數學九年級上冊專題23.3 旋轉章末測試卷（拔尖卷）（人教版）（教師版）

第23章旋轉章末測試卷（拔尖卷）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2021?任城區(qū)校級一模）數學世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對象之一，下列數學曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180°后與原圖重合．【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：C．2．（3分）（2021?昭陽區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，點P（﹣5，m2+3）關于原點的對稱點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用關于原點對稱點的性質得出點P（﹣5，m2+3）關于原點的對稱點，再利用各象限內點的坐標特點得出答案．【解答】解：點P（﹣5，m2+3）關于原點的對稱點為（5，﹣m2﹣3），∵﹣m2﹣3＜0，∴點P（﹣5，m2+3）關于原點的對稱點在第四象限．故選：D．3．（3分）（2021春?錫山區(qū)校級期中）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，動點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動，移動到點B停止，延長PO交CD于點Q，則四邊形APCQ形狀的變化依次為（）A．平行四邊形﹣正方形﹣平行四邊形﹣矩形 B．平行四邊形﹣菱形﹣平行四邊形﹣矩形 C．平行四邊形﹣正方形﹣菱形﹣矩形 D．平行四邊形﹣菱形﹣正方形﹣矩形【分析】根據對稱中心的定義，根據矩形的性質，可得四邊形APCQ形狀的變化情況：這個四邊形先是平行四邊形，當對角線互相垂直時是菱形，然后又是平行四邊形，最后點A與點B重合時是矩形．【解答】解：觀察圖形可知，四邊形APCQ形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形．故選：B．4．（3分）（2020秋?錢塘區(qū)期末）在平面直角坐標系中，把點P（2，3）繞原點旋轉90°得到點P1，則點P1的坐標是（）A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【分析】分順時針旋轉，逆時針旋轉兩種情形分別求解．【解答】解：如圖，滿足條件的點P1的坐標為（﹣3，2）或（3，﹣2），故選：D．5．（3分）（2021?尋烏縣模擬）如圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上，現將△ABC進行旋轉操作，要求旋轉中心要在格點上，且繞著這個中心旋轉后的三角形的頂點也在格點上（不包括旋轉后與△ABC重合的情況），那么滿足條件的旋轉中心有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．20個【分析】根據中心對稱圖形的性質即可得到滿足條件的旋轉中心．【解答】解：如圖，滿足條件的旋轉中心有8個，分別是B，C，Q，P，D，E，F，G．故選：C．6．（3分）（2021?方城縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=42，BC＝5，P是AD上一點，將△CDP繞點C逆時針旋轉45°時，點P的對應點P'恰好落在AB上，則PDA．1 B．22 C．2 D．1或【分析】過點D'作CD的垂線分別交AB、CD于點M、N，可得△CND'是等腰直角三角形，則CN＝D'N，根據旋轉的性質，得CD'＝CD＝42，設MP'＝x，則BP'＝AB﹣AM﹣MP'＝4﹣x，P'D'2＝MP'2+MD'2＝x2+1，利用勾股定理得52+（4﹣x）2＝（42）2+x2+1，解得：x＝1，則P'D'2＝12+1＝2，從而得出答案．【解答】解：過點D'作CD的垂線分別交AB、CD于點M、N，如圖，則∠CND'＝∠P'MD'＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形BCNM、四邊形ADNM都是矩形，∴MN＝BC＝AD＝5，BM＝CN，AM＝DN，∵∠DCD'＝45°，∴△CND'是等腰直角三角形，∴CN＝D'N，根據旋轉的性質，得CD'＝CD＝42，∵CN2+ND'2＝CD'2，∴CN2+CN2＝（42）2，D'N＝CN＝4．∴AM＝DN＝CD﹣CN＝42?4，D'M＝MN﹣ND設MP'＝x，則BP'＝AB﹣AM﹣MP'＝4﹣x，P'D'2＝MP'2+MD'2＝x2+1，∵BC2+BP'2＝CP'2，CD'2+P'D'2＝CP'2，∴BC2+BP'2＝CD'2+P'D'2，∴52+（4﹣x）2＝（42）2+x2+1，解得：x＝1，∴P'D'2＝12+1＝2，∴PD＝P'D'=2故選：C．