物理學(xué)教程(第二版)第1~5章答案

第二章牛頓定律

2-1如圖(a)所示，質(zhì)量為根的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面匕若斜面向左方作加速運(yùn)動,

當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí)，它的加速度的大小為()

(A)gsin0(B)geos0(C)gtan0(D)gcot0

題2-1圖

分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間僚卜面對物體的支持力消失為零，物體在繩子拉力尸「(其方向仍可認(rèn)為平行

于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度外如圖(b)所示，由其可解得合外力為"?gcot”故選(D).求

解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征.

2-2用水平力心把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止.當(dāng)逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力

廣田I大小()

(A)不為零，但保持不變

(B)隨尸N成正比地增大

(C)開始隨尸N增大，達(dá)到某一最大值后，就保持不變

(D)無法確定

分析與解與滑動摩擦力不同的是，靜摩擦力可在零與最大值范圍內(nèi)取值.當(dāng)增加時(shí)，靜摩擦力可取的

最大值成正比增加，但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動狀態(tài).由題意知，物體?直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩

擦力與重力大小相等，方向相反，并保持不變，故選(A).

2-3一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為“，要使汽車不至于發(fā)生側(cè)

向打滑，汽車在該處的行駛速率()

(A)不得小于J踵斤(B)必須等于標(biāo)后

(C)不得大于(D)還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m決定

分析與解由題意知，汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動，為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑，所需向心力只能

由路面與輪胎間的靜摩擦力提供，能夠提供的最大向心力應(yīng)為〃心.由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為。

="Rg.因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值，均能保證不側(cè)向打滑.應(yīng)選(C).

2-4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑過程中，則()

(A)它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心，其速率保持不變

(B)它受到的軌道的作用力的大小不斷增加

(C)它受到的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心

(D)它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加

題2-4圖

分析與解由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持

力尸N作用,其合外力方向并非指向圓心，其大小和方向均與物體所在位置有關(guān).重力的切向分量(，"geos0)使

物體的速率將會不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷)，則物體作圓周運(yùn)動的向心力(又稱法向力)將不斷增大，由

V2

軌道法向方向上的動力學(xué)方程&一機(jī)gsin。=m—可判斷，隨e角的不斷增大過程，軌道支持力FN也將

不斷增大,由此可見應(yīng)選(B).

*2-5圖(a)示系統(tǒng)置于以a=1/4g的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B兩物體質(zhì)量相同均為孫A所在的桌面

是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì)，若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦，并不計(jì)空氣阻力，則繩中張力為()

(A)5/8mg(B)1/2mg(C)mg(D)2mg

分析與解本題可考慮對A、B兩物體加上慣性力后，以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解.此時(shí)A、B兩物

體受力情況如圖(b)所示，圖中/為A、B兩物體相對電梯的加速度為慣性力.對A、B兩物體應(yīng)用牛頓第

mgmg

題2-5圖

討論對于習(xí)題2-5這種類型的物理問題，往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運(yùn)動圖像較為明確,

但由石牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí)，必須對物體加上一個(gè)虛擬的慣性

力.如以地面為慣性參考系求解，則兩物體的加速度分和“B均應(yīng)對地而言，本題中心和曲的大小與方向均

不相同.其中心應(yīng)斜向上.對粗、佝、“和之間還要用到相對運(yùn)動規(guī)律，求解過程較繁瑣.有興趣的讀

者不妨自己嘗試一下.

2-6圖示一斜面,傾角為a,底邊AB長為/=2.1m,質(zhì)量為用的物體從題2-6圖斜面頂端由靜止開始向下滑

動，斜面的摩擦因數(shù)為〃=014.試問，當(dāng)a為何值時(shí)，物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？其數(shù)值為多少？

題2-6圖

分析動力學(xué)問題?般分為兩類：（1）已知物體受力求其運(yùn)動情況；（2）已知物體的運(yùn)動情況來分析其所受

的力.當(dāng)然，在一個(gè)具體題目中，這兩類問題并無截然的界限，且都是以加速度作為中介，把動力學(xué)方程和運(yùn)動

學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來.本題關(guān)鍵在列出動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。=危）,然后運(yùn)用對,

求極值的方法即可得出數(shù)值來.

