小學六年級奧數(shù)典型題測試卷（十四）含答案與解析

精編小學六年級奧數(shù)典型題測試卷（十四）

等積變形

（考試時間：100分鐘試卷滿分：100分）

班級姓名學號分數(shù)

一.選擇題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

1.（2021?迎春杯）如圖，大正六邊形內(nèi)部有7個完全一樣的小正六邊形，已知陰影部分的面積是180平方

2.（2021?迎春杯）如圖，大正方形的邊長為14,小正方形的邊長為10,陰影部分的面積之和是（）

3.（2020?創(chuàng)新杯）圖中，將兩個正方形放在一起，大、小正方形的邊長分別為10,6,則圖中陰影部分面

4.一個梯形的上底增加2厘米，下底減少2厘米，高不變，它的面積與原面積相比（）

A.變大了

B.變小了

C.不變

D.高不知道，所以無法比較

5.已知圖中正方形的兩個頂點正好是兩個等腰直角三角形斜邊上的中點，小等腰直角三角形與正方形中的

圓面積相等，請問正方形中的陰影面積與大等腰直角三角形面積的比值是（）

C.1Di

二.填空題（共10小題，滿分28分）

6.（2分）（2021?學而思杯）如圖，已知梯形中，CD=10,梯形ABC。的高是4,那么陰影部分的

7.（2分）（2020?小機靈杯）如圖所示，正方形A8C。的對角線長20厘米，8DFE是長方形.那么,

五邊形ABEFD的面積是平方厘米.

A

8.（2021?中環(huán)杯）如圖，在一塊長為10米，寬為5米的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路，小路任何

地方的水平寬度都是1米.則空白部分的草地的面積是平方米.

9.（2020?小機靈杯）直角三角形的兩條直角邊分別是3與9,以三角形的每條邊長作為正方形的邊長，分

別可以畫出三個正方形（如圖），這個多邊形的面積是.

10.（2020?走美杯）如圖所示，已知大圓的半徑為2,則陰影部分的面積為（圓周率用兀表示）.

11.（2020?學而思杯）如圖中三個正方形的邊長從左到右依次減半，小正方形的邊長為3,那么圖中陰影部

12.（2021?育苗杯）一個長方形被兩條直線分成四個小長方形（如圖），其中三個小長方形的面積分別是45、

15、30平方厘米.陰影部分的面積是平方厘米.

4515

30

13.（2020?小機靈杯）長方形ABC。被CE、。廠分成四塊，已知其中3塊的面積分別是5、16、20平方厘

米，那么四邊形ADOE的面積是平方厘米.

14.（2021?走美杯）兩個正方形邊長分別是10厘米和8厘米，陰影部分面積平方厘米.

15.（2020?陳省身杯）如圖，正方形ABC。的邊長是4c加，長方形OEFG中OG的長是5cvn,長方形的寬

DE為_______

三.解答題（共12小題，滿分57分）

16.（4分）（2021?華羅庚金杯模擬）某?？萍夹〗M有一塊長方形試驗田，已知這塊試驗田的面積是7.79平

方米，并且長比寬多2.2米，這個長方形的周長是米.

17.（4分）（1986?華羅庚金杯）這是七巧板拼成的正方形，正方形邊長20厘米，問七巧板中平行四邊形的

一塊（如圖中陰影部分）的面積是多少？

20厘米

18.（4分）求如下圖形的周長.（單位：c??）

23

.（5分）（2021?華羅庚金杯）如圖，在正方形ABCD中，正方形4Mop的面積是8平方厘米，正方形CNOQ

的面積是24.5平方厘米.問：正方形48CD的面積是多少平方厘米？

AMB

20.（5分）把一塊棱長12分米的正方體鋼坯，熔鑄成截面是9平方分米的長方體鋼材，鑄成的鋼材長度是

多少？

21.（5分）如圖是由邊長分別為10厘米、12厘米、8厘米的正方形構(gòu)成，有一條與A8邊平行的直線EF

將此圖形分成面積相等的兩部分，那么的長度為多少厘米？

22.（5分）如圖，梯形ABC力的面積是36,下底長是上底長的2倍，陰影三角形的面積是多少？

23.（5分）如圖中的兩個正方形的邊長分別為6分米和8分米，求陰影部分的面積.

24.（5分）（2020?中環(huán)杯）5個相同的長方形放在一個正方形內(nèi)，所有長方形的邊都平行于正方形的對應(yīng)

邊，正方形的邊長為24厘米，求：單個長方形的面積.

