線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)(答案)

線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)答案

第一章行列式

練習(xí)一

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：

(1)T(3421)=5:

(2)T(135642)=6;

(3)T(13…(2n-1)(2n)…42)=2+4+6+…+(2n-2)=n(n-1).

2.由數(shù)字1到9組成的排列1274i56j9為偶排列，則i=8、i=3.

3.在四階行列式中，項(xiàng)4,洶洶外的符號(hào)為負(fù).

003

4.042=-24.2[G

04-2“口"。

215二一2f或S)*2-4-3--24

0o3

5.計(jì)算下列行列式：

-122

(1)2-1-2=-1+(-8)+(-8)-(-4)-(-4)-(-4)=-5

2-2-1

或

-211

(2)11=—分+i+i—(—2)—(—2,)—(—4)

11-Z

=-分+3%+2=(2—2)(2+1)2

練習(xí)二

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.已知3階行列式det(4)=l,則行列式det(—4；)=—1.(-1)31=-1

111

2.234=2.

4916

1012

-1103

3.已知D=則

1110

254

An+At2+443+444=----------zzl-----------'

用1,1,1,1替換第4行

4.計(jì)算下列行列式:

1+abc

(1)a1+bc

ah1+c

100

1-1

=/01=1+a+O+c

b1+c

ab1+c\ab1+c

x>x+y

(2)yx+yx

x+yxy

21-51

-30-6

⑶

02-12

14-76

1214

0131

5.計(jì)算下列n階行列式:

xa■■■a

ax???ci

⑴D“=....（每行都加到第一行，并提公因式。）

aa■■■x

211

11???n+\

練習(xí)三

____________姓名

-x2-x3=i

1.設(shè)線性方程組玉+丸工2+七=1有惟一解，則4滿足的條件是什么？

-+X2+丸工3=1

%+%2+工3+14=5

玉+2X—忍+4%=-2

2.求解線性方程組＜2

2%1—3%2—演—54=—2

3%+工2+2工3+1114=0

Axj-x2-x3=0

3.已知齊次線性方程組（-玉+4/+馬=°有非零解，求X的值。

—%—%+力尤3=0

32

4.求三次多項(xiàng)式/(x)=a3x4-a2x-\-aAx+a^,使得:

/(-2)=3J(—1)=4J(l)=6,/(2)=19o

自測(cè)題

1.n階行列式D=det（他），則展開式中項(xiàng)“2。23%4…。自/”的符號(hào)為（T）"-'?

1二1

2.已知3階行列式det(4)=Q,則行歹ij式det(-2為)=(—2)33=T.

1111

1-22X

3.方程0的根為12-2

144X2

1-88x3

2x+y+z=0

4.已知齊次線性方程組《/U+3y—z=0僅有零解，則；I的值應(yīng)為/1工0,/1。1.

-y+Az-0

2xx12

1x1-1

5.設(shè)。，則D的展開式中/的系數(shù)為4

32x1

111x

6.計(jì)算下列行列式:

1-322

-3409

(1)

2-262

3-383

122…2

222…2

(2)2=223…2

222???n

第二章矩陣及其運(yùn)算

練習(xí)一

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

‘111、123、

1.設(shè)A=11—1,B=-1-24，求3AB-2A及48。

JT051,

2.設(shè)A、B都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AB=BA。

由題意，得：A1=A,B'

3.矩陣A和B滿足什么條件時(shí)，（A+5）2=A2+2AB+B2恒成立？

恒成立的條件是：AB=BA.

[-1、

4.設(shè)A=（l23）,8=1，求AB,BA及（RAP00。

n0、一*

5.設(shè)4=,求A2,A3,…，屋。

121J

練習(xí)二

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.求下列矩陣的逆矩陣：

’12-3、

(2)012

<001,

2.設(shè)方陣A滿足A?—?1—2E=0,證明A及A+2E都可逆，并求及(A+2E)r。

’100、

3.已知A=0-20,A,BA=2BA-SE,求8。

、00"

4.設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明:

(1)若同=0,則⑷=0；⑵|A*|=|4]。

f-1-4>f-i01

5.設(shè)PTAP=A,其中尸=,A=，求A”。

(1"l02)

練習(xí)三

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

’3400、

4-300??|

1.設(shè)A=，求不及Al

002011

、0022,

2.求下列逆矩陣：

200Y'

(1)0300

0020

、0034,

(OAY,

(2)，其中n階矩

0)

陣A及s階矩陣8都可逆。

自測(cè)題

一.填空題：

’12、'34、

1.若4=,P=，那么尸助4尸頸=

34,Uo;J2,

2.A、8為三階矩陣，國=一同5|=2,則|208邛=8.

