中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案

一、解答題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y="x2+fox+c與X軸交于點A(-1,O)和點8,與y軸交于

⑴直接寫出拋物線的解析式；

⑵如圖1,若點夕在拋物線上且滿足，求點。的坐標(biāo)；

⑶如圖2,例是直線8c上一個動點，過點例作及火_1_*軸交拋物線于點2。是直線AC

上一個動點，當(dāng)為等腰直角三角形時，直接寫出此時點例及其對應(yīng)點。的坐標(biāo)

2.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)尸江+法+2的圖象與x軸交于A(-3,0),3(l,0)兩點，

與)'軸交于點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點，當(dāng)△人“面積最大時，求出點P的坐標(biāo)；

(3)點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點。，使以A、aM、Q為頂點的四邊

形是平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

3.在平面直角坐標(biāo)系X。中，。。的半徑為1.對于點力和線段BC,給出如下定義：若

將線段8。繞點力旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦夕。(6,。分別是自C的對應(yīng)點)，則稱線段

8C是。。的以點力為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點4a,G,a,Bs,&的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段8G,B2c2、

83a中，的以點力為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)。是邊長為1的等邊三角形，點力(0,r),其中txo.若8C是。。的以點力

為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的值；

(3)在△力占。中，/8=1,ZC=2.若8。是。。的以點力為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接

寫出。4的最小值和最大值，以及相應(yīng)的8c長.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(0,10),點8是x軸的正半軸上的一個動點，連接力6,

取力8的中點M,將線段M3繞著點6按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BC.過點6作x

軸的垂線交直線力。于點。.設(shè)點8坐標(biāo)是&0)

(1)當(dāng)，=6時，點例的坐標(biāo)是；

(2)用含f的代數(shù)式表示點。的坐標(biāo)；

(3)是否存在點反使四邊形力08。為矩形？若存在，請求出點6的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由；

(4)在點6的運動過程中，平面內(nèi)是否存在一點/V,使得以力、B、N、。為頂點的四邊

形是菱形？若存在，請直接寫出點”的縱坐標(biāo)(不必要寫橫坐標(biāo))；若不存在，請說明理

5.如圖⑴,在菱形力交。中，乙力比'=60。，點￡在邊。。上(不與點C,。重合)，

連結(jié)力￡交處于點尸.

(1)如圖⑵，若點例在8C邊上，旦DE=CM,連結(jié)力M求證：三角形/四

為等邊三角形；

（2）設(shè)三7=x,求tan4用的值（用x的代數(shù)式表示）；

BF

DF

（3）如圖（3）,若點G在線段8尸上，且尸G=28G,連結(jié)4G、CG,—=x,四邊形

BF

S

/GCf的面積為$,力義?的面積為心求7t的最大值.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一ABC的邊力8在x軸上，且以Z6為直徑的

圓過點C.若點。的坐標(biāo)為（0,4）,A3=10,

（1）求拋物線的解析式；

（2）點。為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點（不與8c重合），過點。作PQL8C,垂

足為點Q連接戶。.若以點2C、Q為頂點的三角形與二COA相似，求點。的坐標(biāo)；

（3）若Z4CB平分線所在的直線/交x軸與點￡過點￡任作一直線/‘分別交射線CACB

（點。除外）于點則上+上的是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請

CMCN

說明理由.

7.如圖1,。/與直線a相離，過圓心/作直線a的垂線，垂足為”且交。/于P、Q兩

點（。在戶、，之間）.我們把點Q稱為◎/關(guān)于直線a的“近點”，點。稱為。/關(guān)于直

線a的“遠點”把PQQ〃的值稱為。/關(guān)于直線a的“特征數(shù)”.

（1）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xQ/中，點￡的坐標(biāo)為（0,3）.半徑為1的。。與兩

坐標(biāo)軸交于點4B、C、D.

①過點F畫垂直于p軸的直線內(nèi)則。。關(guān)于直線機的“近點”“遠點”分別是點—和

（填/'、"B'、"C或0）,。。關(guān)于直線/77的“特征數(shù)”為；

②若直線〃的函數(shù)表達式為y=-6x+3.求。。關(guān)于直線〃的“特征數(shù)”；

（2）在平面直角坐標(biāo)系X。中，直線/經(jīng)過點修（1,2）,點尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以尸

為圓心，立為半徑作。尸.若。尸與直線/相離，點"（-1,0）是。尸關(guān)于直線/的“近

2

點”.且。尸關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是6,求直線/的函數(shù)表達式.