7．（3分）（2021春?福田區(qū)校級期中）如圖，等邊△ABC中有一點P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，則∠APB的度數的為（）A．150° B．135° C．120° D．165°【分析】將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據旋轉的性質得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，根據等邊三角形的性質得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度數．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP，如圖，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故選：A．8．（3分）（2021?福建模擬）如圖，將一塊斜邊長為6cm，∠B＝60°的直角三角板ABC繞點C沿逆時針方向旋轉90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使點B'剛好落在斜邊AB上，則此三角板向右平移的距離是（）A．2cm B．(2?3)cm C．3cm D．【分析】過點B′作BC的平行線交AB于B″，如圖，在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BC=12AB＝3cm，AC=3BC，再根據旋轉的性質得∠A′CA＝90°，CB′＝CB＝3cm，則可計算出AB′，由B′B″∥BC得∠AB′B″＝90°，然后在Rt△AB′B″中計算出B【解答】解：過點B′作BC的平行線交AB于B″，如圖，在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴BC=12AB=1∴AC=3BC＝33（cm∵△ABC，繞點C沿逆時針方向旋轉90°至△A′B′C′的位置，∴∠A′CA＝90°，CB′＝CB＝3cm，∴點A′、C、B共線，AB′＝AC﹣CB′＝（33?3）（cm∵B′B″∥BC，∴∠AB′B″＝90°，在Rt△AB′B″中，∵∠A＝30°，∴B′B″=33AB′=33×（33即此三角板向右平移的距離為（3?3）cm故選：D．9．（3分）（2021?鄒城市一模）如圖，平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關于點B2成中心對稱，如此作下去，則△B2n﹣1A2nB2n（n是正整數）的頂點A2n的坐標是（）A．（4n﹣1，?3） B．（4n﹣1，3） C．（4n+1，?3） D．（4n+1，【分析】首先根據△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標為（1，3），B1的坐標為（2，0）；然后根據中心對稱的性質，分別求出點A2、A3、A4的坐標各是多少；最后總結出An的坐標的規(guī)律，求出A2n的坐標是多少即可．【解答】解：∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，∴A1的坐標為（1，3），B1的坐標為（2，0），∵△B2A2B1與△OA1B1關于點B1成中心對稱，∴點A2與點A1關于點B1成中心對稱，∵2×2﹣1＝3，2×0?3∴點A2的坐標是（3，?3∵△B2A3B3與△B2A2B1關于點B2成中心對稱，∴點A3與點A2關于點B2成中心對稱，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（?3）=∴點A3的坐標是（5，3），∵△B3A4B4與△B3A3B2關于點B3成中心對稱，∴點A4與點A3關于點B3成中心對稱，∵2×6﹣5＝7，2×0?3∴點A4的坐標是（7，?3…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴An的橫坐標是2n﹣1，A2n的橫坐標是2×2n﹣1＝4n﹣1，∵當n為奇數時，An的縱坐標是3，當n為偶數時，An的縱坐標是?3∴頂點A2n的縱坐標是?3∴頂點A2n的坐標是（4n﹣1，?3故選：A．10．（3分）（2021春?歷城區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為5，E為BC上一點，且BE＝1，F為AB邊上的一個動點，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．1 B．3 C．2 D．2.5【分析】由題意分析可知，點F為主動點，運動軌跡是線段AB，G為從動點，所以以點E為旋轉中心構造全等關系，得到點G的運動軌跡，也是一條線段，之后通過垂線段最短構造直角三角形獲得CG最小值．