【數(shù)學(xué)】平面向量基本定理課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)任務(wù)01了解平面向量基本定理及其意義（重點(diǎn)）了解向量基底的含義.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底確定后，會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量（難點(diǎn)）0201探索新知探索新知我們知道，已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過(guò)來(lái)，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力.類(lèi)似地，我們能否將向量a分解為兩個(gè)向量，使向量a是這兩個(gè)向量的和呢?探索新知GF1F2如圖，光滑斜面上一個(gè)木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對(duì)斜面的壓力為F2，這三個(gè)力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.力也可以分解，任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的合成與分解拓展到向量中來(lái)，就會(huì)形成一個(gè)向量的基本定理.答：G=

F1

+

F2.探索新知

探究

？ONMCB探索新知探索新知思考1：若向量a與e1或e2共線(xiàn)，還能用λ1e1＋λ2e2表示嗎？思考2：當(dāng)a是零向量時(shí)，a還可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式嗎？探索新知

思考

？不能，此時(shí)與共線(xiàn)，當(dāng)向量與它們不共線(xiàn)時(shí)，則無(wú)法表示.

探索新知上述問(wèn)題中的分解方法是否唯一？為什么？

思考

？解答：分解方法唯一.如果a還可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全為0(假設(shè)λ1－μ1，λ2－μ2不全為0，由此可得e1，e2共線(xiàn)，這與e1，e2不共線(xiàn)矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的.探索新知平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝

λ1e1＋λ2e2基底：若e1，e2不共線(xiàn)，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底注意：(1)同一平面內(nèi)基底有無(wú)數(shù)多個(gè)，只要兩向量不共線(xiàn)即可.(2)當(dāng)基底確定后，任意向量的表示法是唯一的，

即λ1，λ2是唯一確定的.探索新知思考1

作為一組基底的條件是什么？零向量可以作為基底嗎？一組不共線(xiàn)的向量可以作為基底.零向量與任意向量共線(xiàn)，因此零向量不能作為基底.思考2一組平面向量的基底有多少對(duì)？無(wú)數(shù)多對(duì)，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量都可以作為基底.思考3

若e1，e2能作為基底，那么e1，3e2能作為基底嗎？

e1+3e2，e1-2e2能作為基底嗎？探索新知思考4若基底選取不同，則表示同一向量的實(shí)數(shù)λ1，λ2是否相同？可以不同，也可以相同OCFMNE以

為基底以

為基底以

為基底探索新知解：因?yàn)槔?：如圖，不共線(xiàn)，且，用表示所以確定基底后，用基底表示其他向量時(shí)，一般是利用向量加、減運(yùn)算的三角形法則或平行四邊形法則，一步步向基底中的向量靠近最終完成表示探索新知觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

思考

？且若A,B,P三點(diǎn)共線(xiàn)，O為直線(xiàn)外一點(diǎn)即證明：由已知得，所以于是所以點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上.探索新知例2：如圖CD是△ABC的中線(xiàn)，

，用向量方法證明△ABC是直角三角形.證明：設(shè)于是則因?yàn)樗訡D=DA.因?yàn)樗砸虼薈A⊥CB,于是△ABC是直角三角形.向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線(xiàn)段（或直線(xiàn)）是否垂直的重要方法之一.02題型突破題型突破題型一對(duì)基底的理解

ABCDO不共線(xiàn)共線(xiàn)不共線(xiàn)共線(xiàn)B題型突破題型二

用基底表示向量

題型突破

√

√

√×①②③題型突破

題型突破多維探究

題型突破

ab

題型突破反思感悟①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；②向量減法的幾何意義；③數(shù)乘向量的幾何意義．用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)題型突破反思感悟用基底表示向量的兩個(gè)“模型”題型突破題型三平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用

所以解得

題型突破多維探究

題型突破多維探究

題型突破

題型突破

題型突破反思感悟平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量e1，e2的線(xiàn)性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1，λ2時(shí)有兩種方法：(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線(xiàn)定理．(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解．任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用03當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線(xiàn)向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線(xiàn)是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．1．對(duì)基底的理解(2)零向量與任意向量共線(xiàn)，故不能作為基底．課堂小結(jié)(2)平面向量基本定理體