0、ct~—3a+5

3.已知./(x)=x^—3x+5,4—，則/(A)

b)、0廿一3"5j

4.若A、B。均為n階矩陣，且AB=6C=C4=￡,則舟+82+。2=3E.

'1-11、

T則

5.a是三維列向量，aa-11-1，d=.3

J-1L

'1-52、

用初等變換法求4=-211-3的逆矩陣.

J一51,

‘100、

三.設(shè)矩陣A=110,求4”.

、。1b

四.證明：n階矩陣A對(duì)稱的充分必要條件是A—A，對(duì)稱。

’1-20、

五.A、B為三階可逆矩陣，2ATB=8—4E,若3=120，求A.

J02,

第三章矩陣的初等變換與線性方程組

練習(xí)一

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.判斷題（正確打J,錯(cuò)誤打X）：

1）某矩陣的行（列）階梯形矩陣是唯一的（X）

2）某矩陣的行（列）最簡(jiǎn)形矩陣不是唯一的（X）

3）某矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣不是唯一的（X）

4）矩陣的初等變換都有逆變換，且逆變換與原變換同屬一類（V）

5）任何一個(gè)矩陣總能通過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形（J）

玉-2龍2_%3+九4=]

2.已知線性方程組（2尤2-2馬+6%=2,寫出其增廣矩陣，并將增廣矩陣通過初等行變

2%1—3%2+2——9

換化為階梯形、行最簡(jiǎn)形。

<20、

3.已知A=[]32I'將A化成標(biāo)準(zhǔn)形。并寫出P、Q,使A的標(biāo)準(zhǔn)形等于PAQ。

'02]、

4.已知A=2—13,利用矩陣的初等變換，求A-'

、—33一4,

’1-10、

5.已知A=01-1,AX=2X+A,求X。

、—1。1,

練習(xí)二

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.選擇題：

1）4批的行階梯形中只有前r（rVm且r<n）行為非零行，則R（A）為（C）

（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.

2）非零矩陣A,"x“（m<n）中的所有的2階子式全為0,則A的標(biāo)準(zhǔn)形為（D）

(E0、fo0、fo0}’10、

(A)m；(B)；(C):(D)

10loEm)(ooJ

0>mxn\mxn\\00/7mxn

3)方陣A”的秩H(A)=n,則A“必定不滿足(D)

(A)可逆；(B)A“與E等價(jià)；(C)R(A*)=〃；(D)存在8。O,使A8=O

4)A”為奇異矩陣，下列的錯(cuò)誤的是(C)

(A)R(A)=R(A「)；(B)R(A)<n；(C)1A*卜0；(D)不與單位陣E等價(jià)

’3102、

2.已知矩陣4=1-12-1,求R(A)。

J3-44,

R(A)=2

’1-23k、

3.設(shè)A=-12k-3，問人為何值時(shí)，可分別使(1)R(A)=1；(2)R(A)=2；(3)/?(A)=3?

、k-23,

4.已知n階方陣A,使A—2E為不可逆矩陣，求證：A不為零矩陣。

練習(xí)三

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.選擇題：

1)當(dāng)(D)時(shí)，齊次線性方程組4,*“尤=0一定有非零解。

(A)mWn；(B)m=n；(C)m>n；(D)m<n.

2)設(shè)A為n(，2)階方陣，且R(A)=n-l,%,％是的兩個(gè)不同的解向量，左為

任意常數(shù)，則Ac=。的通解為(C)

(A)ka}；(B)ka2；(C)-a2)<(D)k{a}+a2).

2.填空題：

1)設(shè)4階方陣A=('a2a3%)，且4=卬-%+%一%,則方程組4=尸的一個(gè)解

向量為(1-11-1)\

2)設(shè)方程組A〃+i)*"X=b有解，則其增廣矩陣的行列式|蝴=_2_。

X]+%2=~?|

4

x2+x3=a2

3）若《有解，則常數(shù)4,42，”3，“4應(yīng)滿足條件_24=0-。

x3+x4--a3

A+Xi=?4

121、

4）已知方程組23。+23無解，則ci=___」

-2，°,

玉+*2+%=0

3.求齊次線性方程組，%!+x2-x3=0的解。

x3+x4+x5=0

23、。0

4.解矩陣方程:X=

231J、01

/I%）+x2+x3=1

5.4取何值時(shí)，非齊次線性方程組＜芭+/1々+%3=丸（I）有唯一解；（2）無解；（3）有

X1++2工3=

無窮多解？并在有解時(shí)，求解。

解：

I1222

(1)當(dāng)-2,271時(shí)，有唯一解；Af01一4

(1+4

0014+2J

(2)當(dāng)丸=一2時(shí)，無解;

I11

(3)0000

0003

%是任意實(shí)數(shù)）

自測(cè)題

1.選擇題:

1）設(shè)A為n（22）階奇異方陣，A中有一元素陶的代數(shù)余子式4H0,則方程組Ax=O

的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（B）

(A)i；(B)1；(C)j；(D)n.