【解答】解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G的軌跡也是一條線段，將△EFB繞點E旋轉60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，從而可知△EBH為等邊三角形，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴點G在垂直于HE的直線HN上，延長HG交DC于點N，過點C作CM⊥HN于M，則CM即為CG的最小值，過點E作EP⊥CM于P，可知四邊形HEPM為矩形，則CM＝MP+CP＝HE+12故選：B．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2021?雙陽區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A和B的坐標分別為（2，0），（0，﹣4），若將線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AC，則點C的坐標為（﹣2.2）．【分析】如圖，過點C作CH⊥x軸于H．證明△AOB≌△CHA（AAS），推出CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，可得結論．【解答】解：如圖，過點C作CH⊥x軸于H．∵A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵∠AHC＝∠AOB＝∠BCA＝90°，∴∠CAH+∠BAO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CAH＝∠ABO，在△AOB和△CHA中，∠AHC=∠AOB∠CAH=∠ABO∴△AOB≌△CHA（AAS），∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，∴OH＝AH﹣OA＝2，∴C（﹣2，2）．故答案為：（﹣2，2）．12．（3分）（2021?青白江區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以A，B為旋轉中心，把邊AC，BA逆時針旋轉60°，得到線段AE，BD，連接BE，CD相交于點P，已知AB＝3，AC＝23，∠APB＝120°，則PA+PB+PC的大小為39．【分析】連接AD，CE，證明△ADC≌△ABE（SAS），由全等三角形的性質得出∠AEB＝∠ACD，在PE上截取PH＝PA，連接HA，則△PAH為等邊三角形，證明△CPA≌△EHA（AAS），由全等三角形的性質得出PC＝EH，過點E作EG⊥BA，交BA的延長線于點G，求出BE的長，則可得出答案．【解答】解：連接AD，CE，∵以A，B為旋轉中心，把邊AC，BA逆時針旋轉60°，得到線段AE，BD，∴AD＝AB，AC＝AE，∠ABD＝∠CAE＝60°，∴△ABD和△ACE為等邊三角形，∴∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，AD=AB∠ADC=∠ABE∴△ADC≌△ABE（SAS），∴∠AEB＝∠ACD，在PE上截取PH＝PA，連接HA，則△PAH為等邊三角形，∴HA＝PA，∠PAH＝60°，∴∠PAC＝∠HAE，在△CPA和△EHA中，∠PCA=∠HEA∠PAC=∠HAE∴△CPA≌△EHA（AAS），∴PC＝EH，∴PB+PC+PA＝PB+EH+PH＝BE．過點E作EG⊥BA，交BA的延長線于點G，∵∠BAC＝90°，∠CAE＝60°，∴∠EAG＝30°，∴EG=12AE∴AG＝3，∴BG＝6，∴BE=B∴PA+PB+PC=39故答案為39．13．（3分）（2021?盤龍區(qū)一模）如圖，在Rt△ABO中，∠A＝30°，OA＝4，點O、B在直線l上，將△ABO繞點O旋轉150°，得到△A′B'O，則△A'OB的面積為2或4．【分析】由于題目并沒有告訴旋轉方向，故需要按照逆時針旋轉和順時針旋轉進行分類討論，以圖1為例，由旋轉的性質可以得到，∠AOA′＝150°，OA′＝OA＝4，通過計算，可以得到∠A′OB＝90°，所以△A′OB為直角三角形，直接計算可以得到面積，圖2用類似的方法，也可以解決．【解答】解：在直角△ABO中，∠A＝30°，OA＝4，∴OB＝2，∴AB＝23，∠AOB＝60°，①當將△ABO繞點O順時針旋轉150°時，如圖1，則∠AOA′＝150°，OA′＝OA＝4，∴∠A′OB＝150°﹣∠AOB＝90°，∴S△A′OB=12OB?OA′②當將△ABO繞點O逆時針旋轉150°時，如圖2，則∠AOA′＝150°，OA′＝OA＝4，過A′作A′M⊥l于M，∴∠AOM＝180°﹣∠AOB＝120°，∴∠A′OM＝∠AOA′﹣∠AOM＝150°﹣120°＝30°，∴A′M=12∴S△A′OB=12OB?A′∴△A′OB的面積為2或4，故答案為：2或4．14．（3分）（2021春?