概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)匯報(bào)人：AA2024-01-19CATALOGUE目錄概率論基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)原理單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)比較假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法實(shí)際應(yīng)用案例分析01概率論基礎(chǔ)樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，事件是樣本空間的子集，表示某些特定結(jié)果的出現(xiàn)。樣本空間與事件概率是描述事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，具有非負(fù)性、規(guī)范性和可列可加性。概率的定義與性質(zhì)條件概率是在已知某事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。兩事件獨(dú)立意味著一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生概率。條件概率與獨(dú)立性概率空間與事件隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)。離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量取值為有限個(gè)或可列個(gè)，常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量分布有二項(xiàng)分布、泊松分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量取值充滿某個(gè)區(qū)間，常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量分布有正態(tài)分布、均勻分布等。隨機(jī)變量及其分布030201數(shù)字特征與極限定理數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的平均水平，方差描述隨機(jī)變量取值的離散程度。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差描述兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度，相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，取值在[-1,1]之間。大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律表明當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，頻率近似于概率；中心極限定理表明當(dāng)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，其和的分布近似于正態(tài)分布。數(shù)學(xué)期望與方差02數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念總體與樣本總體研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)分布函數(shù)來(lái)描述。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣中的分布情況。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布VS用一個(gè)具體的數(shù)值來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的方法，如樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)。區(qū)間估計(jì)用一個(gè)區(qū)間來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的方法，該區(qū)間包含了參數(shù)真值的可信程度，如置信區(qū)間。點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)03參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)原理假設(shè)的設(shè)立根據(jù)研究問(wèn)題設(shè)立原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，原假設(shè)通常是希望被拒絕的假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用于衡量樣本數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間的差異。拒絕域與接受域根據(jù)顯著性水平$alpha$確定拒絕域和接受域，若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)基本思想顯著性水平$alpha$表示在原假設(shè)為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)的概率，通常取值為0.01、0.05或0.1。拒絕域根據(jù)顯著性水平$alpha$和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布確定，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域時(shí)，我們拒絕原假設(shè)。顯著性水平與拒絕域第二類(lèi)錯(cuò)誤原假設(shè)為假時(shí)錯(cuò)誤地接受原假設(shè)的概率，用$beta$表示。功效函數(shù)描述在原假設(shè)和備擇假設(shè)下，拒絕原假設(shè)的概率與參數(shù)真值之間的關(guān)系。功效函數(shù)值越大，檢驗(yàn)的效力越高。第一類(lèi)錯(cuò)誤原假設(shè)為真時(shí)錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)的概率，即顯著性水平$alpha$。兩類(lèi)錯(cuò)誤與功效函數(shù)04單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在給定樣本量和顯著性水平下，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如z值或t值）。決策規(guī)則比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值，若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在拒絕域內(nèi)，則拒絕零假設(shè)。拒絕域與臨界值根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布和顯著性水平，確定拒絕域和臨界值。零假設(shè)與備擇假設(shè)零假設(shè)通常是總體均值等于某個(gè)特定值，備擇假設(shè)則是總體均值不等于、大于或小于該特定值。單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)零假設(shè)與備擇假設(shè)零假設(shè)通常是總體方差等于某個(gè)特定值，備擇假設(shè)則是總體方差不等于該特定值。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量使用卡方分布作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)，計(jì)算卡方值。拒絕域與臨界值根據(jù)卡方分布和顯著性水平，確定拒絕域和臨界值。決策規(guī)則比較卡方值與臨界值，若卡方值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕零假設(shè)。單個(gè)正態(tài)總體方差檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)只關(guān)注參數(shù)的一側(cè)（如只關(guān)注均值是否大于或小于某個(gè)值），適用于有明確方向性的研究問(wèn)題。雙側(cè)檢驗(yàn)關(guān)注參數(shù)的兩側(cè)（如關(guān)注均值是否不等于某個(gè)值），適用于沒(méi)有明確方向性的研究問(wèn)題。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與決策規(guī)則單側(cè)檢驗(yàn)和雙側(cè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和決策規(guī)則類(lèi)似，但拒絕域和臨界值的確定有所不同。