2

2x,+x2+A,X3=0

2)方程組＜%+/1工2+%3=0的系數(shù)矩陣記為A，若存在三階方陣BHO,

xt+x2+AX3=0

使得AB=O,則(A)

(A)2=1,|B|=0；(B)/iHl,冏00；(C)|B|=0；(D)4=1,忸艮0.

3)設(shè)A與B是n階方陣,齊次線性方程組Ax=O,Bx=O有相同的基礎(chǔ)解系。，專，

則以下方程組以4,女，4為基礎(chǔ)解系的是(D)

(A)(A+8)x=O；(B)ABx=O；(C)BAx=O}(D)x=O.

\B)

2.判斷題：

1)初等矩陣與初等變換是一一對(duì)應(yīng)的(V)

2)任一秩為r的矩陣A必與(6等價(jià)(J)

[00)

3)Ar=。與A'Ar=0為同解方程組(V)

4)方程組加=匕有無窮多個(gè)解的充分必要條件是=6有兩個(gè)不同的解(V)

3.設(shè)n階方陣A的列向量為%(i=l,2,3,…，n),n階方陣8的列向量為

+a2,a2+a3,---,an_l+an,an+al,試問:當(dāng)R(A)=〃時(shí)，&=。是否有非零解？

試證明你的結(jié)論。

4.若齊次線性方程組A?,x?x=0的解均為齊次線性方程組B.x=0的解，

試證明R(A)NR(8)。

x,+x,=0%,-x,+x,=0

5.求方程組12與，2"的非零公共解。

%—%4=°［工2一七+工4=0

解：

/\

X,㈠

非零公共解為x2=c1(cwO,c是任意實(shí)數(shù))

X312,

<X4>

6.設(shè)非齊次線性方程組A?,x?x=b的系數(shù)矩陣4,*,,的秩為r,久虞，…,…是A,mnx=0的

一個(gè)基礎(chǔ)解系，？7是4“*/=人的一個(gè)解。證明：4,*/=方的任一解可表示為

7.設(shè)/,%,%，&，尸為四維列向量，4=(匈,%,。3，%)，已知/卜=￡的通解為

-12121

x=+勺+k,其中，為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，尢,網(wǎng)為

02

J

任意常數(shù)，令8=(4,。2。3)，試求為=用的通解。

第四章向量組的線性相關(guān)性

練習(xí)一

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.己知向量&=(1,1,0,—1),4=(一2,1,1,2)，7=(—1,2,0,1),試求向量J=3a—24+九

解：＜^=3a-2/7+/=3(1,1,0,-1)-2(-2,1,1,2)+(-1,2,0,1)=(6,3,-2,-6)

2.已知向量組A:%=(0,1,2,3)，4=。，0,1,2)，？=0，3,0,1)，,

=(2,l,l,2)r,分=(0,-2,1,1/,^=(4,4,1,3)，證明3組能由A組線性表示，但A

組不能由8組線性表示。

解：

R(A)=3=R(A8),所以5組能由A組線性表示。

R(B)=2,R(BA)=3,所以4組不能由B組線性表示。

3.設(shè)夕可由a1,%，線性表示，但不能由.,。2,…，?！癐線性表示，證明：a,“可由

名,1T，尸線性表示，而不能由…,。吁|線性表示。

4.已知%=(1,4,0,2)',%=(2,7,1,3)，%=(0,1,—1,4)’,夕=(3,10也44，問:

(1)a,b取何值時(shí)，夕不能由%線性表示？

(2)a,力取何值時(shí)，夕可由%,巴，線性表示？并寫出此表達(dá)式。

解：

(I)當(dāng)a=l,人工2或awl,Z?w2時(shí)，H(A)#R(AQ),夕不能由q,a2,火線性表示。

030-1

0-12002

(2)當(dāng)。工1,匕=2時(shí)，(A0

00a-10000

0000000

R(A)=R{A/3)=3,4可由線性表示，/?=-?+2a2+0,。3

(1203](102-1]

01-1201-12

當(dāng)a=l,Z?=2時(shí)，(A")------>------>

00000000

[oo0oj10000,

R（A）=R（A尸）=2,夕可由。3線性表示。

/7=（-1-2^）?1+（2+k）a2+k-a3（ZeR）

練習(xí)二

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.判斷向量組四=（1,1,0,0）',。2=（0，1，1，0）'，4=（0，°，1，1）7，。4=（一1，0,0，1）7的線性

