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第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)任務(wù)01了解平面向量基本定理及其意義(重點(diǎn))了解向量基底的含義.在平面內(nèi),當(dāng)一組基底確定后,會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量(難點(diǎn))0201探索新知探索新知我們知道,已知兩個(gè)力,可以求出它們的合力;反過(guò)來(lái),一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力.類似地,我們能否將向量a分解為兩個(gè)向量,使向量a是這兩個(gè)向量的和呢?探索新知GF1F2如圖,光滑斜面上一個(gè)木塊受到的重力為G,下滑力為F1,木塊對(duì)斜面的壓力為F2,這三個(gè)力的方向分別如何?三者有何相互關(guān)系?在物理中,力是一個(gè)向量,力的合成就是向量的加法運(yùn)算.力也可以分解,任何一個(gè)大小不為零的力,都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的合成與分解拓展到向量中來(lái),就會(huì)形成一個(gè)向量的基本定理.答:G=
F1
+
F2.探索新知
探究
?ONMCB探索新知探索新知思考1:若向量a與e1或e2共線,還能用λ1e1+λ2e2表示嗎?思考2:當(dāng)a是零向量時(shí),a還可以表示成λ1e1+λ2e2的形式嗎?探索新知
思考
?不能,此時(shí)與共線,當(dāng)向量與它們不共線時(shí),則無(wú)法表示.
探索新知上述問(wèn)題中的分解方法是否唯一?為什么?
思考
?解答:分解方法唯一.如果a還可以表示成μ1e1+μ2e2的形式,那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,由此式可推出λ1-μ1,λ2-μ2全為0(假設(shè)λ1-μ1,λ2-μ2不全為0,由此可得e1,e2共線,這與e1,e2不共線矛盾),即λ1=μ1,λ2=μ2,因此,分解方法是唯一的.探索新知平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=
λ1e1+λ2e2基底:若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底注意:(1)同一平面內(nèi)基底有無(wú)數(shù)多個(gè),只要兩向量不共線即可.(2)當(dāng)基底確定后,任意向量的表示法是唯一的,
即λ1,λ2是唯一確定的.探索新知思考1
作為一組基底的條件是什么?零向量可以作為基底嗎?一組不共線的向量可以作為基底.零向量與任意向量共線,因此零向量不能作為基底.思考2一組平面向量的基底有多少對(duì)?無(wú)數(shù)多對(duì),只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底.思考3
若e1,e2能作為基底,那么e1,3e2能作為基底嗎?
e1+3e2,e1-2e2能作為基底嗎?探索新知思考4若基底選取不同,則表示同一向量的實(shí)數(shù)λ1,λ2是否相同?可以不同,也可以相同OCFMNE以
為基底以
為基底以
為基底探索新知解:因?yàn)槔?:如圖,不共線,且,用表示所以確定基底后,用基底表示其他向量時(shí),一般是利用向量加、減運(yùn)算的三角形法則或平行四邊形法則,一步步向基底中的向量靠近最終完成表示探索新知觀察,你有什么發(fā)現(xiàn)?
思考
?且若A,B,P三點(diǎn)共線,O為直線外一點(diǎn)即證明:由已知得,所以于是所以點(diǎn)P在直線AB上.探索新知例2:如圖CD是△ABC的中線,
,用向量方法證明△ABC是直角三角形.證明:設(shè)于是則因?yàn)樗訡D=DA.因?yàn)樗砸虼薈A⊥CB,于是△ABC是直角三角形.向量的數(shù)量積是否為零,是判斷相應(yīng)的兩條線段(或直線)是否垂直的重要方法之一.02題型突破題型突破題型一對(duì)基底的理解
ABCDO不共線共線不共線共線B題型突破題型二
用基底表示向量
題型突破
√
√
√×①②③題型突破
題型突破多維探究
題型突破
ab
題型突破反思感悟①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則;②向量減法的幾何意義;③數(shù)乘向量的幾何意義.用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)題型突破反思感悟用基底表示向量的兩個(gè)“模型”題型突破題型三平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用
所以解得
題型突破多維探究
題型突破多維探究
題型突破
題型突破
題型突破反思感悟平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1,e2的線性組合λ1e1+λ2e2.在具體求λ1,λ2時(shí)有兩種方法:(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理.(2)利用待定系數(shù)法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程組求解.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用03當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征:①基底是兩個(gè)不共線向量;②基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件.1.對(duì)基底的理解(2)零向量與任意向量共線,故不能作為基底.課堂小結(jié)(2)平面向量基本定理體
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