2023年山東省濟南市中考數學真題含解析

濟南市2023年九年級學業(yè)水平考試數學試題本試卷共8頁，滿分150分．考試時間為120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，用0．5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個選項符合題目要求．1.下列幾何體中，主視圖是三角形的為（）A. B.C. D.2.2022年我國糧食總產量再創(chuàng)新高，達686530000噸．將數字686530000用科學記數法表示為（）A. B.C. D.3.如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上．如果，那么的度數是（）A. B. C. D.4.實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.5.下圖是度量衡工具漢尺、秦權、新莽銅卡尺和商鞅方升的示意圖，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.6.下列運算正確的是（）A. B.C. D.7.已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.8.從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機抽取2名同學參加圖書節(jié)志愿服務活動，其中甲同學是女生，乙、丙、丁同學都是男生，被抽到的2名同學都是男生的概率為（）A. B. C. D.9.如圖，在中，，，以點為圓心，以為半徑作弧交于點，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，連接．以下結論不正確的是（）A. B.C. D.10.定義：在平面直角坐標系中，對于點，當點滿足時，稱點是點的“倍增點”，已知點，有下列結論：①點，都是點“倍增點”；②若直線上的點A是點的“倍增點”，則點的坐標為；③拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；④若點是點的“倍增點”，則的最小值是．其中，正確結論個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．直接填寫答案．11.因式分解：=__________．12.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色．一個不透明的盒子中裝有3個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是，則盒子中棋子的總個數是_________．13.關于的一元二次方程有實數根，則的值可以是_________（寫出一個即可）．14.如圖，正五邊形的邊長為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為_________（結果保留）．15.學校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行”，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出發(fā)，沿同一條路勻速前進．如圖所示，和分別表示兩人到小亮家的距離和時間的關系，則出發(fā)__________h后兩人相遇．16.如圖，將菱形紙片沿過點的直線折疊，使點落在射線上的點處，折痕交于點．若，，則的長等于__________．

三、解答題：本題共10小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．18.解不等式組：，并寫出它的所有整數解．19.已知：如圖，點為對角線的中點，過點的直線與，分別相交于點，．求證：．20.圖1是某越野車的側面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；（2）若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結果精確到，參考數據：，，，）21.2023年，國內文化和旅游行業(yè)復蘇勢頭強勁．某社團對30個地區(qū)“五一”假期的出游人數進行了調查，獲得了它們“五一”假期出游人數（出游人數用表示，單位：百萬）的數據，并對數據進行統(tǒng)計整理．數據分成5組：A組：；B組：；C組：；D組：；E組：．下面給出了部分信息：a．B組的數據：12，13，15，16，17，17，18，20．b．不完整的“五一”假期出游人數的頻數分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖如下：請根據以上信息完成下列問題：（1）統(tǒng)計圖中E組對應扇形的圓心角為____________度；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）這30個地區(qū)“五一”假期出游人數的中位數是___________百萬；（4）各組“五一”假期平均出游人數如下表：組別ABCDE平均出游人數（百萬）551632.54250求這30個地區(qū)“五一”假期的平均出游人數．22.如圖，，為的直徑，為上一點，過點的切線與的延長線交于點，，點是的中點，弦，相交于點．（1）求的度數；（2）若，求直徑的長．23.某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同．（1）求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元?（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少?最少花費是多少元?24綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發(fā)現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發(fā)現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．25.在平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，，．拋物線與軸交于點和點．（1）如圖1，若拋物線過點，求拋物線的表達式和點的坐標；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點的對應點落在直線上，點的對應點落在拋物線上，求點的坐標；（3）若拋物線與正方形恰有兩個交點，求的取值范圍．26.在矩形中，，，點在邊上，將射線繞點逆時針旋轉90°，交延長線于點，以線段，為鄰邊作矩形．