（圖1）

(圖2)

8.如圖，拋物線，=-*+6x+c與x軸交于48兩點，其中/I(3,0),5(-1,

0),與_/軸交于點C拋物線的對稱軸交x軸于點。，直線經(jīng)過點4C,連接

CD.

(1)分別求拋物線和直線的解析式；

(2)在直線/C下方的拋物線上，是否存在一點P,使得△為”的面積是△4。面積的2

倍，若存在，請求出點戶的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q使線段力。繞Q點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

Q4,且點4恰好落在該拋物線上？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，直線y=-x+b(匕＞0)交x軸

于點4交y軸于點C以。4。。為邊作矩形/6CO,矩形力88的面積是36.

(I)求直線zc的解析式.

(2)點。為線段46上一點，點Q為第一象限內(nèi)一點，連接戶。PQ,乙OPQ=9。。,且

OP=PQ,設(shè)力。的長為f,點Q的橫坐標(biāo)為d,求d與f的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出自

變量1的取值范圍)

(3)在(2)的條件下，過點Q作Q%。。交力8的延長線于點￡作aQOC的平分線。尸

交先于點F,交也于點K、若KQ=2EF、求點Q的坐標(biāo).

10.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點。為原點，拋物線交x軸于

A(—2,0)、8(5,0)兩點，交y軸于點C.

(1)求拋物線解析式；

(2)點"在第一象限內(nèi)的拋物線上，過點尸作x軸的垂線，垂足為點連力。交J軸于

點￡設(shè)。點橫坐標(biāo)為t線段紇長為d,求d與f的函數(shù)解析式；

(3)在(2)條件下，點加在上，點Q在第三象限內(nèi)拋物線上，連接27、PQ、PM,

PQ與_/軸交于“若，，，求點Q的坐標(biāo).

11.已知：如圖1,點A(<3,b),AB-LX軸于點B,并且滿足J2a+6+4+(a—h+8)-=0

(1)試判斷AAOB的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,若點。為線段43的中點，連OC并作ODLOC,且連AD交x軸

于點￡試求點M的坐標(biāo)；

(3)如圖3,若點M為點8的左邊x軸負半軸上一動點，以40為一邊作NM4N=45。交

'軸負半軸于點2連MN,在點例運動過程中，試猜想式子。河+MV-ON的值是否發(fā)生

變化？若不變，求這個不變的值；若發(fā)生變化，試求它變化的范圍.

12.直角三角板為8。的斜邊的兩個端點在。。上，已知乙fi4C=30。，直角邊力。與。。

相交于點。，且點。是劣弧45的中點

⑴如圖1,判斷直角邊8C所在直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖2,點。是斜邊48上的一個動點(與48不重合)，。。的延長線交。。于點

Q連接QB.

@)4。=6,陽=4,貝IJAB二；PQ=；

②當(dāng)點戶在斜邊力8上運動時，求證：QA+QB=6QD.

13.如圖，已知四邊形力88內(nèi)接于OQ直徑〃尸交6。于點G.

⑴如圖1,求證：LBAD-LBCF=90°；

⑵如圖2,連接力。，當(dāng)4乙。陽+乙/C。時，求證：。l=C8；

CG4

(3)如圖3,在(2)的條件下，AC交DF于點H,2BAC=LDGB、—=AC=9,求

BG5

△CZ5”的面積.

14.同學(xué)們學(xué)過正方形與等腰三角形發(fā)現(xiàn)它們都是軸對稱圖形，它們之間有很多相似，在

正邊形4BCO中，f是對角線AC上一點(不與點/、C重合)，以AD、AE為鄰邊作平

行四邊形AEG。，GE交CD于點、M,連接CG.

G

P

⑴如圖L當(dāng)AE＜；AC時，過點￡作砂，跖交C。于點￡連接GF并延長交AC于點

H.

求證：EB=EF；

⑵在一ABC中，AB=AC,ABAC=90。.過點力作直線,點C關(guān)于直線AP的對稱點

為點2連接8/),直線8。交直線A尸于點￡.如圖2,

①依題意補全圖形；

②請用等式表示線段E8,ED,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線p="+bx+c與x軸交于點/1和點8(1,0),與

備用圖

⑴求拋物線的函數(shù)表達式.