單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)05兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)比較假設(shè)檢驗(yàn)基于兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差，構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)原理提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，確定顯著性水平，計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量并查表得到p值，根據(jù)p值做出決策。檢驗(yàn)步驟需要保證兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布。注意事項(xiàng)010203兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體均值比較檢驗(yàn)檢驗(yàn)原理檢驗(yàn)步驟注意事項(xiàng)兩個(gè)配對(duì)正態(tài)總體均值比較檢驗(yàn)對(duì)于兩個(gè)配對(duì)的正態(tài)總體，通過(guò)計(jì)算每對(duì)數(shù)據(jù)的差值，得到差值的樣本均值和樣本方差，進(jìn)而構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，確定顯著性水平，計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量并查表得到p值，根據(jù)p值做出決策。需要保證配對(duì)數(shù)據(jù)之間的獨(dú)立性，且差值服從正態(tài)分布。兩個(gè)正態(tài)總體方差比較檢驗(yàn)需要保證兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布。同時(shí)，對(duì)于方差的比較檢驗(yàn)，通常要求樣本量較大以保證檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性。注意事項(xiàng)基于兩個(gè)正態(tài)總體的樣本方差，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)原理提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，確定顯著性水平，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量并查表得到p值，根據(jù)p值做出決策。檢驗(yàn)步驟06非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的適用場(chǎng)景當(dāng)總體分布形式未知或難以確定，或者數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗(yàn)的前提條件時(shí)，非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)是一種有效的統(tǒng)計(jì)推斷方法。非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)具有廣泛的適用性和穩(wěn)健性，對(duì)總體分布的假設(shè)要求較少，能夠處理各種類(lèi)型的數(shù)據(jù)和復(fù)雜情況。非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的定義非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)是一種基于樣本數(shù)據(jù)秩或符號(hào)等非參數(shù)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的方法，它不依賴(lài)于總體分布的具體形式。非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)概述符號(hào)秩和檢驗(yàn)的基本思想符號(hào)秩和檢驗(yàn)是一種基于樣本數(shù)據(jù)符號(hào)和秩的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，它通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的符號(hào)進(jìn)行排序并計(jì)算秩和，從而推斷總體分布是否存在顯著差異。符號(hào)秩和檢驗(yàn)的步驟首先，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行符號(hào)化處理；其次，對(duì)符號(hào)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行排序并計(jì)算秩和；最后，根據(jù)秩和統(tǒng)計(jì)量的分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。符號(hào)秩和檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)景適用于兩配對(duì)樣本或兩獨(dú)立樣本的比較，如醫(yī)學(xué)研究中兩組患者的療效比較、心理學(xué)中兩種不同處理方法的效果比較等。符號(hào)秩和檢驗(yàn)方法游程秩和檢驗(yàn)的基本思想游程秩和檢驗(yàn)是一種基于樣本數(shù)據(jù)游程和秩的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，它通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的游程進(jìn)行排序并計(jì)算秩和，從而推斷總體分布是否存在顯著差異。游程秩和檢驗(yàn)的步驟首先，確定樣本數(shù)據(jù)的游程；其次，對(duì)游程進(jìn)行排序并計(jì)算秩和；最后，根據(jù)秩和統(tǒng)計(jì)量的分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。游程秩和檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)景適用于多個(gè)獨(dú)立樣本的比較，如生物學(xué)中不同物種的基因表達(dá)差異分析、經(jīng)濟(jì)學(xué)中不同地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的比較等。010203游程秩和檢驗(yàn)方法07實(shí)際應(yīng)用案例分析醫(yī)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用案例臨床試驗(yàn)在藥物研發(fā)過(guò)程中，通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)比較新藥與安慰劑對(duì)患者病情的影響是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異，從而判斷新藥的療效。診斷試驗(yàn)通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)評(píng)估某種診斷方法（如生物標(biāo)志物檢測(cè)）的準(zhǔn)確性，以及該方法是否能夠區(qū)分患者與健康人群。流行病學(xué)研究運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)分析疾病與某些因素（如生活習(xí)慣、環(huán)境因素等）之間的關(guān)聯(lián)性，為疾病預(yù)防和控制提供依據(jù)。03工程設(shè)計(jì)優(yōu)化通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)比較不同設(shè)計(jì)方案或材料的性能差異，為工程設(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)。01質(zhì)量控制在制造業(yè)中，通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)判斷生產(chǎn)過(guò)程中的產(chǎn)品質(zhì)量是否穩(wěn)定，以及是否存在顯著的質(zhì)量問(wèn)題。02可靠性分析運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)評(píng)估產(chǎn)品或系統(tǒng)的可靠性，預(yù)測(cè)其在規(guī)定條件下