（1）如圖1，連接，求的度數和的值；（2）如圖2，當點在射線上時，求線段的長；（3）如圖3，當時，在平面內有一動點，滿足，連接，，求的最小值． 濟南市2023年九年級學業(yè)水平考試數學試題本試卷共8頁，滿分150分．考試時間為120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，用0．5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個選項符合題目要求．1.下列幾何體中，主視圖是三角形的為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別判斷出各選項中的幾何體的主視圖，即可得出答案.【詳解】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故本選項符合題意；B、球的主視圖是圓，故本選項不符合題意；C、長方體的主視圖是長方形，故本選項不符合題意；D、三棱柱的主視圖是長方形，故本選項不符合題意；故選：A.【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟知常見幾何體的主視圖是解本題的關鍵.2.2022年我國糧食總產量再創(chuàng)新高，達686530000噸．將數字686530000用科學記數法表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正數；當原數的絕對值時，n是負數．【詳解】解：，故選：B【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3.如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上．如果，那么的度數是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據兩直線平行，同位角相等可得，再結合三角板的特征利用平角定義即可算出的度數．【詳解】解：如下圖進行標注，，，，故選：．【點睛】本題考查了平行線性質，三角形平角的定義，利用三角板的特點求出結果是解答本題的關鍵．4.實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意可得，然后根據數的乘法和加法法則以及不等式的性質進行判斷即可.【詳解】解：由題意可得：，所以，∴，觀察四個選項可知：只有選項D的結論是正確的；故選：D.【點睛】本題考查了實數與數軸以及不等式的性質，正確理解題意、得出是解題的關鍵.5.下圖是度量衡工具漢尺、秦權、新莽銅卡尺和商鞅方升的示意圖，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】A、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．將一個圖形沿著一條直線翻折后，直線兩側能完全重合的圖形是軸對稱圖形，將一個圖形繞一點旋轉180度后能與自身重合的圖形是中心對稱圖形；軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．6.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據同底數冪的乘除法、合并同類項、冪的乘方等運算法則逐項判斷即得答案.【詳解】解：A、，故本選項運算錯誤，不符合題意；B、與不是同類項，不能合并，故本選項運算錯誤，不符合題意；C、，故本選項運算錯誤，不符合題意；D、，故本選項運算正確，符合題意；故選：D.【點睛】本題考查了同底數冪的乘除法、合并同類項、冪的乘方等知識，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.7.已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據函數解析式中的比例系數確定函數圖象所在的象限，再根據各象限內點的坐標特點及函數的增減性解答．【詳解】解：在反比例函數中，，此函數圖象在二、四象限，，點，在第二象限，，，函數圖象在第二象限內為增函數，，．，點在第四象限，，，，的大小關系為．故選：C．【點睛】此題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點及平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，比較簡單．8.從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機抽取2名同學參加圖書節(jié)志愿服務活動，其中甲同學是女生，乙、丙、丁同學都是男生，被抽到的2名同學都是男生的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意畫樹狀圖，再利用概率公式，即可得到答案．【詳解】解：根據題意，畫樹狀圖如下：一共有12種情況，被抽到的2名同學都是男生的情況有6種，，故選：B．【點睛】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握概率公式是解題關鍵．9.如圖，在中，，，以點為圓心，以為半徑作弧交于點，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，連接．以下結論不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，，平分，根據三角形內角和及角平分線判斷A即可；由角平分線求出，得到，根據三角形內角和求出，得到，即可判斷B；證明，得到，設，則，求出x，即可判斷C；過點E作于G，于H，由角平分線的性質定理推出，即可根據三角形面積公式判斷D．【詳解】解：由題意得，，平分，∵在中，，，∴∵平分，∴，故A正確；∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∴，設，則，∴，∴，解得，∴，∴，故C錯誤；過點E作于G，于H，∵平分，，，∴∴，故D正確；故選：C．【點睛】此題考查了等腰三角形等邊對等角，相似三角形的判定和性質，角平分線的作圖及性質，解一元二次方程，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．10.定義：在平面直角坐標系中，對于點，當點滿足時，稱點是點的“倍增點”，已知點，有下列結論：①點，都是點的“倍增點”；②若直線上的點A是點的“倍增點”，則點的坐標為；③拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；④若點是點的“倍增點”，則的最小值是．其中，正確結論的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①根據題目所給“倍增點”定義，分別驗證即可；②點，根據“倍增點”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；③設拋物線上點是點的“倍增點”，根據“倍增點”定義列出方程，再根據判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設點，根據“倍增點”定義可得，根據兩點間距離公式可得，把代入化簡并配方，即可得出的最小值為，即可判斷．【詳解】解：①∵，，∴，∴，則是點的“倍增點”；∵，，∴，∴，則是點的“倍增點”；故①正確，符合題意；②設點，∵點A是點的“倍增點”，∴，解得：，∴，故②不正確，不符合題意；③設拋物線上點是點的“倍增點”，∴，整理得：，∵，∴方程有兩個不相等實根，即拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；故③正確，符合題意；④設點，∵點是點的“倍增點”，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值為，∴的最小值是，故④正確，符合題意；綜上：正確的有①③④，共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點間的距離公式，解題的關鍵是正確理解題目所給“倍增點”定義，根據定義列出方程求解．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．直接填寫答案．11.因式分解：=__________．【答案】（x+4）（x-4）【解析】【分析】