⑵若點"為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，作也，x軸于點。，交4C于點￡過點f作/1C

的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點6G,設(shè)點。的橫坐標(biāo)為

①求戶￡+點EG的最大值；

②連接。只DG,若乙用G=45°,求)的值.

16.【問題提出】如圖①，在△/6C中，若｛8=8,4。=4,求8C邊上的中線力。的取值

范圍.

【問題解決】解決此問題可以用如下方法：延長力。到點￡使?！?/〃，再連結(jié)兜（或

將△力。。繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到△房。），把48、ZC,2/1。集中在△/（空中，利

用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.由此得出中線的取值范圍是

【應(yīng)用】如圖②，如圖，在△/I8C中，。為邊8c的中點、已知48=10,AC=&,AD=

4,求8。的長.

【拓展】如圖③，在△力8c中，乙力=90。，點。是邊8C的中點，點￡在邊力8上，過點

。作￡交邊/C于點尸，連結(jié)爐.已知8￡=5,。尸=6,則萬?的長為.

17.已知二次函數(shù)），=/+瓜+?。#0）的圖象與x軸的交于力、B（1,0）兩點，與N軸交

于點C（0,—3）.

⑴求二次函數(shù)的表達式及A點坐標(biāo)；

⑵。是二次函數(shù)圖象上位于第三象限內(nèi)的點，若點。的橫坐標(biāo)為m，*8的面積為S,

求S與加之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出△ACO的面積取得最大值時點O的坐標(biāo)；

⑶M是二次函數(shù)圖象對稱軸上的點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點N.使以M、N、

5、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請寫出點N的坐標(biāo)（不寫求解過程）.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖像丫=/-2（4+1）》+/+24的頂點為

只點8（-2,孑）是一次函數(shù)y=署上一點.

16216

⑵若a>0,且一次函數(shù)y=-2x+。的圖象與此拋物線沒有交點，請你寫出一個符合條件的

一次函數(shù)關(guān)系式（只需寫一個，不必寫出過程）；

⑶作直線OC：y=與一次函數(shù)y=：x+工？交于點。.連結(jié)08,當(dāng)拋物線與△06。的

2216

邊有兩個交點時，求a的取值范圍.

19.已知。為A4BC的外接圓，AC=BC,點。是劣弧AB上一點（不與點A,8重

合），連接D4.DB,DC.

（1）如圖1,若AB是直徑，將AACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABCE.若CZ）=4,求四邊形

AO8C的面積；

（2）如圖2,若A3=AC,半徑為2,設(shè)線段。C的長為x.四邊形ADBC的面積為S.

①求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

②若點M,N分別在線段C4,CB上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點。運動到每

一個確定的位置.ADMV的周長有最小值：，隨著點。的運動，f的值會發(fā)生變化.求所有

/值中的最大值，并求此時四邊形AOBC的面積S.

20.如圖，在ABC。中，ZABD=90°,AO=46m,B￡>=8cm.點戶從點A出發(fā)，沿

折線3c向終點。運動，點f在A8邊、8c邊上的運動速度分別為lcm/s、

小m/s.在點。的運動過程中，過點戶作A8所在直線的垂線，交邊AO或邊CD于點

Q,以PQ為一邊作矩形PQMN,且=2尸0,MN與3。在PQ的同側(cè).設(shè)點Q的運動時

間為。（秒），矩形PQMN與ABC。重疊部分的面積為S（cm?）.

(1)求邊A3的長.

⑵當(dāng)0<r<4時，PQ=,當(dāng)4</<8時，PQ=.(用含1的代數(shù)式表示)

(3)當(dāng)點例落在3。上時，求/的值.

(4)當(dāng)矩形尸QMN與.ABCD重疊部分圖形為四邊形時，求S與f的函數(shù)關(guān)系式.

【參考答案】

參考合案

**科目模擬測試

一、解答題

1.(l)y=x2-2x-3；

⑵，；

⑶，；，；，；

>/>/>?

