石室中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

成都石室中學(xué)2023-2024學(xué)年度上期高2026屆半期考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.全稱量詞命題“”否定是（）A.， B.，C.， D.，2.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則3.設(shè)函數(shù)，用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中，計(jì)算得，則下列必有方程的根的區(qū)間為（）A. B. C. D.不能確定4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.5.若，，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

6.已知當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量y與死亡年數(shù)x的關(guān)系為．不久前，考古學(xué)家在某遺址中提取了數(shù)百份不同類型的樣品，包括木炭、骨頭、陶器等，得到了一系列的碳14測(cè)年數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)生物組織內(nèi)碳14的含量是死亡前的．則可以推斷，該遺址距離今天大約多少年（參考數(shù)據(jù)，）（）A.2355 B.2455 C.2555 D.26557.已知函數(shù)，是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.設(shè)，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有16個(gè)子集C.集合D.集合10.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列不等式成立的有（）A. B.C. D.11.已知是奇函數(shù)，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.的值域?yàn)?D.的解集為12.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若直線與函數(shù)的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn)，各交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若定義在上的奇函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)增區(qū)間為______．14.若，則______．15.石室中學(xué)“跳蚤市場(chǎng)”活動(dòng)即將開啟，學(xué)生們?cè)谠摶顒?dòng)中的商品所賣款項(xiàng)將用來支持慈善事業(yè)．為了在這次活動(dòng)中最大限度地籌集資金，某班進(jìn)行了前期調(diào)查．若商品進(jìn)貨價(jià)每件10元，當(dāng)售賣價(jià)格（每件x元）在時(shí)，本次活動(dòng)售出的件數(shù)，若想在本次活動(dòng)中籌集的資金最多，則售賣價(jià)格每件應(yīng)定為______元．16.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．那么，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是______．

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計(jì)算；（2）已知，求的值．18.已知全集，集合，或．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

19.在“①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù)．”這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下列的橫線上，并作答問題．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．已知函數(shù)，且______．（1）求的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

20.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的含量變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖"”如圖，該函數(shù)近似模型如下：，又已知酒后1小時(shí)測(cè)得酒精含量值為46.18毫克/百毫升，根據(jù)上述條件，解答以下問題：（1）當(dāng)時(shí)，確定的表達(dá)式；（2）喝1瓶啤酒后多長(zhǎng)時(shí)間后才可以駕車？（時(shí)間以整分鐘計(jì)算）（附參考數(shù)據(jù)：）

21.已知函數(shù)（，且）過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在函數(shù)，的圖象上．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若定義在上的函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

22.若函數(shù)與滿足：對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間D上的“m階伴隨函數(shù)”；對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是區(qū)間D上的“m階自伴函數(shù)”．（1）判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；（2）若函數(shù)區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求b的值；（3）若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

