同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件D13函數(shù)的極限

同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件D13函數(shù)的極限(2)目錄函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)極限的應(yīng)用無(wú)窮小與無(wú)窮大函數(shù)的連續(xù)性CONTENTS01函數(shù)極限的定義CHAPTER當(dāng)x趨近于某個(gè)值a時(shí)，函數(shù)f(x)的值趨近于一個(gè)常數(shù)L，即f(x)→L(x→a)。通過(guò)直觀的方式描述了函數(shù)在某點(diǎn)的變化趨勢(shì)，為后續(xù)精確定義奠定基礎(chǔ)。函數(shù)極限的描述性定義描述性定義的意義描述性定義函數(shù)極限的精確定義精確定義對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε。精確定義的意義通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)函數(shù)極限進(jìn)行了精確描述，為后續(xù)研究函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律提供了基礎(chǔ)。若lim(x→a)f(x)=L1和lim(x→a)f(x)=L2，則必有L1=L2。唯一性若lim(x→a)f(x)=L，則存在一個(gè)正數(shù)M，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，|f(x)|<M。局部有界性若lim(x→a)f(x)=L>0，則存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，f(x)>0；若lim(x→a)f(x)=L<0，則存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-a|<δ時(shí)，f(x)<0。局部保號(hào)性函數(shù)極限的性質(zhì)02函數(shù)極限的運(yùn)算性質(zhì)CHAPTER加法定理若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)±g(x)]=A±B。乘法定理若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B。除法定理若lim(x→x0)f(x)=A且B≠0，則lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。冪運(yùn)算性質(zhì)若lim(x→x0)f(x)=A，則lim(x→x0)[f(x)^n]=A^n。極限的四則運(yùn)算性質(zhì)復(fù)合函數(shù)極限存在定理若lim(x→x0)g(x)=y0，且在點(diǎn)y0的某去心鄰域內(nèi)g'(y)≠0，又lim(y→y0)f(y)=A，則lim(x→x0)[f[g(x)]/g'(y)]=A/B。復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算性質(zhì)若lim(x→∞)f(x)=A和lim(y→∞)g(y)=B，則lim(xy→∞)[f[g(xy)]/g[f(xy)]]=A/B。復(fù)合函數(shù)極限設(shè)lim(x→x0)g(x)=y0，又lim(y→y0)f(y)=A，則lim(x→x0)[f[g(x)]]=A。極限的復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)商的極限定理若lim(x→∞)f1(x)/f2(x)=A，且存在某個(gè)正數(shù)N，當(dāng)|x|>N時(shí)，f2(x)≠0，則lim(x→∞)[f1[g(x)]/f2[g(x)]]=A*lim(y→∞)g'(y)。商的運(yùn)算性質(zhì)若lim(x→∞)f1(x)/f2(x)存在（不為∞），且lim(y→∞)g1(y)/g2(y)=B存在（不為∞），則lim(xy→∞)[f1[g1(xy)]*g2[f2(xy)]/f2[g1(xy)]*g2[f2(xy)]]=A*B。極限的商的運(yùn)算性質(zhì)03函數(shù)極限的應(yīng)用CHAPTER通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)的極限值，可以求解某些參數(shù)的值?？偨Y(jié)詞在某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，函數(shù)的形式可能未知或復(fù)雜，但我們可以知道函數(shù)在某點(diǎn)的極限值。利用這個(gè)極限值，我們可以求解某些參數(shù)的值，從而確定函數(shù)的表達(dá)式。詳細(xì)描述利用函數(shù)極限求參數(shù)值總結(jié)詞通過(guò)比較函數(shù)在不同點(diǎn)的極限值，可以證明某些不等式。詳細(xì)描述在證明不等式時(shí)，我們可以利用函數(shù)在不同點(diǎn)的極限值進(jìn)行比較。如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限值大于另一個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的極限值，那么我們可以得出相應(yīng)的函數(shù)值大小關(guān)系，從而證明不等式。利用函數(shù)極限證明不等式VS通過(guò)計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)的極限值，可以求得該點(diǎn)的函數(shù)值。詳細(xì)描述在一些情況下，我們可能不知道函數(shù)在某點(diǎn)的具體值，但知道該點(diǎn)的極限值。通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的極限值，我們可以得到該點(diǎn)的函數(shù)值。這種方法在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)非常有用，尤其是在處理一些難以直接求解的復(fù)雜函數(shù)時(shí)。總結(jié)詞利用函數(shù)極限求函數(shù)的值04無(wú)窮小與無(wú)窮大CHAPTER無(wú)窮小是極限為0的變量。定義無(wú)窮小具有可加性、可減性、可乘性和可除性。性質(zhì)無(wú)窮小在求極限、微積分等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用無(wú)窮小的定義與性質(zhì)無(wú)窮大是極限為無(wú)窮的變量。定義無(wú)窮大具有可加性、可減性、可乘性和可除性。性質(zhì)無(wú)窮大在研究函數(shù)的極限、級(jí)數(shù)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。應(yīng)用無(wú)窮大的定義與性質(zhì)

無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)的概念，一個(gè)變量是無(wú)窮小意味著它的極限為0，而一個(gè)變量是無(wú)窮大意味著它的極限為無(wú)窮。無(wú)窮小與無(wú)窮大之間存在密切的聯(lián)系，例如在求極限的過(guò)程中，有時(shí)需要利用無(wú)窮小的性質(zhì)來(lái)處理無(wú)窮大的情況。無(wú)窮小與無(wú)窮大在研究函數(shù)的極限、級(jí)數(shù)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，它們是高等數(shù)學(xué)中重要的概念之一。05函數(shù)的連續(xù)性CHAPTER連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，即當(dāng)自變量趨近于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于極限值。總結(jié)詞連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即對(duì)于任意給定的正數(shù)$varepsilon$，存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$|x-x_0|<delta$時(shí)，有$|f(x)-f(x_0)|<varepsilon$。詳細(xì)描述連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性等。連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如極限的四則運(yùn)算法則，即兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)；復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，即若函數(shù)$u=g(x)$和$y=f(u)$都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)$y=f(g(x))$也連續(xù)；反函數(shù)的連續(xù)性，即反函數(shù)與原函數(shù)在各自定義域上都是連續(xù)的?？偨Y(jié)詞詳細(xì)描述連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)詞函數(shù)的間斷點(diǎn)是指函數(shù)在該點(diǎn)處不連續(xù)的點(diǎn)，間斷點(diǎn)分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)。詳細(xì)描述函數(shù)的間斷點(diǎn)是指函數(shù)在