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)頂點的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為尸a(x-1)2-4,將點力(-1,0)代入，

求出a即可得出答案；

(2)利用待定系數(shù)法求出直線8。解析式為尸2x-6,過點。作例〃加，交拋物線于點

Pi,再運用待定系數(shù)法求出直線例的解析式為尸2x-3,聯(lián)立方程組即可求出閂(4,

5),過點8作y軸平行線，過點C作x軸平行線交于點G,證明△。咨△GCF

ES4),運用待定系數(shù)法求出直線。尸解析式為尸/x-3，即可求出R(g,-()；

(3)利用待定系數(shù)法求出直線力。解析式為尸-3x-3,直線8。解析式為尸x-3,再

分以下三種情況：①當(dāng)△QAW是以M2為斜邊的等腰直角三角形時，②當(dāng)△QAW是以

例Q為斜邊的等腰直角三角形時，③當(dāng)△Q/W是以例2為斜邊的等腰直角三角形時，分

別畫出圖形結(jié)合圖形進行計算即可.

⑴

解：???頂點。的坐標(biāo)為(1,-4),

設(shè)拋物線的解析式為尸a(x-1V-4,將點力(-1,0)代入，

得0=a(-1-1)2-4,

解得：a=l,

.\y=(x-1)2-4=7-2x-3,

該拋物線的解析式為y=/-2x-3；

⑵

解：：拋物線對稱軸為直線/4(-1,0),

：.B(3,0),

設(shè)直線8。解析式為y=kx+e,

,:B(3,0),D(1,-4),

解得：，

二直線8。解析式為y=2x-6,

過點C作CPJ/BD,交拋物線于點Pi,

設(shè)直線的解析式為y=2x+d,將C(0,-3)代入,

得-3=2X0+。

解得：d=-3,

直線例的解析式為尸2%-3,

結(jié)合拋物線片=/-2x-3,可得#-2x-3=2x-3,

解得：xi=0(舍)，X2=^,

故Pi(4,5),

過點8作P軸平行線，過點。作x軸平行線交于點G,

'：OB=OC,ZBOC=ZOBG^ZOCG=900,

四邊形O6GC是正方形，

設(shè)CP占x軸交于點E,則2x-3=0,

3

解得：

3

:.E5，0),

2

在x軸下方作N8c尸=N8CF交8G于點尸，

???四邊形O8GC是正方形，

：.OC=CG=BG=3,NCOE=NG=90。,NOCB=/GCB=45°,

：.ZOCB-/BCE=/GCB-/BCF,

即NOCQNGCE

:?△OCEeXGCF〈ASG,

3

:?FG=OE=—，

2

33

:?BF=BG-FG=3,

22

3

.“（3,-\）,

2

設(shè)直線8解析式為尸k1x+&,

3

VC（0,-3）,尸（3,——），

2

解得:

???直線C廠解析式為尸gx-3,

結(jié)合拋物線y=*-2x-3,可得*-2x-3=gx-3,

解得：X/=0（舍）,X2=3,

2

57

綜上所述，符合條件的「點坐標(biāo)為：（4,5）或曰-??；

圖1

⑶

解：(3)設(shè)直線/C解析式為尸利x+m,直線8c解析式為j/=02X+/?2,

(-1,0),C(0,-3),

??，

解得：，

...直線2。解析式為y=-3x-3,

?：B(3,0),C(0,-3),

??，

解得：，

直線8。解析式為尸x-3,

設(shè)M(t,f-3),則N(t,八2f-3),

：.MN=\f-2t-2-(f-3)|=|/-3Z|,

①當(dāng)△Q/UW是以A/Q為斜邊的等腰直角三角形時，此時//VMQ=90°,MN=MQ,如圖

2,

?.,例Q〃x軸，

Q-t,t-3),

34=|f-(-1rtI，

24

：.f-3t=±-t,

3

513

解得：oo(舍)或r=3或r=1,

,,>r?/

②當(dāng)△Q/VW是以MQ為斜邊的等腰直角三角形時，此時/MVQ=90°,MN=NQ,如圖

3,

：A/Q〃x軸，

：.Q(,/-2t-3),

:?NQ=\t-尸#+4，

212

.?.，-34=利+4，

解得：片=0(舍)或U5或H2,

：.M3(5,2),Q(-5,12)；M4(2,-1),Q4(0,-3)；

③當(dāng)△Q/W是以例/V為斜邊的等腰直角三角形時,

此時N/WQA/=90°,MQ=NQ,如圖4,

過點。作QH1MN于H,則MH=HN,

：.H(t,),

二Q(,),

:,QH=\t-|=3'+54，

o

?:MQ=NQ,

:?MN=2QH,

：.\f-34=2X4，+54，

6

解得：H7或1,

：.M5(7,4),Q(-7,18)；M6(1,-2),Q6(0,-3)；

綜上所述，點例及其對應(yīng)點。的坐標(biāo)為：

,；,；%(5,2),Q(-5,12)；伙

(2,-1),Q(0,-3)；Ms(7,4),。5(-7,18)；M6(1,-2),Q6(0,-

3).

