【數(shù)學(xué)】向量的數(shù)乘運(yùn)算課件 2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)習(xí)任務(wù)01了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義（重點(diǎn)）理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算（重點(diǎn)）理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識處理有關(guān)向量共線問題（難點(diǎn)）020403理解實(shí)數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)別（易混點(diǎn)）復(fù)習(xí)回顧②向量加法的平行四邊形法則：同起點(diǎn)，和向量由起點(diǎn)指向?qū)蔷€端點(diǎn)適用于不共線的向量求和.首尾相接，和向量由起點(diǎn)指向終點(diǎn).①向量加法的三角形法則：適用于任意非零向量求和.本質(zhì)上一致，平行四邊形法則中運(yùn)用了相等向量的平移。Cba+baBABbaACa+bO復(fù)習(xí)回顧aOABb.向量減法的三角形法則共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量.注意a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)，這就是向量減法的幾何意義01探索新知探索新知狗、貓和老鼠老鼠由B處以6m/s的速度向正東奔跑，狗由A處以6m/s的速度向正西奔跑，貓由A處以5m/s的速度向正東奔跑，問：老鼠和狗能否相遇？貓和老鼠能否相遇？可以用向量解決這個問題嗎？探索新知已知非零向量a，作出a+a+a和（－a）+（－a）+（－a）.它們的長度和方向分別是怎樣的？

探究

？向量的加法POCABQMN上述這種實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘.3a的方向與a相同，長度是a的3倍

探索新知

思考：你對零向量、相反向量有什么新的認(rèn)識？探索新知如果把非零向量a的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變得到向量b，向量b該如何表示？向量a，b之間的關(guān)系怎樣？

思考

？

注意：

b＝3.5a，b與a的方向相同，b的長度是a的長度的3.5倍2.實(shí)數(shù)和向量可以相乘，但不能相加減，λ+a，λ－a無意義探索新知思考：你對零向量、相反向量有什么新的認(rèn)識？0可看成實(shí)數(shù)0與任意向量a的乘積，a的相反向量可看成－1與a的乘積

歸納總結(jié)：

探索新知數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律，向量的數(shù)乘運(yùn)算是否也滿足上述運(yùn)算律呢？

a

a

探索新知數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律，向量的數(shù)乘運(yùn)算是否也滿足上述運(yùn)算律呢？向量數(shù)乘的運(yùn)算律：

探索新知

推廣：

探索新知例5計(jì)算（1）（－3）×4a（2）3（a＋b）－2（a－b）－a（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）解：（1）原式＝（－3×4）a＝－12a（2）原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5（3）原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c探索新知規(guī)律總結(jié)(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”及“公因式”都是指向量，實(shí)數(shù)看成向量的系數(shù).向量也可以通過列方程來解，即把所求向量當(dāng)成未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解.(2)要清楚向量數(shù)乘與實(shí)數(shù)乘法的區(qū)別，前者的結(jié)果是一個向量，后者的結(jié)果是一個實(shí)數(shù).探索新知探索新知引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？

探究

？可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線探索新知

lab也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示．探索新知

探索新知向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0呢？

探索新知探索新知探索新知02題型突破題型突破題型一向量的線性運(yùn)算[例1]

(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.x＝4b－3a3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0x＋3a－4b＝04b－3a題型突破

(2)化簡下列各式：③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.題型突破②向量也可以通過列方程來解—把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解．在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算．向量數(shù)乘運(yùn)算的方法①向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．方法總結(jié)題型突破題型二

向量共線定理1．如何證明向量a與b共線？提示：要證明向量a與b共線，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a(bǔ)和b用相同的兩個向量m，n表示出來，觀察a與b具有倍數(shù)關(guān)系即可．探究問題2．如何證明A，B，C三點(diǎn)在同一直線上？

題型突破

A，B，D三點(diǎn)共線思路探究

題型突破

思路探究A，B，P三點(diǎn)共線

觀察x+y的值

題型突破多維探究

題型突破

∴λ＝2，k＝－8.

∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.

題型突破

變式3試?yán)帽纠?2)中的結(jié)論判斷下列三點(diǎn)是否共線.

∵－2＋3＝1，∴P，A，B三點(diǎn)共線；

題型突破

1．證明或判斷三點(diǎn)共線的方法

方法總結(jié)題型突破2．利用向量共線求參數(shù)的方法方法總結(jié)判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，解方程從而求得λ的值．題型突破題型三

用已知向量表示未知向量

D題型突破

題型突破多維探究

題型突破

ab

題型突破方法總結(jié)用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法．(2)方程法．當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．03當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)1．實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．