【詳解】x2-16=(x+4)(x-4)，故答案為：(x+4)(x-4)12.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色．一個不透明的盒子中裝有3個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是，則盒子中棋子的總個數是_________．【答案】【解析】【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的數量除以對應概率，即可算出棋子的總數．【詳解】解：，∴盒子中棋子的總個數是．故答案為：．【點睛】本題考查了簡單隨機事件概率的相關計算，事件出現的概率等于出現的情況數與總情況數之比．13.關于的一元二次方程有實數根，則的值可以是_________（寫出一個即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由于方程有實數根，則其根的判別式，由此可以得到關于的不等式，解不等式就可以求出的取值范圍，進而得出答案．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，即，解得：，∴的值可以是．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關系，當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．14.如圖，正五邊形的邊長為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為_________（結果保留）．【答案】【解析】【分析】根據正多邊形內角和公式求出正五邊形的內角和，再求出的度數，利用扇形面積公式計算即可．【詳解】解：正五邊形的內角和，，，故答案為：．【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內角和公式是解答本題的關鍵．15.學校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行”，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出發(fā)，沿同一條路勻速前進．如圖所示，和分別表示兩人到小亮家的距離和時間的關系，則出發(fā)__________h后兩人相遇．【答案】0.35【解析】【分析】根據題意和函數圖象中的數據可以計算出小明和小亮的速度，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意和圖象可得，小明0.5小時行駛了，∴小明的速度為：，小亮0.4小時行駛了，∴小明的速度為：，設兩人出發(fā)后兩人相遇，∴解得，∴兩人出發(fā)0.35后兩人相遇，故答案為：0.35【點睛】本題考查函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．16.如圖，將菱形紙片沿過點的直線折疊，使點落在射線上的點處，折痕交于點．若，，則的長等于__________．

【答案】【解析】【分析】過點A作于點Q，根據菱形性質可得，根據折疊所得，結合三角形的外角定理得出，最后根據，即可求解．【詳解】解：過點A作于點Q，∵四邊形為菱形，，∴，，∴，∵由沿折疊所得，∴，∴，∵，，∴，則，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，折疊的性質，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質，正確畫出輔助線，構造直角三角形求解．三、解答題：本題共10小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．【答案】【解析】【分析】根據絕對值的意義、負整數指數冪、零指數冪以及特殊角的三角函數值分別計算后，再根據二次根式加減運算法則求解即可得到答案．【詳解】解：．【點睛】本題考查了絕對值的意義、負整數指數冪運算、零指數冪運算、特殊角的三角函數值、二次根式加減運算，熟練掌握相關運算法則是解本題的關鍵．18.解不等式組：，并寫出它的所有整數解．【答案】，整數解為0，1，2【解析】【分析】分別求解兩個不等式，再寫出解集，最后求出滿足條件的整數解即可．【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，在同一條數軸上表示不等式①②的解集，原不等式組的解集是，∴整數解為0，1，2．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步驟，以及寫出不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”．19.已知：如圖，點為對角線的中點，過點的直線與，分別相交于點，．求證：．【答案】詳見解析【解析】【分析】根據平行四邊形的性質得出，，進而得出，，再證明，根據全等三角形的性質得出，再利用線段的差得出，即可得出結論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵點為對角線的中點，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，正確理解題意是解題的關鍵．20.圖1是某越野車的側面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；（2）若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結果精確到，參考數據：，，，）【答案】（1）車后蓋最高點到地面的距離為（2）沒有危險,詳見解析【解析】【分析】（1）作，垂足為點，先求出的長，再求出的長即可；（2）過作，垂足為點，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【小問1詳解】如圖，作，垂足為點

在中∵，∴∴∵平行線間的距離處處相等∴答：車后蓋最高點到地面的距離為．【小問2詳解】沒有危險，理由如下：過作，垂足為點∵，∴∵∴在中，∴．∵平行線間的距離處處相等∴到地面的距離為．∵∴沒有危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．21.2023年，國內文化和旅游行業(yè)復蘇勢頭強勁．某社團對30個地區(qū)“五一”假期的出游人數進行了調查，獲得了它們“五一”假期出游人數（出游人數用表示，單位：百萬）的數據，并對數據進行統(tǒng)計整理．數據分成5組：A組：；B組：；C組：；D組：；E組：．下面給出了部分信息：a．B組的數據：12，13，15，16，17，17，18，20．b．不完整的“五一”假期出游人數的頻數分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖如下：請根據以上信息完成下列問題：（1）統(tǒng)計圖中E組對應扇形的圓心角為____________度；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）這30個地區(qū)“五一”假期出游人數的中位數是___________百萬；（4）各組“五一”假期的平均出游人數如下表：組別ABCDE平均出游人數（百萬）5.51632.54250求這30個地區(qū)“五一”假期的平均出游人數．