圖4

圖3

圖2

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，求一次函

數(shù)與二次函數(shù)圖象交點坐標(biāo)，全等三角形判定和性質(zhì)，正方形判定和性質(zhì)，等腰直角三角

形性質(zhì)等，本題屬于中考壓軸題，綜合性強，難度較大，熟練掌握待定系數(shù)法、等腰直角

三角形性質(zhì)等相關(guān)知識，運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想是解題關(guān)鍵.

2

2.(1)y=~x-x+2；(2)P(-p|)(3)存在，Q(-1,O),02(-5,O),

g(2+療,0),Q(2-夜,0).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線解析式；

(2)設(shè)尸片-；產(chǎn)-全根據(jù)(1)的結(jié)論求得C的坐標(biāo)，進而求得AC的解析式，過戶作

軸交AC于點。，進而求得PD的長，根據(jù)求得SAPC的表達

式，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得取得最大值時，f的值，進而求得P點的坐標(biāo)；

(3)分情況討論，①CM//AQ,②AO/MQ,根據(jù)拋物線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)先

求得M的坐標(biāo)進而求得。點的坐標(biāo).

【詳解】

(1)二次函數(shù)尸以2+區(qū)+2的圖象與x軸交于A(-3,0),8(1,0)兩點，貝IJ

JO=9a-36+2

[0—a+b+2

2

a=——

解得4

b=——

3

二拋物線解析式為y=-白72-白4+2

33

74

(2)拋物線y=—與y軸交于點C,令x=0,貝(]y=2

C(0,2)

設(shè)直線AC的解析式為＞="+/由4—3,0),C(0,2),

解得卜5

b=2

2

「?直線AC的解析式為.y=++2,

如圖，過尸作軸交AC于點Q,

2、42

設(shè)則?！?,+2),

PD=--t2--t+2-(-t+2]^--t2-2t

3313J3

=gx(-|/-2f)x3一-3,=_1+|)+2

二當(dāng)，=-；時，SA’C取得最大值,

此時一2/_d/+2=—2x

333

，「(-粉

(3)存在，理由如下

拋物線解析式為y=-3X+2=_g(x+iy+§

，拋物線的對稱軸為直線X=1

①如圖，當(dāng)CM//AQ時，

。點在x軸上，CM//x軸

M,C關(guān)于拋物線的對稱軸直線x=l對稱，C(0,2)

.,.”(-2,2)

:.CM=2

*'?A。］=AQ2=2

A(-3,0)

???2(-1,0),。2(-5,0)

②當(dāng)AC〃例。時，如圖，

設(shè)M的縱坐標(biāo)為”,

四邊形AC?！笔瞧叫兴倪呅危cA,。在x軸上，則的交點也在x軸上，

???巨0

2

解得n=-2

設(shè)"(見-2),

日224個

?.-2=—x—x+2

33

解得X=-1±A/7

.1.M(-l±5/7,-2)

A點到C點是橫坐標(biāo)加3,縱坐標(biāo)加2

M點到。點也是橫坐標(biāo)加3,縱坐標(biāo)加2

即0(-1土注+3,0)

.?.03(2+萬,0),@(2-療,0)

綜上所述，存在點。，使得以A、aM、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，。點的坐標(biāo)為

e,(-1,0),e2(-5,0),Q式2+療,0),?(2-⑺,0).

