2003年名師課堂輔導(dǎo)講座-高中部分-二次函數(shù)

二次函數(shù)(一）袁慶祝特級教師2003年名師課堂輔導(dǎo)講座—高中部分

二次函數(shù)是初等函數(shù)中的重要函數(shù)，在解決各類數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中對二次函數(shù)的知識要做必要的提高和加深，二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系十分密切，揭示和認(rèn)識它們的相互聯(lián)系，以求相互為用，具有重要的意義。

學(xué)習(xí)二次函數(shù)，首先要掌握它的定義、圖象和性質(zhì)，要會在各種條件下，應(yīng)用代定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，要靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析問題和解決問題。深刻領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等重要數(shù)學(xué)思想方法，對拓寬學(xué)生解題思路、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力，具有十分重要意義。知識要點(diǎn)：（1）解析式的三種形式。（2）二次函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用。（3）二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系。（4）利用二次函數(shù)圖象解題一、二次函數(shù)解析式的求法（3）兩根式：二次函數(shù)解析式形式有：（1）一般式：

(2)頂點(diǎn)式：例1、求二次函數(shù)的解析式。圖象通過A(2,-3)B(-2,-7)C(4,7)三點(diǎn)

則有設(shè)二次函數(shù)為y=解法一：解得a=,b=1,c=-3

所求函數(shù)為[典型例題]：C(4,-7)·yxo解法二：A(2,-3)·B(-2,-7)·從圖象中由A、B縱坐標(biāo)可以看出對稱軸為x=1，則設(shè)二次函數(shù)為在坐標(biāo)系中畫出三點(diǎn)，如圖x=1將A（2,-3),B(-2,-7)的坐標(biāo)代入得：所以所求二次函數(shù)解析式為：

解得a=,n=C(4,-7)oyB(-2,-7)·x=1A(2,-3)··解法三：A(2,-3)·B(-2,-7)·C(4,-7)·x，C(4,0)·oyB(-2,0)·，A(2,4)·，由點(diǎn)作出圖象若將三點(diǎn)向上平移7個單位，所以設(shè)新拋物線方程為：作出新拋物線，如圖，得到A（2，4）、B（-2，0）、C（4，0）

，,將A（2，4）坐標(biāo)代入方程解得：所求拋物線方程為：新拋物線方程為：將新拋物線再向下平移7個單位得：例2、二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-2,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3)。求此二次函數(shù)的解析式。

解法1：由題意設(shè)二次函數(shù)為則有解得所求解析式為因?yàn)閽佄锞€與x軸相交A(-2,0),B(3,0)兩點(diǎn),所以設(shè)解析式為：解法2：由f(0)=-3得-6a=-3,解得a=即所求解析式為解法3：作函數(shù)圖象，yxoB(3,0)·C(0,-3)·A(-2,0)·則對稱軸為設(shè)解析式為則解得即所求解析式為例4、已知是的二次函數(shù)，方程的兩根之差等于7，當(dāng)時，取最值49，求此二次函數(shù)。解法一：設(shè)則f(x)=0有兩個不相等的實(shí)根由知整理得（1）（2）（3）由（1）、（2）得:解得a=-4,從而b=-12,c=40即所求解析式為:解法二：依題意，設(shè)若a>0,則方程f(x)=0無實(shí)根，與已知矛盾，故a<0令f(x)=0,得代入解得f(x)=-4(x+5)(x-2)

=解法三：拋物線y=f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是其對稱軸是直線拋物線與x軸的兩交點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱由兩根之差等于7可知兩根是設(shè)由得a=-4

通過以上例子說明，求二次函數(shù)解析式可以根據(jù)條件選擇適當(dāng)方法，而方法并不是唯一的，要多角度地看問題，并注意圖象在解題中的作用。二、二次函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用二次函數(shù)圖象xyoxyo（1）a>0,開口方向向上

a<0,開口方向向下

(3)頂點(diǎn)為（）（4）函數(shù)最值情況。（2）對稱軸為x=解題要點(diǎn)：（1）由的符號判斷拋物線開口方向；（2）對稱軸在坐標(biāo)系中的位置；（3）判別式的符號；（4）區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值：例6、拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)及頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則求k的值。解：拋物線化為:頂點(diǎn)為yxoABC令y=0，則所以拋物線與軸交點(diǎn)A、B的距離為AB=由題意：化為令=t則有平方得：解得所求k值為例7、已知二次函數(shù)圖象與x軸、y軸都只有一個公共點(diǎn)，分別為點(diǎn)A，B，且AB=2，（1）、求二次函數(shù)的解析式；（2）、若一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A，并和二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)C，求ABC的面積。解：（1）拋物線與x軸交于點(diǎn)A與y軸交于B（c，0）,從而解得或（不合題意舍去）CxyoABD所以有所以解得所求二次函數(shù)的解析式為（2）由化為所以A（，0），設(shè)C為由根與系數(shù)關(guān)系得解得例8、已知二次函數(shù)的圖象如圖

xyo1則下列6個代數(shù)式：ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b中其為正的式子有哪些？解：則f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c從圖象可看出a<0,f(1)>0,f(-1)<0,c<0由則ab<0,ac>0,2a-b<0又由從而b+2a<0設(shè)y=f(x)=b>0得得1xyo所以為正的有ac,a+b+c.例9、已知二次函數(shù)的圖象如圖

xyo1-1并設(shè)M=A、M>0B、M<0

C、M=0D、不能確定M的符號則有xyo1-1解：設(shè)y=f(x)=則由圖象可知由a>0得b+2a>0,b<0，2a-b>0故選B則則三、二次函數(shù)與一元二次方程一元二次不等式二次函數(shù)（1）y=0時為一元二次方程（2）y>0或y<0時為一元二次不等式觀察二次函數(shù)圖象yyxoxyxoo，是方程的兩根你能說出的解集嗎？R的解集解：原式化為方程的根為例10、解不等式當(dāng)時原不等式解集為所以原不等式解集為原不等式為當(dāng)時，當(dāng)時，原不等式解集為例11、解關(guān)于x的不等式：解：原不等式化為方程的根為所以原不等式解集為：原不等式為：解得（1）當(dāng)時或或當(dāng)時，（2）解得解為：或所以原不等式解集為：不等式：當(dāng)時，解得解為：或所以原不等式解集為：不等式：（3）綜上原不等式解集為：當(dāng)