解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)o位于斜面頂點(diǎn)，則由牛頓第二定律有agsina-m即cssa=ma

（1）

又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動，故有

g(sina-//cosa)/2

cosa2

人」,Jgcosa(sina—〃cosa)(乃

為使下滑的時(shí)間最短，可令一=0,由式(2)有

da

-sina(sina-〃cosa)+cosa(cosa-//sina)=0

則可得tan2a=—■-,?=49°

/|n，n\geosa(sina-//cosa)

2-7工地上有?吊車，將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空.甲塊質(zhì)量為%=2.00xio,kg,乙塊質(zhì)量

為g=1.00xIO?kg.設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì).試求下述兩種情況下，鋼絲繩所受的張力以及乙

塊對甲塊的作用力：（1）兩物塊以10.0nrs-2的加速度上升；（2）兩物塊以1.0m-s々的加速度上升.從本

題的結(jié)果,你能體會到起吊重物時(shí)必須緩慢加速的道理嗎？

y

分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體.處理動力學(xué)問題通常采用“隔離體”的方法，分析物體所

受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動力學(xué)方程.根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)

目的方程式.結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系，可解決物體的運(yùn)動或相互作用力.

解按題意，可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體，畫示力圖，并取豎直向上為Qy軸正方向(如圖所示).當(dāng)

框架以加速度a上升時(shí)，有

Ft-(OT|+n22)S=(加i+加2)a(1)

尸N2-g=m2a(2)

解上述方程，得

FT=(my+m2)(g+a)(3)

尺2=?2(g+?)(4)

(1)當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a=10ms-2上升時(shí)，由式(3)可得繩所受張力的值為

FT=5.94xIO3N

乙對甲的作用力為

尸N2=-尸N2(g+a)=-1.98xlO’N

(2)當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a=1m-s-2上升時(shí)，得繩張力的值為

FT=3.24x1()3N

此時(shí),乙對甲的作用力則為

^2=-1.08xlO3N

由上述計(jì)算可見，在起吊相同重量的物體時(shí)，由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同，加速度大，繩中張力

也大.因此，起吊重物時(shí)必須緩慢加速，以確保起吊過程的安全.

2-8如圖(a)所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m=3.0kg物體A以加速度a=1.0ms-2運(yùn)動,求物體B與

桌面間的摩擦力.(滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì))

分析該題為連接體問題，同樣可用隔離體法求解.分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的，即必

須在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提卜.成立.同時(shí)也要注意到張力方向是不同的.

解分別對物體和滑輪作受力分析[圖(b)].由牛頓定律分別對物體A、B及滑輪列動力學(xué)方程，有

MAg-FT=mAa(1)

F'TI-Fr==WBA，(2)

Fl-2FTI=0(3)

考慮到/WA=WB=FT=F\,FTI=/門,"=2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力

F=〃琢―(加+4=72N

「一2"

題2-8圖

討論動力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：（1）分析題意,確定研究對象，分析受力，選定坐標(biāo)：（2）根據(jù)物理

的定理和定律列出原始方程組；（3）解方程組，得出文字結(jié)果；（4）核對量綱，再代入數(shù)據(jù)，計(jì)算出結(jié)果來.

2-9質(zhì)量為M的長平板A以速度”在光滑平面上作直線運(yùn)動，現(xiàn)將質(zhì)量為m的木塊B輕輕平穩(wěn)地放在長平

板上，板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為〃，求木塊在長平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？

分析當(dāng)木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動著的平板A上時(shí)，木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差

異而存在滑動摩擦力，該力將改變它們的運(yùn)動狀態(tài).根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度.換以

平板為參考系來分析，此時(shí)，木塊以初速度-猶（與平板運(yùn)動速率大小相等、方向相反）作勻減速運(yùn)動，其加速度為

相對加速度，按運(yùn)動學(xué)公式即可解得.