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，二次函數(shù)最值，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四

邊形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.(1)B2c2；(2)6或-6；(3)04最小值為1,相應(yīng)的=6；04最大值為

2,相應(yīng)的8c=

2

【解析】

【分析】

(1)結(jié)合題意，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和圓的性質(zhì)分析，即可得到答案；

(2)根據(jù)題意，分8c在x軸上方和x軸上方兩種情況；根據(jù)等邊三角形、勾股定理、全

等三角形的性質(zhì)，得AO=0O=也，從而完成求解；

2

(3)結(jié)合題意，得當(dāng)AC'為。。的直徑時，04取最小值；當(dāng)A、B'、。三點共線時,

0A取最大值；根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

(1)線段3G繞點力旋轉(zhuǎn)得到的屏C：,均不能成為。。的弦

，線段8G不是。。的以點力為中心的“關(guān)聯(lián)線段”；

???線段員G是。。的以點力為中心的“關(guān)聯(lián)線段”；

線段B3c3繞點、A旋轉(zhuǎn)得到的B；C；,均不能成為。。的弦

，線段自&不是。。的以點力為中心的“關(guān)聯(lián)線段”；

故答案為:B2c2；

(2)???△力8。是邊長為1的等邊三角形，點力(0,r),。。的半徑為1

8'C'〃x軸

分B'C'在x軸上方和x軸上方兩種情況：

當(dāng)B'C'在x軸上方時，8C'與〉軸相交于點見下圖：

VOB'=OC=\

22

???OD=y/OB'2-B'D-=—

2

V△48c是邊長為1的等邊三角形，即△ABC'是邊長為1的等邊三角形,

ZACD=ZOC'D,AD1B'C

???/\AC'D^/\OC'D

n

???AD=OD=—

2

AO=AD+OD=y/3

Z=A/3；

當(dāng)在x軸上方時，B'C'與）'軸相交于點O,見下圖：

AA(0,-^3)；

t=—yfii

=G或-石；

(3)當(dāng)AC'為。。的直徑時，Q4取最小值，如下圖：

最小值為1,ZABV=90。

BC=BC=^AC'2-AB'2=A/3；

當(dāng)A、B'、。三點共線時，OA取最大值，OA=AC=2,如下圖：

作A￡_LOC'交0C'于點￡作a尸，4?交A0于點尸，如下圖

OE=-OC'=-

22

???AE=y/AO2-OE2=與

■：-AExOC'=2x-OB'xC'F

22

OF=JOC'2-C'產(chǎn)=-

3

???B'F=OB'-OF=±

4

BC=B'C'=yJCF2+B'F=—

2

，。4最小值為L相應(yīng)的BC=6；。4最大值為2,相應(yīng)的8C=4S.

2

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)、圓、等邊三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知識；解題的

關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)、圓周角、等腰三角形三線合一、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解.

4.(1)M(3,5),(2)C(f+5,3)；(3)5(20.0);(4)”或10.

24

【解析】

【分析】

(1)利用中點坐標(biāo)公式計算即可.

(2)如圖1中，作于E,CFJ_X軸于F.證明AMESwAfiFC(A4S),利用全等三

角形的性質(zhì)即可解決問題.

(3)如圖2中，存在.由題意當(dāng)CF=Q4時，可證四邊形AO5。是矩形，構(gòu)建方程即可

解決問題.

(4)分三種情形：①如圖3中，當(dāng)AO=B。時，以A8為對角線可得菱形ADBN,此時點

N在y軸上.②如圖4中，當(dāng)AT>=AB時，以30為對角線可得菱形此時點N的

縱坐標(biāo)為6.③因為MH/W,所以不存在以AO為對角線的菱形.

【詳解】

圖1

A(0,10),8(6,0),AM-BM,

(2)如圖1中，作ME_LQB于E,C/_Lx軸于尸.

ME//OAfAM=BM,

:.OE=EB=-t,ME=-OA=5

22t

ZMEB=/CFB=/CBM=90°,

:.AMBE+ZCBF=90°,ZMBE+NBME=90。,

/.4BME=/CBF,

BM=BC,

:.AMEB=^BFC(AAS)t

.-.BF=ME=5,CF=BE=-t,

2

:.OF=OB+BF=t+5,

C(t+5,—/).

(3)存在.

如圖2中，作MEJ.08于E,CF_Lx軸于尸.

圖2

理由：由題意當(dāng)5=04=10時，OAHCF,

.,?四邊形AOFC是平行四邊形，

ZAOF=90°,

???四邊形AOFC是矩形，

ZDAO=ZAOB=ZDBO=90°,

四邊形AO3。是矩形，

又：由(2)得CF=BE=gf,

即：5=10,解得:t=20.

8(20,0).