高新區(qū)期末）如圖△ABC為等邊三角形，點D是△ABC邊AB上一點，且BD=3AD．將△ABC繞點D按逆時針方向旋轉β°（0＜β＜180）后，若點B恰好落在初始等邊△ABC的邊上，則β的值為60°或90°【分析】當點B落在BC上時，此時設為B′，證△BDB′是等邊三角形，則β＝∠BDB′＝60°，當點B落在AC上時，此時設為B″，過D作DD'⊥AB交AC于D'，則∠AD'D＝30°，證點D'與B''重合，∠ADB″＝90°，得∠BDB″＝90°，則β＝90°．【解答】解：當點B落在BC上時，此時設為B′，如圖1所示：由旋轉的性質得：DB＝DB′，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴△BDB′是等邊三角形，∴β＝∠BDB′＝60°，當點B落在AC上時，此時設為B″，如圖2所示：由旋轉的性質得：DB＝DB″=3AD∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，過D作DD'⊥AB交AC于D'，則∠AD'D＝30°，∴AD'＝2AD，∴DD'=AD'∴DD'＝DB''，∴點D'與B''重合，∴∠ADB″＝90°，∴∠BDB″＝90°，∴β＝90°，綜上所述，點B恰好落在初始等邊△ABC的邊上，β的值為60°或90°，故答案為：60°或90°．15．（3分）（2021春?溫江區(qū)校級期中）如圖，△ABC是邊長為833的等邊三角形，AQ⊥BC，在AQ上取一點M，使得AM＝2，以AM為邊在AQ左側構造等邊三角形AMN，連接BM，MB的中點為點E，連接CE，將△AMN繞著點A順時針旋轉，則在旋轉過程中，線段CE的取值范圍是3≤CE【分析】取AB的中點F，連接CF、EF，由中點定義及等邊三角形性質得QC的長，由勾股定理得AQ的長，再根據三角形三邊關系可得答案．【解答】解：取AB的中點F，連接CF、EF，如圖：∵AF＝BF，MB的中點為點E，∴EF=12∵△ABC是等邊三角形，且AQ⊥BC，∴QC=12AC∴AQ=A∴CF＝AQ＝4，∴CF﹣EF≤CE≤CF+EF，∴3≤CE≤5．故答案為：3≤CE≤5．16．（3分）（2021?興城市二模）已知，如圖，正方形ABCD中，線段AB繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE，連接BE，點F為BE中點，AF的延長線交DE的延長線于點G，連接BG．下列結論：①∠ADE＝75°；②△ABG≌△AEG；③AE=3EG；④DG+BG=2AG，其中正確的結論有①②④【分析】①由旋轉的性質得出AB＝AE，∠BAE＝60°，求出∠DAE＝30°，由等腰三角形的性質可得出答案；②證明△ABE為等邊三角形，由等邊三角形的性質可得出AF⊥BE，BF＝EF，可證明△ABG≌△AEG（SSS）；③求出∠BEG＝45°，由等腰直角三角形的性質可得出結論；④過點D作DM⊥AG于點M，證明△ABF≌△DAM（AAS），由全等三角形的性質得出DM＝AF，由等腰直角三角形的性質得出DG=2AF【解答】解：①∵線段AB繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AD＝AE，∠DAE＝30°，∴∠ADE=12（180°﹣∠故①正確；②∵AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△ABE為等邊三角形，∵F為BE的中點，∴AF⊥BE，BF＝EF，∴AG垂直平分BE，∴BG＝EG，在△ABG和△AEG中，AB=AEAG=AG∴△ABG≌△AEG（SSS）．故②正確；③∵∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝45°，∵∠EFG＝90°，∴EG=2EF又∵EF=12∴EG=22∴AE=2EG故③錯誤．④過點D作DM⊥AG于點M，由③可知∠EGF＝45°，∴△DMG為等腰直角三角形，∴DG=2DM∵∠BAF+∠MAD＝∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BAF＝∠ADM．在△ABF和△DAM中，∠AFB=∠DMA=90°∠BAF=∠ADM∴△ABF≌△DAM（AAS），∴DM＝AF，∴DG=2AF由③可知BG＝EG=2FG∴DG+BG=2AF+2FG=故答案為①②④．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2021春?撫州期末）如圖，在平面直角坐標系中，即△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．（1）將△ABC以點O為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的△A1B1C1．