該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解.將平板與木塊作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)的動能由平板原有的動

能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動的動能,而它們的共同速度可根據(jù)動量定理求得.又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,

根據(jù)系統(tǒng)的動能定理，摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的增量.木塊相對平板移動的距離即可求出.

……亮B—3

bd1^x1I^RSQ—

f////////////////////////////

F；―—?A

題2-9圖

解1以地面為參考系，在摩擦力耳=”叫的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對木塊、平板列出動力學(xué)方程

F（—pimg=wti|

F{=-Ff=m'a2

a,和色分別是木塊和木板相對地面參考系的加速度.若以木板為參考系，木塊相對平板的加速度a=a,+

，木塊相對平板以初速度作勻減速運(yùn)動直至最終停止.由運(yùn)動學(xué)規(guī)律有

-v'2=2as

由上述各式可得木塊相對于平板所移動的距離為

解2以木塊和平板為系統(tǒng)，它們之間一對摩擦力作的總功為

W=耳（s+/）-F（l=/.imgs

式中/為平板相對地面移動的距離.

由了系統(tǒng)在水平方向上不受外力，當(dāng)木塊放至平板上時(shí)，根據(jù)動量守恒定律，有

m'v'=(m'+m)v"

由系統(tǒng)的動能定理，有

Rings=—m'v'2--+m\v"~

由上述各式可得

m'v'2

2〃g（加'+加）

2-10如圖(a)所示,在一只半徑為R的半球形碗內(nèi)，有一粒質(zhì)量為,”的小鋼球，當(dāng)小球以角速度。在水平面內(nèi)

沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動時(shí)，它距碗底有多高？

題2-10圖

分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動時(shí)，必須使鋼球受到一與向心加速度相對應(yīng)的力(向心力)，而該

力是由碗內(nèi)壁對球的支持力心的分力來提供的，由于支持力網(wǎng)始終垂直于碗內(nèi)壁，所以支持力的大小和方

向是隨。而變的.取圖示。中坐標(biāo)，列出動力學(xué)方程，即可求解鋼球距碗底的高度.

解取鋼球?yàn)楦綦x體，其受力分析如圖(b)所示.在圖示坐標(biāo)中列動力學(xué)方程

2

/\vsin6=man=mRcosm0(1)

FNCGS9=mg(2)

且有cos八d-低--一--〃---)-(3)

R

由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為

h=R-4

(D

可見,6隨s的變化而變化.

2-11在如圖(a)所示的輕滑輪上跨有?輕繩，繩的兩端連接著質(zhì)量分別為1kg和2kg的物體A和B,現(xiàn)以

50N的恒力尸向上提滑輪的軸，不計(jì)滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦，求A和B的加速度各為多少？

題2-11圖

分析在上提物體過程中，由于滑輪可以轉(zhuǎn)動，所以A、B兩物體對地加速度并不相同，故應(yīng)將A、B和滑

輪分別隔離后，運(yùn)用牛頓定律求解，本題中因滑輪質(zhì)量可以不計(jì)，故兩邊繩子張力相等，且有R=2E「.

解隔離后，各物體受力如圖（b）所示，有

滑輪

F-2F1=0

A4一加愁=%〃

B

FJ-mBg=mliaB

聯(lián)立三式，得-2-2

aA=15.2m-s,aR=2.7m-s

討論如由式戶'-（掰人+用1｝）8=（mA+加B）。求解，所得。是A、B兩物體構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心

加速度，并不是A、B兩物體的加速度.上式叫質(zhì)心運(yùn)動定理.