相關(guān)性。

2.討論向量組%=（1,1,0），4=。,3,—1），%=（5,3,的線性相關(guān)性？即/取何值時(shí)，

向量組線性無關(guān)？/又取何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？

3.已知向量組即％，%線性無關(guān)，判斷2a1+3%,%-3%0+%+%的線性相關(guān)性。

4.如果向量夕可以用向量組名,七,…,火線性表示，試證表示方法是唯一的充要條件是

%,%,…,火線性無關(guān)。

練習(xí)三

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

I.已知向量組a=（1,2,3,4）,4=（2,3,4,5）,4=（3,4,5,6）,&=（4,5,6,7）,求該向量

組的秩。

2.求向量組因=(1,-1,254bo2=(0,3,1,2"=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0)的秩和最大

無關(guān)組，并把其余向量用此最大無關(guān)組線性表示。

T324、

3142

3.利用初等行變換求矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余列向量

2342

139,

用最大無關(guān)組線性表示。

4.設(shè)A為”階矩陣（〃22）,A*為A的伴隨矩陣，證明：

練習(xí)四

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

xt+x2-3X4一天=0

x.-x.+2x.=0—

i.求齊次線性方程組《'2345的基礎(chǔ)解系。

4元1—2X2+6/—5/+/=0

2xt+4X2-2尤3+4X4-16X5=0

xt+3X2+3X3-2X4+毛=3

2x,+6x,+x,-3%=2

2.求非齊次線性方程組《1234的通解。

x}+3X2-2X3-x4-x5=-l

3X1+9x,+4X3-5X4+/=5

3.已知配自2看3是四元非齊次線性方程組4=人的解，R（A）=2,且

4.設(shè)是齊次線性方程組Ar=8的一個(gè)解，。,昆,…,當(dāng)一是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一

個(gè)基礎(chǔ)解系，證明:⑴-線行無關(guān)；⑵…，〃*+4一

線行無關(guān)。

練習(xí)五

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1.試判定集合V=｛（%,工2,…,x“）|%+/H--1■x”=一1,看eR｝是否構(gòu)成向量空間？

4

2.求向量空間R的基岡=（1,2,—1,0）,4=（1,—1,1,1）,a.?=（-l,2,l,l）,a4=（-1,-1,0,1）

到基伍=（2,1,0,1）血=（0,122"=（-2,1,1,2）,A=（1,3,1,2）的過渡矩陣和向量的

坐標(biāo)變換公式。

自測(cè)題

一、選擇題：

1.設(shè)向量組（1）：與向量組（2）：4，片等價(jià)，則（A）?

（A）向量組（1）線性相關(guān)；（B）向量組（2）線性無關(guān)；

（C）向量組（1）線性無關(guān)；（D）向量組（2）線性相關(guān)。

2.設(shè)n維向量組%%4n線性無關(guān)，則（B）。

（A）向量組中增加一個(gè)向量后仍線性無關(guān)；（B）向量組中去掉一個(gè)向量后仍線性無關(guān)；

（C）向量組中每個(gè)向量都去掉第一個(gè)分量后仍線性無關(guān)；

（D）向量組中每個(gè)向量都任意增加一個(gè)分量后仍線性無關(guān)。

3.設(shè)三階行列式。=同=0,則（A）。

(A)D中至少有一行向量是其余行向量的線性組合；

(B)。中每一行向量都是其余行向量的線性組合；

(C)。中至少有兩行向量線性相關(guān)；(D)。中每一行向量都線性相關(guān)。

4.設(shè)人：囚,是一組n維向量，且q,見，0^線性相關(guān)，則(D)。

(A)A的秩等于4；(B)A的秩等于n；(C)A的秩等于1；(D)A的秩小于等于3。

5.設(shè)￡不能由非零向量4,a2，…,巴線性表示，則(D)?

(A)囚,％，…,4線性相關(guān)；(B)/,。2,…,鬼，萬線性相關(guān)；

(C)夕與某個(gè)見線性相關(guān)；(D)夕與任一見都線性無關(guān)。

二、填空題：

I.設(shè)n維向量q,見，線性相關(guān)，則向量組%-%,%的秩r=0,1,2。

2.向量組a,夕,7線性相關(guān)的充分必要條件為秩分。

3.設(shè)線性無關(guān)，而,,%，見線性相關(guān)，則向量組風(fēng)，2。2,3。3的極大無關(guān)組為

4.已知四=(1,3,2,4),4=(2,6,左,8)線性相關(guān)，則k=4

5.已知向量組a,民/線性相關(guān)，而向量組尸5線性無關(guān)，則向量組a,/7,7的秩為_2_。

伙=ax+a2+a3

三、已知＜夕2=。1+。2+2。3，證明與凡A，夕3等價(jià)。

用3=%+2a2+3a3

四、設(shè)有向量組A:(Z|=2,a2=1,a2試問當(dāng)a,b,c滿

jo