成都石室中學(xué)2023-2024學(xué)年度上期高2026屆半期考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.全稱量詞命題“”否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.【詳解】“”的否定是“，”.故選：A.2.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】舉反例可判斷選項(xiàng)A、B、C，由不等式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，若，則，與矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，若，則，與矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，，滿足，，但，這與矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以由不等式性質(zhì)可得：，即.因?yàn)?，，由不等式性質(zhì)可得：，故選項(xiàng)D正確.故選：D.3.設(shè)函數(shù)，用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中，計(jì)算得，則下列必有方程的根的區(qū)間為（）A. B. C. D.不能確定【答案】C【解析】【分析】利用零點(diǎn)存在性定理及二分法的相關(guān)知識(shí)即可判斷.【詳解】顯然函數(shù)在上是連續(xù)不斷的曲線，由于，所以，由零點(diǎn)存在性定理可得：的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以方程在區(qū)間內(nèi)一定有根.故選：C.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、定義域、正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，所以該函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以該函?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)AC，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)B，故選：D5.若，，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.【詳解】當(dāng)，，且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，充分性成立；，，滿足，且，此時(shí)，必要性不成立.則“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.已知當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量y與死亡年數(shù)x的關(guān)系為．不久前，考古學(xué)家在某遺址中提取了數(shù)百份不同類型的樣品，包括木炭、骨頭、陶器等，得到了一系列的碳14測(cè)年數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)生物組織內(nèi)碳14的含量是死亡前的．則可以推斷，該遺址距離今天大約多少年（參考數(shù)據(jù)，）（）A.2355 B.2455 C.2555 D.2655【答案】B【解析】【分析】設(shè)該遺址距離今天大約年，則，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)該遺址距離今天大約年，則，即，所以，所以，即該遺址距離今天大約年.故選：B.7.已知函數(shù)，是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍是故選：C8.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中間值比較大小得到，，，從而得到答案.【詳解】，故，，，故，，，故故選：B二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有16個(gè)子集C.集合D.集合【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)真子集的性質(zhì)、子集個(gè)數(shù)公式，結(jié)合集合的描述法逐一判斷即可.【詳解】A：根據(jù)真子集的定義可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本選項(xiàng)說法不正確；B：集合中有四個(gè)元素，所以它的子集個(gè)數(shù)為，所以本選項(xiàng)說法正確；C：因?yàn)?，所以與均表示4的倍數(shù)與2的和所組成的集合，所以，因此本選項(xiàng)說法正確；D：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，但，所以兩個(gè)集合不相等，因此本選項(xiàng)說法不正確.故選：BC.10.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列不等式成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A用基本不等式性質(zhì)判斷即可；選項(xiàng)B用基本不等式的推論即可；選項(xiàng)C將帶入，再用基本不等式判斷；D利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】對(duì)A：因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確；對(duì)B：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B正確；對(duì)C：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D：由B選項(xiàng)可知，令，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以D正確；故選：ABD11.已知是奇函數(shù)，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.的值域?yàn)?D.的解集為【答案】AC【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義可判定A項(xiàng)，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定B項(xiàng)，進(jìn)而可求值域判定C項(xiàng)，可結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式判定D項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，易知，則有，解之得，故A正確；則，易知當(dāng)且有單調(diào)遞增，故此時(shí)單調(diào)遞減，又由奇函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)也是單調(diào)遞減，故在和上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；由上可知時(shí)，，即此時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋蔆正確；由上可知，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若直線與函數(shù)的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn)，各交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】先利用函數(shù)的對(duì)稱性和解析式作出函數(shù)圖象，分別求出直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的值域依次檢驗(yàn)選項(xiàng)即得.【詳解】如圖，依題意可得，作出函數(shù)在上的圖象，設(shè)直線與的圖象分別交于四點(diǎn)，顯然有，由知函數(shù)在區(qū)間上關(guān)于直線對(duì)稱，故可得：.對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，，化簡(jiǎn)得，由基本不等式得：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由可知其對(duì)稱軸為直線，故又因，故在區(qū)間上為增函數(shù)，則有，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，，化簡(jiǎn)得，故有，即C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，依題意，且，故，又因函數(shù)在區(qū)間上關(guān)于直線對(duì)稱，故又由B項(xiàng)分析知于是故得：，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍界定，關(guān)鍵在于充分利用絕對(duì)值函數(shù)與對(duì)稱函數(shù)的圖象特征進(jìn)行作圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行結(jié)論檢驗(yàn).三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若定義在上的奇函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)增區(qū)間為______．【答案】和【解析】【分析】直接根據(jù)圖象結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)得到答案.【詳解】根據(jù)圖象，時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上也單調(diào)遞增.故答案為：和.14.若，則______．【答案】【解析】【分析】直接計(jì)算得到答案.【詳解】，則.故答案為：.15.石室中學(xué)“跳蚤市場(chǎng)”活動(dòng)即將開啟，學(xué)生們?cè)谠摶顒?dòng)中的商品所賣款項(xiàng)將用來支持慈善事業(yè)．為了在這次活動(dòng)中最大限度地籌集資金，某班進(jìn)行了前期調(diào)查．若商品進(jìn)貨價(jià)每件10元，當(dāng)售賣價(jià)格（每件x元）在時(shí)，本次活動(dòng)售出的件數(shù)，若想在本次活動(dòng)中籌集的資金最多，則售賣價(jià)格每件應(yīng)定為______元．【答案】15【解析】【分析】結(jié)合已知條件，求出利潤(rùn)的解析式，然后結(jié)合換元法和基本不等式即可求解.【詳解】由題意可知，利潤(rùn)，，不妨令，則利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，不等式取等號(hào)，故銷售價(jià)格每件應(yīng)定為15元.故答案為：15.16.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．那么，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是______．【答案】【解析】【分析】計(jì)算出，得到，求出，得到對(duì)稱中心.【詳解】，要想函數(shù)為奇函數(shù)，只需恒成立，即，解得，故圖象的對(duì)稱中心為故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計(jì)算；（2）已知，求的值．【答案】（1）0（2）52【解析】【分析】（1）結(jié)合指數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，換底公式即可求解；（2）考察兩式間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合立方和公式即可求解.【詳解】（1）；（2）由，則，則，則.18.已知全集，集合，或．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解出分式不等式，求出集合，再利用交集和補(bǔ)集的含義即可得到答案；（2）分和討論即可小問1詳解】，或，.【小問2詳解】，且，①，，此時(shí)滿足，②，，此時(shí)，則，此時(shí)滿足，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.在“①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù)．”這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下列的橫線上，并作答問題．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．已知函數(shù)，且______．（1）求的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．【答案】（1）選擇①時(shí)，；選擇②時(shí)，（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義求解參數(shù)，即可得的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可得結(jié)論.【小問1詳解】選擇①：函數(shù)的定義域滿足，解得，故定義域?yàn)?，若函?shù)是偶函數(shù)，所以，則，則所以；選擇②：函數(shù)的定義域滿足，解得，故定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，所以，則，則所以；【小問2詳解】選擇①：函數(shù)在上單調(diào)遞減．證明：,，且，有，有，由，得，，所以，于是，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．選擇②：函數(shù)在上單調(diào)遞增．證明：,，且，則由，得，，，所以，即，于是，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．20.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的含量變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖"”如圖，該函數(shù)近似模型如下：，又已知酒后1小時(shí)測(cè)得酒精含量值為46.18毫克/百毫升，根據(jù)上述條件，解答以下問題：（1）當(dāng)時(shí)，確定的表達(dá)式；（2）喝1瓶啤酒后多長(zhǎng)時(shí)間后才可以駕車？（時(shí)間以整分鐘計(jì)算）（附參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）314分鐘后【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件，建立方程，解出即可；（2）根據(jù)題意建立不等式，解出即可.【小問1詳解】根據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以當(dāng)，.【小問2詳解】由題意知，當(dāng)車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量小于百毫升時(shí)可以駕車，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由，得，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，，所以，又小時(shí)313.5分鐘，故喝1瓶啤酒314分鐘后才可以駕車.21.已知函數(shù)（，且）過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在函數(shù)，的圖象上．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若定義在上的函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把定點(diǎn)A代入函數(shù)的解析式求出的值即可；（2）問題等價(jià)于在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；【小問1詳解】函數(shù)（，且）過定點(diǎn)，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，解得，函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】函數(shù)定義在上，在上恒成立，可得，令，得，設(shè)，函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸，若，無解，不成立；若，解得，滿足題意；若，無解，不成立；若，解得，滿足題意.所以實(shí)數(shù)