2-12一質(zhì)量為50g的物體掛在一彈簧末端后伸長一段距離后靜止，經(jīng)擾動后物體作上下振動，若以物體

靜平衡位詡為原點(diǎn)，向卜為y軸正向.測得其運(yùn)動規(guī)律按余弦形式即y=0.20cos（5/+萬/2）,式中似s

計(jì)，y以m計(jì)，試求：（1）作用于該物體上的合外力的大小；（2）證明作用在物體上的合外力大小與物體

離開平衡位置的y距離成正比.

分析木題可直接用F=ma=wd2y/d/2求解,y為物體的運(yùn)動方程，尸即為作用于物體上的合外力（實(shí)

為重力與彈簧力之和）的表達(dá)式，本題顯示了物體作簡諧運(yùn)動時(shí)的動力學(xué)特征.

解（1）由分析知

F=ma=d2y/d/2=-0.25cos（5/+4/2）（N）

該式表示作用于物體上的合外力隨時(shí)間，按余弦作用周期性變化，F(xiàn)>0表示合力外力向下，戶<0表示合外力

向上.

（2）F=-0.25cos（5z+7r/2）=-1,25［0.20cos（5z+zr/2）］=-l.25y.

由上式知，合外力尸的大小與物體離開平衡位置距離y的大小成正比.號表示與位移的方向相反.

2-13—質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)在力尸的作用下沿x軸作直線運(yùn)動，已知F=120/+40,式中尸的單位為N,t

的單位的s.在，=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于x=5.0m處，其速度%=6.0m-s".求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位詡.

分析這是在變力作用下的動力學(xué)問題.由于力是時(shí)間的函數(shù)，而加速度。=由/也,這時(shí),動力學(xué)方程就成為速

度對時(shí)間的?階微分方程，解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度。⑺；由速度的定義。=dx/df,用積分的方法可求出

質(zhì)點(diǎn)的位置.

解因加速度。=do/d/,在直線運(yùn)動中，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律有

dv

120/+40=w—

dz

依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件，即砧=0時(shí)斯=6.0nrs”,運(yùn)用分離變量法對上式積分，得

［do=］（12.0/+4.0W

。=6.0+4.0/+6.0-

又因0=dx/d/,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件：b=0時(shí)x0=5.0m,對上式分離變量后積分，有

［；dx=1（6.0+4。+6。2.

X=5.0+60+2.0』+2.0P

2-14輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為1.0x103kg.飛機(jī)以55.0m-s”的速率在水平跑道上著陸后，駕駛員開

始制動，若阻力與時(shí)間成正比，比例系數(shù)a=5.0xlO2N-S/，空氣對飛機(jī)升力不計(jì)，求：（1）10s后飛機(jī)的速率;

（2）匕機(jī)著陸后10s內(nèi)滑行的距離.

分析飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動.其水平方向所受制動力F為變力，且是時(shí)

間的函數(shù).在求速率和距離時(shí)，可根據(jù)動力學(xué)方程和運(yùn)動學(xué)規(guī)律，采用分離變量法求解.

「dv

解以地面匕機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向，由牛頓運(yùn)動定律及初始條件，有F-ma-m-=-at

因此，飛機(jī)著陸10s后的速率為

v=30m-s

a

dx=

1o2m

故飛機(jī)著陸后10s內(nèi)所滑行的距離

a/3Arr

s=x—XQ=v^t-----1=467m

6m

2-15質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動員，從10.0m高臺上由靜止跳下落入水中.高臺距水面距離為幾把跳水運(yùn)動員

視為質(zhì)點(diǎn)，并略去空氣阻力.運(yùn)動員入水后垂直下沉，水對其阻力為加2,其中b為一常量.若以水面上一點(diǎn)為

坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為軸，求：（1）運(yùn)動員在水中的速率。與y的函數(shù)關(guān)系；（2）如b加=0.40m",跳水

運(yùn)動員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率W的1/10?（假定跳水運(yùn)動員在水中的浮力與

所受的重力大小恰好相等）

題2-15圖

分析該題可以分為兩個(gè)過程，入水前是自由落體運(yùn)動,入水后，物體受重力尸、浮力尸和水的阻力F｛的作用,

其合力是一變力，因此，物體作變加速運(yùn)動.雖然物體的受力分析比較簡單，但是，由于變力是速度的函數(shù)（在有

些問題中變力是時(shí)間、位置的函數(shù)），對這類問題列出動力學(xué)方程并不復(fù)雜，但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動的位置

和速度就比較困難了.通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程.這也成了解題過程中的難點(diǎn).在

解方程的過程中，特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定.