(4)①如圖3中，當(dāng)AD=BD時，以A8為對角線可得菱形AD3N,此時點N在N軸

圖3

AD=BD,

:.ZBAD=ZABD,

.8。/勺軸，

:.ZOAB=ZABD,

:.ZOAB=ZBAD.

/.tanZ.OAB=tanABAD,

OBBC1t1

/.——=——=-,即Hn一=:

OABA2102

?3=5,

.?.OB=5,誼AN=NB=m,

在用△08N中，則有機2=52+（10-桃）2,

25

解得r

2515

:.ON=OA-AN=iO——=—,

44

.??點N的縱坐標(biāo)為?

4

②如圖4中，當(dāng)4)=4?時，以8。為對角線可得菱形AB/VD.此時點N的縱坐標(biāo)為10.

圖4

③BD不AB,...不存在以AO為對角線的菱形.

綜上所述，滿足條件的點N的縱坐標(biāo)為二或10.

4

【點睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全等

三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

5.(1)證明見解析；(2)￡心；⑶12

3-3x4

【解析】

【分析】

(1)如圖，連接AC,證明VAC8,VAS都為等邊三角形，可得AC=AZ),再證明

VACM也VADE,從而可得答案；

(2)如圖，記47,8。交于點。，設(shè)。尸=4,0尸=6,四邊形488為菱形，乙鉆。=60。,

表示OA=@OB=@(a+與，利用"==乂則==言，再利用三角函數(shù)的定義可

得答案；

(3)如圖，設(shè)Sv*””,證明V￡>FESV3E4,孔的=彳，再表示

X

M2〃..>__nM

SvABG=S2二h7，SV4GF=Z_^',結(jié)合菱形的軸對稱的性質(zhì)可得：SvCBG=；表示5丫八“)二—，

3x~3x~3廠x

4nn

q—7+--幾

可得SVB8=SVAM="+K，可得4t=3『x=-3/+3x+4,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得

XXd2

3?

答案.

【詳解】

證明：(1)如圖，連接AC,

菱形力8C。中，Z/5C=60°,

\AB=BC=CD=AD,?ABC?ADC60靶BAD=?BCD120靶BAC=?C4￡>?ACB60?,

\VACB.VACD都為等邊三角形，

AC=AD,

QDE=CM,?ACM?ADE60?,

\VACMADE,

\AM=A￡,?MAC?EAD,

\?MAC?CAE?CAE?EAD60?,

/.AWE是等邊三角形

(2)如圖，記AC,8。交于點。，

設(shè)DF=a,OF=b,四邊形A8CD為菱形，ZABC=60°,

\AC八BD,OB=OD=a+b,?ABO30?,

cDFa

Q-----=--------=x,

BFa+2b

,1a+2bi2b

\-=-------=1+—,

xaa

.b11a2x

'廠/5'則nil廠T7

G

nAa

\tan?AFB—

OF~b

G需2x_舟瓜

7卷+亡一"3-3x

(3)如圖，設(shè)Sv〃"二〃,

四邊形ABC。是平行四邊形,

\7DFEEBFA,

\$7BFA

FG=2BG、

根據(jù)菱形的軸對稱的性質(zhì)可得：SVCBG=3,

3x~

Q八SvVAAF2D=-D--F--=X,

SvABFBF

c_n_n

SyJAFD~一~，

\SVBCD=SVABD{+5

nnnIn4nn

\工=一+~7-〃------------7=----〃，

xX23x23廠3x2x

4〃n

n

、S[13x2x

\——--------—=-3x2+3x+4,

n

s2

3x~

s

Qa=-3<0,所以拶?有最大值,

31

當(dāng)x二----廠4二5時，最大值為：-3?-3?-4=—

m2?\)424

【點睛】

本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)，列二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活運

用以上知識解題是解本題的關(guān)鍵.

?q

6⑴尸丁、”4；⑵點咱坐標(biāo)為：64)或(歷八2717-2)

113石

⑶---------1---------———理由見詳解.

NCMC20

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，先證明AAOCSACO3,得到=求出點46的坐標(biāo)，然后利用

COOB

待定系數(shù)法，即可求出拋物線解析式；

(2)根據(jù)題意，可分為兩種情況：MOCsAPQC或A4OCSACQP,結(jié)合解一元二次方

程，相似三角形的判定和性質(zhì)，分別求出點戶的坐標(biāo)，即可得到答案；

(3)過點￡作￡八/。于/,EJLCN于J,然后由角平分線的性質(zhì)定理，得到片口再證

陰xME5/\MNC、&NEMIXNMC、得到」一+「一=’-,然后求出￡7一個定值，即可進

NCMCEI

行判斷.

