新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時作業(yè)44 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題VIP

課時作業(yè)44直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題1．設(shè)α，β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，故選A.2．設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是(B)A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a⊥α，a∥b，則b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，則b∥αD．若a∥α，a⊥b，則b⊥α解析：若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故A錯誤；易知B正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或b?α，故C錯誤；若a∥α，a⊥b，則b∥α或b?α或b與α相交，故D錯誤．3．已知兩個平面相互垂直，下列命題①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中正確命題個數(shù)是(C)A．3B．2C．1D．0解析：構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖，①在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，BD?平面ABCD，但A1D與BD不垂直，故①錯；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1內(nèi)的任意一條直線，l與平面ABCD內(nèi)同AB平行的所有直線垂直，故②正確；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，但A1D與平面ABCD不垂直，故③錯；④在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩4．已知a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，則下列說法正確的是(C)A．若c?平面α，則a⊥αB．若c⊥平面α，則a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：對于A，直線a可以在平面α內(nèi)，也可以與平面α相交；對于B，直線a可以在平面α內(nèi)，或者b在平面α內(nèi)；對于D，如果a⊥α，b⊥α，則有a∥b，與條件中兩直線異面矛盾．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(B)A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析：如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因為底面邊長為eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的體積為eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3).所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，因為直線與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAO＝eq\f(π,3).6．如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.7．(多選題)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下面四個命題：①若α⊥β，β⊥γ，則α與γ平行或相交；②若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；③若m∥α，n?α，則m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，則m∥n.其中正確命題的是(AD)A．①B．②C．③D．④解析：對于①，同垂直于一個平面的兩個平面可能平行也可能相交，命題①正確；對于②，在兩個互相垂直的平面內(nèi)的兩條直線可能互相平行，可能相交，也可能異面，命題②錯誤；對于③，直線m與n可能異面，命題③錯誤；對于④，由面面平行的性質(zhì)定理知命題④正確．8．(多選題)如圖，AC＝2R為圓O的直徑，∠PCA＝45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點A、C重合的點，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，則下列正確的是(ACD)A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC解析：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AN?平面ABP，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又PC?平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，又PC?平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正確，B顯然不正確；C，D顯然正確，故選ACD.二、填空題9.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為4.解析：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形，由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．10.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線AB解析：∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上．點P到直線CC1的距離的最小值為eq\f(2\r(5),5).解析：點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值．當(dāng)P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C＝eq\f(2×1,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5).三、解答題12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明：(1)因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.因為AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因為E是PC的中點，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，所以AE⊥PD.因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.證明：(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因為AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因為AF⊥EF，(1)中已證AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD，由點E在棱PC上(異于點C)，所以點F異于點D，所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.14．已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，(B)A．存在某個位置，使得直線BD與直線AC垂直B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個位置，使得直線BC與直線AD垂直D．對任意位置，三對直線“AC與BD”“CD與AB”“AD與BC”均不垂直解析：矩形在翻折前和翻折后的圖形如圖(1)(2)所示．在圖(1)中，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過點C作CF⊥BD，垂足為F，由邊AB，BC不相等可知點E、F不重合；在圖(2)中，連接CE，對于選項A，若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE，所以BD⊥CE，與點E，F(xiàn)不重合相矛盾，故選項A錯誤；對于選項B，若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，由AB<BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得直線AB與直線CD垂直，故選項B正確；對于選項C，若AD⊥BC，又知DC⊥BC，AD∩DC＝D，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，已知AB＝2，BC＝2eq\r(2)，則BC>AB，所以不存在這樣的直角三角形，故選項C錯誤；由以上可知選項D錯誤．因此選B.15．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，E是AD的中點，將△ABE沿BE折起，記折起后的三角形為△PBE，且PC＝1.(1)證明：平面PCE⊥平面PBD；(2)問在線段PD上是否存在點F，使得EF⊥CD，若存在，求出eq\f(PF,PD)的值，若不存在，請說明理由．解：(1)證明：如圖，設(shè)線段CE與BD交于點O，連接PO，由已知可得，四邊形BCDE是菱形，∴BD⊥CE.∵PE＝PC＝1，點O是CE的中點，∴PO⊥CE.又BD∩PO＝O，BD，PO?平面PBD，∴CE⊥平面PBD.又CE?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBD.(