解（1）運(yùn)動員入水前可視為自由落體運(yùn)動，故入水時(shí)的速度為

運(yùn)動員入水后，由牛頓定律得

P-Ff-F=ma

7

由題意尸=F、7f=6/,而。=do/df=o(dv/dy),代

入上式后得

-bv2=mv(dv/dy)

考慮到初始條件則=0時(shí)，%=個(gè)2gh，對上式積分，有

代＞7?

by/m

v=vne-=向ie-b”M

(2)將已知條件6/〃7=0.4m”=0.1%代入上式，則得

7=--In—=5.76m

bv0

2-16一質(zhì)量為5的小球最初位于如圖(a)所示的4點(diǎn),然后沿半徑為『的光滑圓軌道XDCB卜.滑.試求小球

到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對圓軌道的作用力.

題2-16圖

分析該題可由牛頓第二定律求解.在取自然坐標(biāo)的情況下，沿圓弧方向的加速度就是切向加速度d,與其相

對應(yīng)的外力G是重力的切向分量mgsina,而與法向加速度a“相對應(yīng)的外力是支持力心和重力的法向分量

mgcosa.由此，可分別列出切向和法向的動力學(xué)方程F'=，"do/d/和尸“=儂/”.由于小球在滑動過程中加速度

不是恒定的，因此，需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡便，可轉(zhuǎn)換積分變量.

該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度，方法比較簡便.但它

不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力.

解小球在運(yùn)動過程中受到重力P和圓軌道對它的支持力入.取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得

廠.do

(1)

Ft--mgsina-

mv2

Fn=FN-mgcosa=mQ)

dsrda.rda

由。=:=—得d/=—，代入式(1),并根據(jù)小球從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)c的始末條件，進(jìn)行積分，有

drdrv

vdv=￡(-rgsin

v=J2喏cos。

則小球在點(diǎn)c的角速度為

co=V=d2gcosa/r

r

由式（2）得F=+mgeosa=3mgcosa

Nr

由此可得小球?qū)A軌道的作用力為

F\--FN=-3ageosa

負(fù)號表示—N與e。反向.

2-17光滑的水平桌面上放置一半徑為尺的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動，其摩擦因數(shù)為〃，開始

時(shí)物體的速率為所，求：（i）t時(shí)刻物體的速率；⑵當(dāng)物體速率從%減少匕）/2時(shí)，物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過

的路程.

分析運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的，因而，可先分析動力學(xué)問題.物體在作圓周運(yùn)動的過

程中,促使其運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對物體的支持力FN和環(huán)與物體之間的摩擦力修，而摩擦力大

小與正壓力/'成正比，且Ev與尸V又是作用力與反作用力，這樣，就可通過它們把切向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系

起來了，從而可用運(yùn)動學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程.

解（1）設(shè)物體質(zhì)量為九取圖中所示的自然坐標(biāo)，按牛頓定律，有

lmv2

FN=ma“=F

K

尸dv

R=-ma,=-----

/dt

由分析中可知，摩擦力的大小凡="尸八由上述各式可得

v2dv

u,——=-----

RAt

取初始條件，=0時(shí)o=。（）,并對上式進(jìn)行積分，有

R+4/

（2）當(dāng)物體的速率從。0減少到％/2時(shí)，由上式可得所需的時(shí)間為

/，J

物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程

vdt=「金一d/

bR+V。⑷

s=-\n2

2-18一物體自地球表面以速率為豎直上拋.假定空氣對物體阻力的值為K=kmtr，其中,"為物體的質(zhì)

量#為常量.試求：（1）該物體能上升的高度；（2）物體返回地面時(shí)速度的值.（設(shè)重力加速度為常量.）

題2-18圖

分析由于空氣對物體的阻力始終與物體運(yùn)動的方向相反，因此，物體在上拋過程中所受重力P和阻力K的

方向相同；而下落過程中，所受重力P和阻力Fr的方向則相反.又因阻力是變力，在解動力學(xué)方程時(shí)，需用積

分的方法.

