新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 課時作業(yè)64 古典概型（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

課時作業(yè)64古典概型一、選擇題1．某地鐵站有A，B，C三個檢票口，甲、乙兩人一同進站，則他們選擇同一檢票口檢票的概率為(C)A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：他們選擇檢票口的所有情況有n＝3×3＝9(種)，他們選擇同一檢票口檢票的情況有m＝3(種)，∴他們選擇同一檢票口檢票的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).故選C.2．已知x，y∈{1,2,3,4,5,6}，且x＋y＝7，則y≥eq\f(x,2)的概率為(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：(x，y)的所有可能情況有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，滿足y≥eq\f(x,2)的有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，故所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故選B.3．現(xiàn)有一個不透明的口袋中裝有標號為1,2,2,3的四個小球，它們的大小、質(zhì)地完全相同，現(xiàn)從中隨機取出一球記下號碼后放回，均勻攪拌后再隨機取出一球，則兩次取出小球所標號碼不同的概率為(D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：隨機取出一球記下號碼后放回，均勻攪拌后再隨機取出一球，則兩次取出小球的試驗結果共有4×4＝16(種)，號碼相同的情況共有6種，則號碼不同的概率P＝1－eq\f(6,16)＝eq\f(5,8)，故選D.4．在邊長為1的正五邊形的五個頂點中，任取兩個頂點，則兩個頂點間的距離大于1的概率為(C)A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：在邊長為1的正五邊形的五個頂點中，任取兩個頂點，共有10種不同的取法，又正五邊形共有5條對角線，滿足兩個頂點間距離大于1，所以所求概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，故選C.5．某商場舉行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：從裝有質(zhì)地、大小完全相同的2個紅球、3個藍球的箱子中，任意取出兩球，若取出的兩球顏色相同則中獎，否則不中獎．則中獎的概率為(C)A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)解析：總的取法有Ceq\o\al(2,5)＝10(種)，兩球顏色相同的取法有Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝4(種)，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故選C.6．某區(qū)要從參加扶貧攻堅任務的5名干部A，B，C，D，E中隨機選取2人，赴區(qū)屬的某貧困村進行駐村扶貧工作，則A或B被選中的概率是(D)A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(7,10)解析：從5名干部中隨機選取2人有Ceq\o\al(2,5)＝10(種)選法，其中只選中A沒選中B有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)選法，只選中B沒選中A有Ceq\o\al(1,3)＝3(種)選法，A和B均選中有1種選法，所以所求概率P＝eq\f(3＋3＋1,10)＝eq\f(7,10)，故選D.7．2021年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．今年上高一的小明與小芳都準備選歷史與政治，假若他們都對后面三科沒有偏好，則他們選課相同的概率為(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,9)解析：基本事件總數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝9，他們選課相同的事件總數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,1)＝3，∴他們選課相同的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).故選B.8．(多選題)以下對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(BCD)A．甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的游戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适莈q\f(1,3)B．每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如8＝3＋5，在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為eq\f(1,15)C．將一個質(zhì)地均勻的正方體骰子(每個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6)先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是6的概率是eq\f(5,36)D．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是eq\f(1,2)解析：對于A，畫樹形圖如下：從樹形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結果共有9種，這些結果出現(xiàn)的可能性相等，P(甲獲勝)＝eq\f(1,3)，P(乙獲勝)＝eq\f(1,3)，故玩一局甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3)，故A錯誤；對于B，不超過14的素數(shù)有2,3,5,7,11,13共6個，從這6個素數(shù)中任取2個，有2與3,2與5,2與7,2與11,2與13,3與5,3與7,3與11,3與13,5與7,5與11,5與13,7與11,7與13,11與13共15種結果，其中和等于14的只有一組3與11，所以在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為eq\f(1,15)，故B正確；對于C，基本事件總共有6×6＝36種情況，其中點數(shù)之和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5種情況，則所求概率是eq\f(5,36)，故C正確；對于D，記三件正品為A1，A2，A3，一件次品為B，任取兩件產(chǎn)品的所有可能為A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B，A3B，共6種，其中兩件都是正品的有A1A2，A1A3，A2A3，共3種，則所求概率為P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故D正確．故選BCD.二、填空題9．將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設事件A＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件eq\x\to(A)＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能結果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).10．從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，則所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為eq\f(2,5).解析：依題意，從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，共有10種不同的取法，其中所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的取法共有1＋3＝4種(包含兩種情形：一種情形是所取的3個數(shù)均為偶數(shù)，有1種取法；另一種情形是所取的3個數(shù)中2個奇數(shù)，另一個是偶數(shù)，有3種取法)，因此所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).11．2018年3月7日《科學網(wǎng)》刊登“動物可以自我馴化”的文章表明：關于野生小鼠的最新研究，它們在幾乎沒有任何人類影響的情況下也能表現(xiàn)出進化的跡象——皮毛上白色的斑塊以及短鼻子．為了觀察野生小鼠的表征，從有2對不同表征的小鼠(白色斑塊和短鼻子野生小鼠各1對)的實驗箱中每次拿出1只，不放回地拿出2只，則拿出的野生小鼠不是同一表征的概率為eq\f(2,3).解析：設四只小鼠分別為A1，A2，B1，B2，其中A1，A2為白色斑塊小鼠，B1，B2為短鼻子小鼠，從四只小鼠中不放回地拿出2只，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)方法，其中不是同一表征的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，共4種，結合古典概型的概率計算公式可得，所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).12．用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是eq\f(1,4).解析：由于只有兩種顏色，不妨將其設為1和2，若只用一種顏色有111,222.若用兩種顏色有122,212,221,211,121,112.所以基本事件共有8種．又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為eq\f(1,4).三、解答題13．在某項大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務的概率．解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務”為事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率是eq\f(1,40).(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務”為事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有兩人同時參加A崗位服務的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，所以僅有一人參加A崗位服務的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).14．某中學組織了一次數(shù)學學業(yè)水平模擬測試，學校從測試合格的男、女生各隨機抽取100人的成績進行統(tǒng)計分析，制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學成績的頻率分布直方圖．(注：分組區(qū)間為[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80認定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×eq\f(1,15)＝2，女生人數(shù)為45×eq\f(1,15)＝3.則從5人中任意選取2人共有Ceq\o\al(2,5)＝10種，抽取的2人中沒有一名男生有Ceq\o\al(2,3)＝3(種)，則至少有一名男生有Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7(種)．故至少有一名男生的概率為P＝eq\f(7,10)，即選取的2人中至少有一名男生的概率為eq\f(7,10).15．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為(D)A.eq\f(1,14) B.eq\f(1,7)C.eq\f(5,28) D.eq\f(5,14)解析：觀察八卦圖可知，含有3根陰線的共有1卦，含有3根陽線的共有1卦，含有2根陰線1根陽線的共有3卦，含有1根陰線2根陽線的共有3卦，故從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線恰有三根陽線和三根陰線的概率為eq\f(C\o\al(1,1)×C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14).故選D.16．某快遞公司收取快遞費用的標準如下：質(zhì)量不超過1kg的包裹收費10元；質(zhì)量超過1kg的包裹，除1kg收費10元之外，超過1kg的部分，每1kg(不足1kg，按1kg計算)需再收5元．該公司對近60天每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126(1)某人打算將A(0.3kg)，B(1.8kg)，C(1.5kg)三件禮物隨機分成兩個包裹寄出，求該人支付的快遞費不超過30元的概率；(2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用．前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，