第13章 軸對(duì)稱壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練-2023年初中數(shù)學(xué)8年級(jí)上冊(cè)同步壓軸題（教師版含解析）

第十三章軸對(duì)稱壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖，將沿翻折，使其頂點(diǎn)均落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：延長交于點(diǎn)，∵將沿，翻折，頂點(diǎn)，均落在點(diǎn)處，∴，，∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，，∴即：，∴，∴，故選：．2．將長為2、寬為a(a大于1且小于2)的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪下一個(gè)邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下個(gè)邊長等于此時(shí)長方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去…，若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止．當(dāng)n＝3時(shí)，a的值為()A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2【答案】B【詳解】解：第1次操作，剪下的正方形邊長為a，剩下的長方形的長寬分別為a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形邊長為2﹣a，所以剩下的長方形的兩邊分別為2﹣a、a﹣(2﹣a)＝2a﹣2，①當(dāng)2a﹣2＜2﹣a，即a＜時(shí)，則第3次操作時(shí)，剪下的正方形邊長為2a﹣2，剩下的長方形的兩邊分別為2a﹣2、(2﹣a)﹣(2a﹣2)＝4﹣3a，則2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；②2a﹣2＞2﹣a，即a＞時(shí)則第3次操作時(shí)，剪下的正方形邊長為2﹣a，剩下的長方形的兩邊分別為2﹣a、(2a﹣2)﹣(2﹣a)＝3a﹣4，則2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．故選：B．3．如圖，在中，，平分，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，分別交、于點(diǎn)E、F，若，則的長為(

)A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【詳解】如圖，延長、交于點(diǎn)G∵平分，于點(diǎn)D∴，D是的中點(diǎn)∵E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線∴又∵∴∴∴∴故選：D.4．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，若△ADC的周長為14，BC=8，則AC的長為A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】根據(jù)題意可得MN是直線AB的中點(diǎn)的周長為已知，故選B5．如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF周長最小時(shí)，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【詳解】解：∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)(∠ACE=30°)，作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等邊三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故選D．6．已知一個(gè)等腰三角形內(nèi)角的度數(shù)之比為，則它的頂角的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)等腰三角形的角分為頂角和底角，分類討論為：設(shè)頂角為x，底角為4x，則根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得x+4x+4x=180°，解得x=20°；設(shè)底角為x，頂角為4x，則x+x+4x=180°，解得x=30°，則頂角為4x=120°.故選D.7．在正方形ABCD所在平面上找點(diǎn)P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PDA均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P(

)個(gè)．A．10 B．9 C．5 D．1【答案】B【詳解】如圖，共有9個(gè)符合要求的點(diǎn)P，故選B.8．如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA2＝4，則△AnBnAn+1的邊長為_____．【答案】2n．【詳解】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此類推△AnBnAn+1的邊長為2n．故答案為：2n．9．如圖△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，連PA，則∠BAP的度數(shù)為_______．【答案】69°【詳解】在BC下方取一點(diǎn)D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC∴AD=AB=AC，∴∵∴∴又∵∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∵∴△DPC是等邊三角形，∴△APD≌△APC，∴∴故答案為69°.10．在銳角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是BD和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則MN+MC的最小值是_____．【答案】．【詳解】如圖，在BA上截取BE=BN，連接CE．∵∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，∴∠EBM=∠NBM，在△BME與△BMN中，，∴△BME≌△BMN，∴ME=MN．∴CM+MN=CM+ME≥CE．∴CM+MN有最小值．當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，CE最小，∵∠ABC=60°，BC=2cm，∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得CE=，∴CM+MN的最小值是．故答案為：．11．如圖，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點(diǎn)M，OM＝10cm，現(xiàn)要在OC，OA上分別找點(diǎn)Q，N，使QM＋QN最小，則其最小值為________．【答案】5cm【詳解】解：作M關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)P，過P作PN⊥OA于N，交OC于Q，則此時(shí)QM+QN的值最小，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點(diǎn)M，∴OA、OB關(guān)于OC對(duì)稱，∴P點(diǎn)在OB上，∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，∵PN=OP=×10=5cm，∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，故答案為5cm．12．如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90o，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)在射線AC與射線CB上運(yùn)動(dòng)，且滿足AE=CF，∠EDF=90°；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C的距離為1時(shí)，則△DEF的面積為___________.【答案】或【詳解】解：①E在線段AC上．在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴同理△CDE≌△BDF，∴四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面積=CE?CF=，∴△DEF的面積=××﹣=．②E'在AC延長線上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=，∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'(SAS)，∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD?CE'cos135°=1+8+2××=13，∴S△E'DF'=DE'2=．故答案為或．13．已知，在等腰中，于點(diǎn)D．以為邊作等邊，直線交直線于點(diǎn)F，連接．(1)如圖1，與在直線的異側(cè)，且交于點(diǎn)M．①求證：；②猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：(2)當(dāng)，且與在直線的同側(cè)時(shí)，利用圖2探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論．【答案】(1)①見解析；②EF+AF=BF，理由見解析；(2)BF+EF=AF，理由見解析【詳解】證明：(1)①∵△AEC是等邊三角形∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分線∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC∴△ABF≌△ACF(SSS)∴∠ABF＝∠ACF∴∠ACF＝∠AEF；②EF+AF=BF，理由如下：如圖，在CF上取FG=FE，連接EG，由(1)得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，∵△AEC是等邊三角形∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，∴∠FCA+∠ECF=60°，∴∠AEF+∠ECF=60°，∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，∴∠EFG=60°，∵FE=FG，∴△EFG為等邊三角形，∴EG=EF，∠FEG=60°，∴∠AEF+∠AEG=60°，又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，∴∠FEA=∠GEC，∴△FEA≌△GEC(SAS)，∴AF=GC，∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，∴EF+AF=BF；(2)BF+EF=AF，理由如下：如圖，在AF上截取FH=FC，連接CH，∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分線，∠BAD=∠CAD∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD∵△ACE是等邊三角形，∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，∴∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，∴∠AFE=60°，∴∠CFD=60°，∴∠EFC=120°，又∵FH=FC，∴△FHC是等邊三角形，∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，∴∠ACH=∠ECF，∴△ACH≌△ECF(SAS)，∴AH=EF，∴EF+CF=FH+AH=AF，∴BF+EF=AF．14．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．(1)求∠CAM的度數(shù)；(2)若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ADC≌△BEC；(3)當(dāng)動(dòng)D在直線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．【答案】(1)30°；(2)見解析；(3)是定值，理由見解析【詳解】解：(1)是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．故答案為：30°；(2)與都是等邊三角形，，，，，．在和中，，；(3)是定值，，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由(2)可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線，平分，即，．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，．③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖3，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，，，．綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，是定值，．15．如圖，已知AE⊥FE，垂足為E，且E是DC的中點(diǎn)．(1)如圖①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分別為C，D，且AD＝DC，判斷AE是∠FAD的角平分線嗎？(不必說明理由)(2)如圖②，如果(1)中的條件“AD＝DC”去掉，其余條件不變，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說明理由；(3)如圖③，如果(1)中的條件改為“AD∥FC”，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)AE是∠FAD的角平分線(