解分別對物體上拋、下落時(shí)作受力分析,以地面為原點(diǎn)，豎直向上為y軸（如圖所示）.（1）物體在上拋過程

中，根據(jù)牛頓定律有

,2d。vdv

-mg-knw"=m——=m-----

drdy

依據(jù)初始條件對上式積分，有

物體到達(dá)最高處時(shí),0=0,故有

(2)物體下落過程中,有

,2odv

-mg+kmv-tn----

dy

對上式積分，有

出7金

鼠g—ku2

則

2-19質(zhì)量為m的摩托車,在恒定的牽引力尸的作用卜一工作，它所受的阻力與其速率的平方成正比，它能達(dá)到

的最大速率是。m.試計(jì)算從靜止加速到%〃所需的時(shí)間以及所走過的路程.

分析該題依然是運(yùn)用動力學(xué)方程求解變力作用卜?的速度和位置的問題，求解方法與前兩題相似，只是在解

題過程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù)由于阻力居=切2,且居又與恒力尸的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至

與恒力大小相等時(shí)，加速度為零，此時(shí)速度達(dá)到最大.因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來.但在求摩托

車所走路程時(shí)，需對變量作變換.

解設(shè)摩托車沿x軸正方向運(yùn)動，在牽引力尸和阻力居同時(shí)作用卜.，由牛頓定律有

?,do

F-ku2=m—(1)

d/

當(dāng)加速度。=dp/dz=0時(shí)，摩托車的速率最大，因此可得

k=F/u/(2)

由式⑴和式⑵可得

根據(jù)始末條件對式(3)積分，有

則

domvdv

又因式(3)中m—=------，再利用始末條件對式(3)積分，有

d/dx

mvl,,4.,..mvl,

則x=———In—?0.144———

IF3F

2-20在卡車車廂底板上放一木箱，該木箱距車箱前沿?fù)醢宓木嚯x乙=2.0m,已知制動時(shí)卡車的加速度a

=7.0ms-2，設(shè)制動一開始木箱就開始滑動.求該木箱撞上擋板時(shí)相對卜車的速率為多大？設(shè)木箱與底板間

滑動摩擦因數(shù)〃=0.50.

分析如同習(xí)題2-5分析中指出的那樣,可對木箱加上慣性力尸。后，以車廂為參考系進(jìn)行求解，如圖所示，此

時(shí)木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力作用，圖中“為木箱相對車廂的加速度.

解由牛頓第二定律和相關(guān)運(yùn)動學(xué)規(guī)律有

Fo-F(=ma-/.img=ma'(1)

v'2=2a'L(2)

聯(lián)立解(1)(2)兩式并代入題給數(shù)據(jù)，得木箱撞上車廂擋板時(shí)的速度為

v'---寒)￡==2.9m-s-1

第二章牛頓定律

2-1如圖⑶所示，質(zhì)量為根的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運(yùn)動,

當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí)，它的加速度的大小為()

(A)gsin0(B)geos0(C)gtan0(D)gcot0

題2-I圖

分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間僚卜面對物體的支持力消失為零，物體在繩子拉力Fr(其方向仍可認(rèn)為平行

于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgeot。,故選(D).求

解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征.

2-2用水平力&把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止?當(dāng)心逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力

品的大小()

(A)不為零，但保持不變

(B)隨人成正比地增大

(C)開始隨/N增大，達(dá)到某一最大值后，就保持不變

(D)無法確定

分析與解與滑動摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值〃&范圍內(nèi)取值.當(dāng)廣、?增加時(shí)，靜摩擦力可取的

最大值成正比增加，但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動狀態(tài).由題意知，物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩

擦力與重力大小相等，方向相反，并保持不變，故選(A).

