【數(shù)學】平面向量基本定理課件-2023-2024學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第六章平面向量及其應用6.3.1平面向量基本定理學習任務01了解平面向量基本定理及其意義（重點）了解向量基底的含義.在平面內(nèi)，當一組基底確定后，會用這組基底來表示其他向量（難點）0201探索新知探索新知我們知道，已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力.類似地，我們能否將向量a分解為兩個向量，使向量a是這兩個向量的和呢?探索新知GF1F2如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對斜面的壓力為F2，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的合成與分解拓展到向量中來，就會形成一個向量的基本定理.答：G=

F1

+

F2.探索新知

探究

？ONMCB探索新知探索新知思考1：若向量a與e1或e2共線，還能用λ1e1＋λ2e2表示嗎？思考2：當a是零向量時，a還可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式嗎？探索新知

思考

？不能，此時與共線，當向量與它們不共線時，則無法表示.

探索新知上述問題中的分解方法是否唯一？為什么？

思考

？解答：分解方法唯一.如果a還可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全為0(假設(shè)λ1－μ1，λ2－μ2不全為0，由此可得e1，e2共線，這與e1，e2不共線矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的.探索新知平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝

λ1e1＋λ2e2基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底注意：(1)同一平面內(nèi)基底有無數(shù)多個，只要兩向量不共線即可.(2)當基底確定后，任意向量的表示法是唯一的，

即λ1，λ2是唯一確定的.探索新知思考1

作為一組基底的條件是什么？零向量可以作為基底嗎？一組不共線的向量可以作為基底.零向量與任意向量共線，因此零向量不能作為基底.思考2一組平面向量的基底有多少對？無數(shù)多對，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.思考3

若e1，e2能作為基底，那么e1，3e2能作為基底嗎？

e1+3e2，e1-2e2能作為基底嗎？探索新知思考4若基底選取不同，則表示同一向量的實數(shù)λ1，λ2是否相同？可以不同，也可以相同OCFMNE以

為基底以

為基底以

為基底探索新知解：因為例1：如圖，不共線，且，用表示所以確定基底后，用基底表示其他向量時，一般是利用向量加、減運算的三角形法則或平行四邊形法則，一步步向基底中的向量靠近最終完成表示探索新知觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

思考

？且若A,B,P三點共線，O為直線外一點即證明：由已知得，所以于是所以點P在直線AB上.探索新知例2：如圖CD是△ABC的中線，

，用向量方法證明△ABC是直角三角形.證明：設(shè)于是則因為所以CD=DA.因為所以因此CA⊥CB,于是△ABC是直角三角形.向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應的兩條線段（或直線）是否垂直的重要方法之一.02題型突破題型突破題型一對基底的理解

ABCDO不共線共線不共線共線B題型突破題型二

用基底表示向量

題型突破

√

√

√×①②③題型突破

題型突破多維探究

題型突破

ab

題型突破反思感悟①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；②向量減法的幾何意義；③數(shù)乘向量的幾何意義．用基底表示向量的三個依據(jù)題型突破反思感悟用基底表示向量的兩個“模型”題型突破題型三平面向量基本定理的唯一性及其應用

所以解得

題型突破多維探究

題型突破多維探究

題型突破

題型突破

題型突破反思感悟平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1，λ2時有兩種方法：(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理．(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解．任意一向量基底表示的唯一性的應用03當堂檢測當堂檢測當堂檢測當堂檢測當堂檢測當堂檢測當堂檢測當堂檢測課堂小結(jié)(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：①基底是兩個不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．1．對基底的理解(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底．課堂小結(jié)(2)平面向量基本定理體