（2）平移△ABC，若點A的對應點A2的坐標為（﹣5，﹣2），畫出平移后對應的△A2B2C2；（3）將△ABC以點O為旋轉中心順時針旋轉90°，畫出旋轉后對應的△A3B3C3；（4）若將△A1B1C1繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉中心的坐標為（﹣1，﹣2）．【分析】（1）根據旋轉的性質即可畫出旋轉后對應的△A1B1C1；（2）根據平移的性質即可畫出平移后對應的△A2B2C2；（3）根據旋轉的性質即可畫出旋轉后對應的△A3B3C3；（4）根據旋轉的性質將△A1B1C1繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2，即可得出旋轉中心的坐標．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）如圖，△A3B3C3即為所求；（4）旋轉中心的坐標為（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．18．（6分）（2021?醴陵市模擬）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連結QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．（1）連結CQ，求證：AP＝CQ；（2）若正方形的邊長為4，且PC＝3AP，求線段PQ的長．【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形，可得AB＝BC，∠ABC＝90°．由圖形旋轉，可得BP＝BQ，∠PBQ＝90°．從而，可證△APB≌△CQB，故AP＝CQ．（2）如圖．由四邊形ABCD是正方形，∠PAM＝45°，故△PAM是等腰直角三角形且AM＝PM．由勾股定理，可得AC=42，故AP=2，進而推斷出AM＝PM＝1．由勾股定理，可得BP=10．那么，由勾股定理可得【解答】解：如圖，過點P作PM⊥AB于M．（1）由題意得：PB＝QB，∠PBQ＝∠2+∠3＝90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠1+∠2＝90°．∴∠1＝∠3．在△APB和△CQB中，AB=CB，∠1=∠3，∴△ABP≌△CBQ（SAS）．∴AP＝CQ．（2）由（1）知：∠ABC＝90°，AB＝CB．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AC=A又∵PC＝3AP，∴AC＝AP+PC＝AP+3AP＝4AP=42∴AP=2∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PAM＝45°．∵PM⊥AB于M，∴∠PMA＝∠PMB＝90°．∴∠APM＝180°﹣∠AMP﹣∠PAM＝180°﹣90°﹣45°＝45°．∴∠PAM＝∠APM∴AM＝PM．在Rt△APM中，∠AMP＝90°，∴AP2＝AM2+PM2．∴2AM∴AM＝PM＝1．∴BM＝AB﹣AM＝4﹣1＝3．在Rt△PMB中，∠PMB＝90°，∴BP=P∴PB＝QB=10在Rt△PBQ中，∠PBQ＝90°，∴PQ=P19．（8分）（2021春?江岸區(qū)校級月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，點D在邊AB上，將線段CD逆時針旋轉β得到CE，連接DE．（1）當α＝45°，β＝90°時，求證：AD2+DB2＝DE2．（2）當α＝30°，β＝120°時，若CE＝BE，求ADAB【分析】（1）根據SAS證明△ACD≌△BCE，可證出AD＝BE，∠DBE＝90°，結合勾股定理即可；（2）在BD的延長線上取點G，使CG＝CB，轉化為圖1，同理可得∠G＝∠CBE＝30°，借助特殊的直角三角形表示出AD和AB的長度即可解決問題．【解答】證明：（1）如圖1，連接BE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACE=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠A＝∠CBE，∵∠A＝＝∠CBA＝45°，∴∠DBE＝90°，∴BE2+BD2＝DE2，∴AD2+BD2＝DE2；（2）在BD的延長線上取點G，使CG＝BC∴∠CBA＝∠G＝30°，由（1）同理得△CGD≌△CBE，∴∠G＝∠CBE＝30°，∴設CE＝BE＝CD＝a，∠DCB＝90°，∴CB=3BE=3a，作CH⊥AB于H，∴CH＝AH=3a2，DH=a∴AD=3a2?∴ADAB20．（8分）（2020秋?紅橋區(qū)期末）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（2，0），點B（0，2），把△ABO繞點B逆時針旋轉，得△A′BO′，點A，O旋轉后的對應點為A′，O′．記旋轉角為α．（1）如圖①，當點O′落在邊AB上時，求點O′的坐標；（2）如圖②，當α＝60°時，求AA′的長及點A′的坐標．