【詳解】

解：(1)???以為直徑的圓過點C

「?乙力。?二90。，

???點。的坐標(biāo)為(0,4),

^COA-AB.

「?乙/。仁乙。08二90。，

???乙力CO+乙OCB=Z-ACO+40/090。,

乙OCB二4OAC,

???MOCsACOB,

?AO_OC

'~cd~~OB'

vCO=4,AO+BO=AB=10,

??.AO=10-OB,

10-OB4

/.------------=—,

4OB

解得：03=2或03=8,

經(jīng)檢驗，滿足題意，

?,OB＞OAt

?*-OB=8,

???點/為(-2.0),點8為(8,0).

設(shè)拋物線的解析式為y=o?+版+乙把點力、B、。三點的坐標(biāo)代入，有

1

a=——

c=44

,3

-4a-2b+c=0,解得：＜h=—

2

64。+8〃+c=0

c=4

Ia

二拋物線的解析式為＞=-%2+聶+4；

(2)根據(jù)題意，如圖：

當(dāng)gOCs"QC時，

ZACO=ZPC2,

???ZACO+ZOCB=90°,

??.NPCQ+NOCB=90。,

「?PCIoc,

???點戶的縱坐標(biāo)為4,

當(dāng)y=4時，有一;丁+^X+4=4,

解得：占=6或%=0（舍去）；

」?點P的坐標(biāo)為（6,4）；

當(dāng)AAOCsACQP時，則此時8c垂直平分0a作PGLy軸，垂足為G,如上圖,

ZCQP=ZAOC=90°,

:.ACHOP、

???乙AC8/-POG,

ZPGO=ZAOC=90°,

???MOCsAPGO,

.AOPC

'~PG~~GO'

設(shè)點"為（%-^X2+|X+4）,

I3

**?PG=x,GO——x"H—x+4,

42

2_4

■■?^-_1%2+3X+4，

42

解得：x=±V17-1,

???點戶在第一象限，

x=V17-l,

??」d+，+4=2折-2,

42

二點。的坐標(biāo)為（如一1,2J萬一2）；

綜合上述，點戶的坐標(biāo)為：（6,4）或（舊-1,2V17-2）

（3）過點￡作日，/1。于/,EJ1CN千J、如圖：

???比是乙/C8的角平分線，

:,日二日、

-E///CN,EJ//CM,

:?XM日6MMNC、xNEWMNMC、

.EIMEEJNE

,EIEJMENE?

??----1----=-----1----=1,

NCMCMNMN

EIEIt

NCMC

111

??----1----=—,

NCMCEI

,：AACOSMA日、

,AIAO1

..—=-----=-,

EICO2

;AC=V22+42=25/5，

??AC=AI+IC=AI+EI,

,245-El1

,---------——,

El2

解得：E[:也經(jīng)檢驗，符合題意,

3

.1113石.

,-------1-----=----------/

NCMCEI20

??代+壺是一個定值?

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的

判定和性質(zhì)，解一元二次方程，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題

意，正確的作出輔助線，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行解題.

7.⑴①8；。；4；②1；(2)y=或y=-2x+4

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)“近點“、“遠點“以及“特征數(shù)”的定義判斷即可；

②過點。作直線“于點”，交。于點。，P.先分別求得點￡尸的坐標(biāo)，進而可

求得樂的長，再利用等積法求得生的長，進而即可解決問題；

(2)如圖，先求得“近點”N到直線/的距離NH=1石，再由△AQBsAA/W即可求得答

案.

【詳解】

解：(1)①由題意，點8是。關(guān)于直線，〃的“近點”，點。是O關(guān)于直線加的“遠

八占、\”1

??,點F的坐標(biāo)為(0,3).。。的半徑為1.

■■.OE=3,OB=OD=1,

BE=OE-OB=2,DB=OB+QD=2,

。關(guān)于直線團的特征數(shù)=D8.8E=2x2=4,

故答案為：8；。；4；

②如圖，過點。作直線〃于點“，交,。于點。