2-3一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為"，要使汽車不至于發(fā)生側(cè)

向打滑，汽車在該處的行駛速率()

(A)不得小于J麗(B)必須等于J通

(C)不得大于J麗(D)還應(yīng)由汽車的質(zhì)量”決定

分析與解由題意知，汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動，為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑，所需向心力只能

由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為。

=“Rg.因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值，均能保證不側(cè)向打滑.應(yīng)選(C).

2-4-物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止卜滑，在下滑過程中，則()

(A)它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心，其速率保持不變

(B)它受到的軌道的作用力的大小不斷增加

(C)它受到的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心

(D)它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加

題2-4圖

分析與解由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持

力尸N作用,其合外力方向并非指向圓心，其大小和方向均與物體所在位置有關(guān).重力的切向分量(，〃geos9)使

物體的速率將會不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷)，則物體作圓周運(yùn)動的向心力(乂稱法向力)將不斷增大，由

V2

軌道法向方向上的動力學(xué)方程打v-/wgsin。=m~可判斷，隨6角的不斷增大過程，軌道支持力FN也將

不斷增大,由此可見應(yīng)選(B).

*2-5圖(a)示系統(tǒng)置于以a=1/4g的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B兩物體質(zhì)量相同均為孫A所在的桌面

是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì)，若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦，并不計(jì)空氣阻力，則繩中張力為()

(A)5/8mg(B)1/2mg(C)mg(D)2mg

分析與解本題可考慮對A、B兩物體加上慣性力后，以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解.此時(shí)A、B兩物

體受力情況如圖(b)所示，圖中/為A、B兩物體相對電梯的加速度為慣性力.對A、B兩物體應(yīng)用牛頓第

二定律，可解得尸T=5/8mg.故選(A).

題2-5圖

討論對于習(xí)題2-5這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系（本題為電梯）觀察到的運(yùn)動圖像較為明確,

但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí)，必須對物體加上?個(gè)虛擬的慣性

力.如以地面為慣性參考系求解，則兩物體的加速度OA和均應(yīng)對地而言，本題中心和at）的大小與方向均

不相同.其中4A應(yīng)斜向上.對aA、aB、“和a'之間還要用到相對運(yùn)動規(guī)律，求解過程較繁瑣.有興趣的讀

者不妨自己嘗試一下.

2-6圖示一斜面,傾角為％底邊AB長為/=2.1m,質(zhì)量為m的物體從題2-6圖斜面頂端由靜止開始向下滑

動，斜面的摩擦因數(shù)為M=0.14.試問，當(dāng)a為何值時(shí)，物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？其數(shù)值為多少？

題2-6圖

分析動力學(xué)問題一般分為兩類：（1）己知物體受力求其運(yùn)動情況；（2）已知物體的運(yùn)動情況來分析其所受

的力.當(dāng)然，在一個(gè)具體題目中，這兩類問題并無截然的界限，且都是以加速度作為中介，把動力學(xué)方程和運(yùn)動

學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來.本題關(guān)鍵在列出動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系a=/"）,然后運(yùn)用對，

求極值的方法即可得出數(shù)值來.