【分析】（1）根據點A（2，0），點B（0，2），可得△ABO是等腰直角三角形，當點O′落在邊AB上時，α＝45°，可得點O′的橫坐標為12AB=2，縱坐標為2（2）根據勾股定理得AB，由旋轉性質可得∠A′BA＝60°，A′B＝AB，繼而得出AA′和點A′的坐標．【解答】解：（1）如圖①，∵點A（2，0），點B（0，2），∴OA＝OB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝22，當點O′落在邊AB上時，α＝45°，∴點O′的橫坐標為12AB=2，縱坐標為2∴點O′的坐標為（2，2?2（2）如圖②，當α＝60°時，∴∠ABA′＝60°，AB＝A′B，∴△ABA′為等邊三角形，∴AA′＝A′B＝AB＝22，連接OA′，在△OBA′和△OAA′中，OB=OAOA'=OA'∴△OBA′≌△OAA′（SSS），∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，∴直線OA′的函數解析式為y＝x，∴OA′⊥AB，∴OA′=2∴點A′的坐標為（1+3，1+21．（8分）（2021?郴州模擬）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，將△DEC繞點C旋轉．（1）當△DEC繞點C旋轉到點D恰好落在AB邊上時，如圖2．①當∠B＝∠E＝30°時，此時旋轉角的大小為60°；②當∠B＝∠E＝α時，此時旋轉角的大小為2α（用含a的式子表示）．（2）當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小楊同學猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學的猜想是否正確，若正確，請你證明小楊同學的猜想．若不正確，請說明理由．【分析】（1）①證明△ADC是等邊三角形即可．②如圖2中，作CH⊥AD于H．想辦法證明∠ACD＝2∠B即可解決問題．（2）小揚同學猜想是正確的．過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，想辦法證明△CBN≌△CEM（AAS）即可解決問題．【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°，∵CA＝CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴旋轉角為60°，故答案為60°．②如圖2中，作CH⊥AD于H．∵CA＝CD，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠DCH，∵∠ACH+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠ACH＝∠B，∴∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α，∴旋轉角為2α．故答案為2α．（2）小揚同學猜想是正確的，證明如下：過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC＝∠EMC＝90°，∵△ACB≌△DCE，∴BC＝EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，∴△CBN≌△CEM（AAS），∴BN＝EM，∵S△BDC=12?CD?BN，S△ACE=12?∵CD＝AC，∴S△BDC＝S△ACE．22．（8分）（2020秋?槐蔭區(qū)期末）（1）如圖1，O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．求：①旋轉角的度數60°；②線段OD的長4；③求∠BDC的度數．（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）內一點，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．當OA、OB、OC滿足什么條件時，∠ODC＝90°？請給出證明．【分析】（1）①根據等邊三角形的性質得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根據旋轉的性質得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可確定旋轉角的度數為60°；②由旋轉的性質得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋轉的性質得CD＝AO＝3，然后根據勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；（2）根據旋轉的性質得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，則可判斷△OBD為等腰直角三角形，則OD=2OB，然后根據勾股