|≥0,｜a｜·｜b|≥0,所以|a｜·|b｜≥|a·b｜。由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b｜≤|a｜+｜b|。注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1)對(duì)n維向量，a=(x1，x2,…，xn),b=（y1，y2,…,yn），同樣有|a·b|≤|a|·｜b|，化簡(jiǎn)即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn）2。2）對(duì)于任意n個(gè)向量，a1，a2，…，an，有|a1，a2，…,an｜≤｜a1|+|a2|+…+|an｜.二、方向與例題1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。例1設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證:例2給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是例3在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對(duì)角線BD和AC的中點(diǎn)，求證:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.2．證利用定理2證明共線。例4△ABC外心為O,垂心為H,重心為G。求證：O，G,H為共線,且OG：GH=1：2.3．利用數(shù)量積證明垂直.例5給定非零向量a,b。求證：|a+b|=|a—b｜的充要條件是ab.例6已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn),E為△ACD重心。求證：OECD。4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算.例7已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC,AC=CE，EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證:AF=AE。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．以下命題中正確的是__________。①a=b的充要條件是|a｜=｜b|，且a//b；②（a·b）·c=(a·c）·b;③若a·b=a·c，則b=c;④若a,b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m,y=n;⑤若,且a，b共線,則A，B，C，D共線；⑥a=（8,1)在b=(-3,4）上的投影為-4。2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①；②;③;④與，相等的有__________。3．已知a=y-x,b=2x-y,｜a|=|b|=1,a·b=0,則|x｜+｜y|=__________.4．設(shè)s，t為非零實(shí)數(shù)，a，b為單位向量，若｜sa+tb｜=｜ta-sb|,則a和b的夾角為_(kāi)_________.5．已知a，b不共線，=a+kb，=la+b,則“kl—1=0”是“M，N，P共線”的__________條件。6．在△ABC中，M是AC中點(diǎn),N是AB的三等分點(diǎn)，且，BM與CN交于D，若，則λ=__________.7．已知不共線,點(diǎn)C分所成的比為2，，則__________.8．已知=b，a·b=｜a-b｜=2，當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，a與b的夾角為_(kāi)_________。9．把函數(shù)y=2x2—4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1，-1），若，c·b=4，則b的坐標(biāo)為_(kāi)_________。10．將向量a=(2，1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為_(kāi)_________.11．在Rt△BAC中，已知BC=a,若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，試問(wèn)與的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。12．在四邊形ABCD中,,如果a·b=b·c=c·d=d·a,試判斷四邊形ABCD的形狀。四、高考水平訓(xùn)練題1．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是此平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的________心。2．在△ABC中，，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.3．非零向量，若點(diǎn)B關(guān)于所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為B1，則=__________.4．若O為△ABC的內(nèi)心,且，則△ABC的形狀為_(kāi)_________。5．設(shè)O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部,且,則△AOB與△AOC的面積比為_(kāi)_________。6．P是△ABC所在平面上一點(diǎn),若，則P是△ABC的__________心.7．已知,則｜｜的取值范圍是__________。8．已知a=（2,1）,b=（λ，1）,若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________。9．在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AM=2，則的最小值為_(kāi)_________。10．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4）,λ∈R},集合N={a|a=(-2,—2)+λ(4,5），λ∈R}，mjMN=__________。11．設(shè)G為△ABO的重心，過(guò)G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知,△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1)求y=f（x）的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。12．已知兩點(diǎn)M（—1，0)，N(1，0），有一點(diǎn)P使得成公差小于零的等差數(shù)列。（1）試問(wèn)點(diǎn)P的軌跡是什么？(2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0)，為與的夾角，求tan。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0,2），當(dāng)實(shí)數(shù)p,q滿足時(shí)，若點(diǎn)C，D分別在x軸,y軸上,且,則直線CD恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________。2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b,c.O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則=___________（用a,b,c,x,y，z表示）.3．已知平面上三個(gè)向量a,b,c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200,若|ka+b+c|〉1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，D滿足，則的取值有___________個(gè)。5．已知A1A2A3A4A56．O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為△ABC的角，若sinA·+sinB·+sinC·,則點(diǎn)O為△ABC的___________心。7．對(duì)于非零向量a,b,“|a|=｜b｜”是“(a+b）（a-b）”的___________條件.8．在△ABC中，，又（c·b)：（b·a）：(a·c)=1:2：3，則△ABC三邊長(zhǎng)之比｜a｜：|b｜：|c｜=____________.9．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且,CP交AB于D，求證：10．已知△ABC的垂心為H，△HBC,△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2,O3，令,求證：(1)2p=b+c-a;(2)H為△O1O2O3的外心。11．設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1,a2)為V中的一個(gè)單位向量,已知從V到的變換T，由T(x）=—x+2（x·a）a（x∈V)確定，（1）對(duì)于V的任意兩個(gè)向量x,y，求證：T（x）·T（y）=x·y;（2)對(duì)于V的任意向量x，計(jì)算T[T（x)]-x;（3）設(shè)u=（1,0)；，若，求a。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點(diǎn),P和R為射線AX上兩點(diǎn)，Q和S為射線BY上的兩點(diǎn)，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點(diǎn),為另一定比，試問(wèn)M，N，T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線,點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點(diǎn)共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)M，點(diǎn)P，Q,R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)，D在B和F之間,F是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求比值EH：HG.5．是否存在四個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直？6．