解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)0位于斜面頂點(diǎn)，則由牛頓第二定律有wgsina-mgficosa-ma

（l）

又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動，故有

---=—at2=—g(sina-t/cosa)/2

cosa22J

21

則Q)

gcosa(sina-//cosa)

為使下滑的時(shí)間最短，可令h=0,由式(2)有

da

-sin夕(sina-//cosa)+cosa(cosa一//sina)=0

則可得tan2a=---,a=49°

________2/________

此時(shí)min=0.99s

geosa(sina-//cosa)

2-7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空.甲塊質(zhì)量為%=2.00*IO?kg乙塊質(zhì)量

為嗎=1.00xl02kg.設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì).試求下述兩種情況下，鋼絲繩所受的張力以及乙

塊對甲塊的作用力：(1)兩物塊以10.0m-s-2的加速度上升；(2)兩物塊以1.0nr的加速度上升.從本

題的結(jié)果,你能體會到起吊重物時(shí)必須緩慢加速的道理嗎？

分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為?組物體.處理動力學(xué)問題通常采用“隔離體”的方法，分析物體所

受的各種作用力，在所選定的慣性系中列出它們各自的動力學(xué)方程.根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)

目的方程式.結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系，可解決物體的運(yùn)動或相互作用力.

解按題意，可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體，畫示力圖，并取豎直向上為口軸正方向(如圖所示).當(dāng)

框架以加速度a上升時(shí)，有

Ft-(ni\+m2)g=(%+m2)a(1)

FN2-加2g=伙a(2)

解上述方程，得

FT=(m[+m2)(g+a)(3)

FN2=m2(g+a)(4)

(1)當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a=10ms-2上升時(shí)，由式(3)可得繩所受張力的值為

FT=5.94xio'N

乙對甲的作用力為

F'N2=-FN2=~WJ(g4-ci).98x10^N

(2)當(dāng)整個(gè)裝苴以加速度a=lm-s-2上升時(shí)，得繩張力的值為

FT=3.24X103N

此時(shí),乙對甲的作用力則為

3

FN2=-1.08X10N

由上述計(jì)算可見，在起吊相同重量的物體時(shí)，由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同，加速度大，繩中張力

也大.因此，起吊重物時(shí)必須緩慢加速，以確保起吊過程的安全.

2-8如圖（a）所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m=3.0kg物體A以加速度4=1.0ms-2運(yùn)動,求物體B與

桌面間的摩擦力.（滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì)）

分析該題為連接體問題，同樣可用隔離體法求解.分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的，即必

須在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立.同時(shí)也要注意到張力方向是不同的.

解分別對物體和滑輪作受力分析［圖（b）］.由牛頓定律分別對物體A、B及滑輪列動力學(xué)方程，有

掰Ag-FT=mAa（1）

f

FTi-Ff=mQa'（2）

FT-2FTI=0（3）

考慮到7WA=〃7B=m,FT=FJ,FT］=尸","=2a，可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力

F=〃吆一（加+4--=72N

'一2一.

題2-8圖

討論動力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：（1）分析題意,確定研究對象，分析受力，選定坐標(biāo)；（2）根據(jù)物理

的定理和定律列出原始方程組；（3）解方程組，得出文字結(jié)果；（4）核對量綱，再代入數(shù)據(jù)，計(jì)算出結(jié)果來.

2-9質(zhì)量為W的長平板A以速度。，在光滑平面上作直線運(yùn)動，現(xiàn)將質(zhì)量為m的木塊B輕輕平穩(wěn)地放在長平

板上，板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為〃，求木塊在長平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？

分析當(dāng)木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動著的平板A上時(shí)，木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差

異而存在滑動摩擦力，該力將改變它們的運(yùn)動狀態(tài).根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度.換以

平板為參考系來分析，此時(shí)，木塊以初速度（與平板運(yùn)動速率大小相等、方向相反）作勻減速運(yùn)動，其加速度為

相對加速度，按運(yùn)動學(xué)公式即可解得、

該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解.將平板與木塊作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)的動能由平板原有的動

能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動的動能，而它們的共同速度可根據(jù)動量定理求得.又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,

根據(jù)系統(tǒng)的動能定理，摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的增量.木塊相對平板移動的距離即可求出.

—…圖_____

bd1^x1I^RSQ—

f////////////////////////////

題2-9圖

解1以地面為參考系，在摩擦力工=〃〃7g的作用卜,根據(jù)牛頓定律分別對木塊、平板列出動力學(xué)方程

Fc=〃/w