【答案】（1）36（2）詳見解析（3）155（4）20百萬【解析】【分析】（1）由E組的個數除以總個數，再乘以即可；（2）先用D組所占百分比乘以總個數得出其個數，再用總個數減去A、B、D、E組的個數得出C組個數，最后畫圖即可；（3）根據中位數的定義可得出中位數為第15和16個數的平均數，第15和16個數均在B組，求解即可；（4）根據加權平均數的求解方法計算即可．【小問1詳解】，故答案為：36；【小問2詳解】D組個數：個，C組個數：個，補全頻數分布直方圖如下：【小問3詳解】共30個數，中位數為第15和16個數的平均數，第15和16個數均在B組，∴中位數為百萬，故答案為：15.5；【小問4詳解】（百萬），答：這30個地區(qū)“五一”假期的平均出游人數是20百萬．【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和頻數分布直方圖的相關知識，涉及求扇形所對的圓心角的度數，畫頻數分布直方圖，求中位數，求加權平均數，熟練掌握知識點，并能夠從題目中獲取信息是解題的關鍵．22.如圖，，為的直徑，為上一點，過點的切線與的延長線交于點，，點是的中點，弦，相交于點．（1）求的度數；（2）若，求直徑的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據切線的性質，得出，再根據直角三角形兩銳角互余，得出，再根據等邊對等角，得出，再根據等量代換，得出，再根據，得出，即，得出，進而計算即可得出答案；（2）連接，根據圓周角定理，得出，再根據中點定義，得出，再根據同弧或同弦所對的圓周角相等，得出，再根據正切的定義，得出，再根據角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，進而即可得出答案．【小問1詳解】解：∵與相切于點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖，連接，∵是直徑，∴，∵點是的中點，∴，∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴的直徑的長為．【點睛】本題考查了切線的性質、直角三角形兩銳角互余、等邊對等角、圓周角定理及其推論、銳角三角函數、含角的直角三角形的性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理．23.某校開設智能機器人編程校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同．（1）求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元?（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少?最少花費是多少元?【答案】（1）A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元（2）購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元【解析】【分析】（1）設A型編程機器人模型單價是元，B型編程機器人模型單價是元，根據：用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同即可列出關于x的分式方程，解方程并檢驗后即可求解；（2）設購買A型編程機器人模型臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費元，根據題意可求出m范圍和W關于m的函數關系式，再結合一次函數的性質即可求出最小值【小問1詳解】解：設A型編程機器人模型單價是元，B型編程機器人模型單價是元．根據題意，得解這個方程，得經檢驗，是原方程的根．答：A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元．【小問2詳解】設購買A型編程機器人模型臺，購買B型編程機器人模型臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費元，由題意得：，解得．∴即，∵，∴隨的增大而增大．∴當時，取得最小值11200，此時；答：購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元．【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用和一次函數的性質，正確理解題意、找準相等與不等關系、得出分式方程與不等式是解題的關鍵．24.綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發(fā)現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發(fā)現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，；（4）【解析】【分析】（1）聯(lián)立反比例函數和一次函數表達式，求出交點坐標，即可解答；（2）根據得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數圖像有交點，若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；（3）過點作的平行線，即可作出直線的圖象，將點代入，即可求出a的值；（4）根據存在交點，得出方程有實數根，根據根的判別式得出，再得出反比例函數圖象經過點，，則當與圖象在點左邊，點右邊存在交點時，滿足題意；根據圖象，即可寫出取值范圍．【詳解】解：（1）∵反比例函數，直線：，∴聯(lián)立得：，解得：，，∴反比例函與直線：的交點坐標為和，當木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．故答案為：4；2．（2）不能圍出．∵木欄總長為，∴，則，畫出直線的圖象，如圖中所示：∵與函數圖象沒有交點，∴不能圍出面積為的矩形；（3）如圖中直線所示，即為圖象，將點代入，得：，解得；（4）根據題意可得∶若要圍出滿足條件的矩形地塊，與圖象在第一象限內交點的存在問題，即方程有實數根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函數圖象經過點，把代入得：，解得：，∴反比例函數圖象經過點，令，，過點，分別作直線的平行線，由圖可知，當與圖象在點A左邊，點B右邊存在交點時，滿足題意；把代入得：，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了反比例函數和一次函數綜合，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出等量關系，掌握待定系數法，會根據函數圖形獲取數據．25.在平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，，．拋物線與軸交于點和點．（1）如圖1，若拋物線過點，求拋物線的表達式和點的坐標；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平