2024年新高考2卷數(shù)學(xué)解析幾何專題4（定值定點(diǎn)定直線與存在問題）第2課時(shí)（答案版）

專題四定值、定點(diǎn)、定直線與存在性問題第2課時(shí)以探究的形式出現(xiàn)的定值、定點(diǎn)、定直線問題第一部分真題再現(xiàn)【例1】【解析】（1）由題可知圓的圓心為，半徑.設(shè)，因?yàn)槭菆A的一條切線，所以.在中，，故.又，所以，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.(2)因?yàn)?，所以的外接圓圓是以為直徑的圓，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以圓的方程為，即.由，解得或，所以圓過定點(diǎn)和.【跟蹤練習(xí)】【解析】(1)由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：．(2)設(shè)點(diǎn)．因?yàn)锳M⊥AN，∴，即,①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為,如圖1．代入橢圓方程消去并整理得：②,根據(jù),代入①整理可得：將②代入，，整理化簡(jiǎn)得,∵不在直線上，∴，∴，于是MN的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn)．當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得,如圖2．代入得,結(jié)合,解得,此時(shí)直線MN過點(diǎn),由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，所以AE中點(diǎn)Q滿足為定值(AE長(zhǎng)度的一半)．由于，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得．故存在點(diǎn)，使得|DQ|為定值．【例2】【解析】（1）設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以拋物線的方程為.（2）當(dāng)為時(shí)，，由共線，可得，可得①，同理由共線②又由共線，可得，所以③同理由共線，可得④由①③得，即⑤又由②④得，即⑥由⑤⑥得，即，即，所以在上.【跟蹤練習(xí)】【解析】(1)依題意：，當(dāng)AB⊥x軸，則坐標(biāo)，，∴(2)法一(秒殺)：焦點(diǎn)三角形面積公式：；又：，，即所以A在短軸端點(diǎn)，即直線(即)方程為：，聯(lián)立：，得.法二(常規(guī))：依題意：設(shè)坐標(biāo)，∵(注意：用點(diǎn)更方便計(jì)算)則有：又A在橢圓上，滿足：，即：∴，解出：，B點(diǎn)坐標(biāo)求解方法同法一，.設(shè)坐標(biāo)，，，，直線l：(k不存在時(shí)不滿足題意)則：；；聯(lián)立方程：，，韋達(dá)定理：由直線方程：得M縱坐標(biāo)：；由直線方程：得N縱坐標(biāo)：；若，即∴，，代入韋達(dá)定理：得：，解出：∴存在直線或滿足題意第二部分強(qiáng)化訓(xùn)練1.【解析】（1）由橢圓的對(duì)稱性知，，，三點(diǎn)在橢圓C上，故，，得，從而橢圓C的方程為．（2）直線MN過定點(diǎn)，證明如下：假設(shè)存在，不妨設(shè)直線、、MN的斜率分別為，，k，滿足，設(shè)直線MN的方程為（），且，，與橢圓C的方程聯(lián)立，得，則，即（*），且那么，化簡(jiǎn)得，，即整理得：，解得或，當(dāng)時(shí)，中一點(diǎn)與重合，故舍去，故直線MN過定點(diǎn)．2.【解析】（1）由題意可知：雙曲線過點(diǎn)，，將其代入方程可得：，解得：，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（法一）設(shè)，點(diǎn)與三點(diǎn)共線，，（其中，），，，又，整理可得：，當(dāng)時(shí)，，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由得：，設(shè)，則，，若為定值，則根據(jù)約分可得：且，解得：；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，為定值.（法二）設(shè)，直線，由得：，為方程的兩根，，則，由得：，由可得：，同理可得：，則，若為定值，則必有，解得：或或，又點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)直線斜率為時(shí)，坐標(biāo)為，若，此時(shí)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，坐標(biāo)為，若，此時(shí)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，為定值.3、【解析】(1)由已知，點(diǎn)在橢圓E上．因此，解得．所以橢圓的方程為．(2)當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)．如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則，即．所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)．則，由，有，解得或．所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為．下面證明：對(duì)任意的直線，均有．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為．聯(lián)立得．其判別式，所以，．因此．易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．又，所以，即三點(diǎn)共線．所以．故存在與P不同的定點(diǎn)，使得恒成立．4、【解析】(Ⅰ)設(shè)直線，，，．將代入得，故，．于是直線的斜率，即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．(Ⅱ)四邊形能為平行四邊形．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，．由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得，即．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是．解得，．因?yàn)?，，，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．5、【解析】(Ⅰ)由題設(shè)可得，，或，．∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即．故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即．故所求切線方程為或．(Ⅱ)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為復(fù)合題意得點(diǎn)，，，直線PM，PN的斜率分別為．將代入C得方程整理得．∴．∴==．當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意．第三部分復(fù)習(xí)鞏固1.【解析】（1）因?yàn)?，所以?gòu)成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，則，，所以，，所以橢圓方程為.（2）（i）設(shè)直線的方程為，則，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以直線與的斜率之比為定值.（ii）由（i）可知直線的方程為，設(shè)，，由，可得，所以，所以，同理可得，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率最小，此時(shí)，直線的傾斜角最小，且，因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得，即，所以的方程為.2.【解析】（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，因?yàn)?，可得，由韋達(dá)定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此拋物線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，同理可得，直線的方程為，即，化簡(jiǎn)可得，同理可知，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可，由，消去，因?yàn)橹本€與相交，則，解得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，直線與的交點(diǎn)必在定直線上.3.【解析】（1）由題意可知，E的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形要么是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形，面積為；要么是短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形，面積為，所以，故E的方程為.（2）由于軸，所以不可能垂直于軸，故直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立，則，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，是的中點(diǎn)，所以，，即，所以，則化簡(jiǎn)得，代入得，故，所以或，故直線的方程為或，由于不與重合，所以直線不經(jīng)過，故直線的方程為，此時(shí)，故，此時(shí)直線過定點(diǎn).4.【解析】（1）由題意知，，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以的方程為?（2）設(shè)，則，，，設(shè)切線的斜率分別為，設(shè)的方程為：，因?yàn)椋?，所以，所以?）因?yàn)?，整理得，即，所以，同理：，因?yàn)榍芯€均過點(diǎn)，同理根據(jù)上面可知，為的兩解，所以，所以，為直角三角形，因?yàn)椋?，所以，同理：，所以直線的方程為：，將直線：，代入橢圓的方程：可得：，即，所以，，所以直線與橢圓相切，切點(diǎn)，所以，所以，所以.5.【解析】（1）因?yàn)榍€都過點(diǎn)，所以，解得，即，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，令，可得，則切線的斜率，所以切線方程為，即，由，整理得，因?yàn)闉榍€的公切線，所以，解得，所以直線的方程為，即．（2）設(shè)，，又，，所以，可得，兩式相減得到，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，則，，且，可得，所以