25.（5分）（2021?華羅庚金杯）如圖，大正方形的周長比小正方形的周長多80厘米，陰影部分的面積為

880平方厘米，那么，大正方形的面積是多少平方厘米？

26.（5分）（2020?中環(huán)杯）已知△ABC面積為5,且BO=2OC,AE=ED,求陰影部分面積.要求寫出關(guān)

鍵的解題推理過程.

27.（5分）（2020?其他模擬）四邊形A8CD中，M為A6的中點，N為CD的中點，如果四邊形A3CD的

面積是80平方厘米，求陰影部分面積是多少？

參考答案

一.選擇題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

1.（2021?迎春杯）如圖，大正六邊形內(nèi)部有7個完全一樣的小正六邊形，已知陰影部分的面積是180平方

【分析】按題意，顯然可以將圖進行分割，分割后陰影部分有六個面積相等的小正六邊形，而空白部分

是3個面積相等的小正六邊形，利用面積之比不難求得大正六邊形的面積.

【解答】解：如圖所示，將圖分割成面積相等的小正三角形，

顯然，圖中的空白部分的面積和等于3個小正六邊形.

而陰影部分由6個小正六邊形組成，

所以，大正六邊形是由9個小正六邊形組成的.

一個小正六邊形的面積為：180+6=30（平方厘米），

大正六邊形的面積為：30X9=270（平方厘米），

故選：B.

2.（2021?迎春杯）如圖，大正方形的邊長為14,小正方形的邊長為10,陰影部分的面積之和是（）

【分析】按題意，將圖①逆時針旋轉(zhuǎn)90。，陰影部分可拼成一等腰直角三角形，不難求得陰影部分的面

積.

【解答】解：根據(jù)分析，如下圖所示，圖①逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

陰影部分可拼成一等腰直角三角形，14-4=49

3.（2020?創(chuàng)新杯）圖中，將兩個正方形放在一起，大、小正方形的邊長分別為10,6,則圖中陰影部分面

【分析】由圖意可知：陰影部分的面積就等于兩個正方形的面積和減去兩個空白三角形的面積，利用正

方形和三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：10X10+6X6-6X（10+6）+2-10X10+2

=100+36-48-50

=38

答：陰影部分的面積是38.

故選：C。

4.一個梯形的上底增加2厘米，下底減少2厘米，高不變，它的面積與原面積相比（)

A.變大了

B.變小了

C.不變

D.高不知道，所以無法比較

【分析】梯形的面積=（上底+下底）X高+2,若“上底增加2厘米，下底減少2厘米，高不變”則（上

底+下底）的和不變，旦高不變，從而得知梯形的面積也不變.

【解答】解：因為梯形的面積=（上底+下底）X高+2,

若“上底增加2厘米，下底減少2厘米，高不變”則（上底+下底）的和不變，且高不變，

所以梯形的面積不變.

故選：C.

5.已知圖中正方形的兩個頂點正好是兩個等腰直角三角形斜邊上的中點，小等腰直角三角形與正方形中的

圓面積相等，請問正方形中的陰影面積與大等腰直角三角形面積的比值是（）

A.AB.AC.1D.3

322

【分析】設(shè)小等腰三角形的邊長是“，大等腰三角形的邊長為從根據(jù)勾股定理可分別求出小等腰三角形

和大等腰三角形的斜邊是多少，然后分別求出大三角形和小三角形的面積和是多少，及正方形的面積是

多少，再進行比較.

【解答】解：設(shè)小等腰三角形的邊長是“，大等腰三角形的邊長為〃，

則小三角形的斜邊是小，大三角形的斜邊為揚

則正方形的面積是（返2+（返2）2=上_+史=/也;

22222

2,22.,2

小等腰三角形與大等腰三角形的面積和：+b

222

又因小等腰直角三角形與正方形中的圓面積相等，所以正方形中的陰影面積與大等腰直角三角形面積相

等.

所以它們的比值是1.

故選：C.

二.填空題（共10小題，滿分28分）

6.（2分）（2021?學而思杯）如圖，已知梯形ABC力中，CD=10,梯形ABC。的高是4,那么陰影部分的

【分析】如下圖：連接AC,AAEC和△BEC如果都以EC為底，那么它們屬于同底等高的兩個三角形，

故，它們的面積相同；這樣整個陰影部分的面積就等于△AOC的面積.

【解答】解：如上圖所示：連接AC,ZkAEC和△BEC如果都以EC為底，那么它們屬于同底等高的兩個

三角形，故，它們的面積相同；

這樣整個陰影部分的面積就等于△4OC的面積，而△AOC的高等于梯形的高；

即：陰影部分面積=Z\AOC的面積=OCX高+2=10X4+2=20.

7.（2分）（2020?小機靈杯）如圖所示，正方形ABCD的對角線8。長20厘米，BDFE是長方形.那么,

五邊形ABEFD的面積是300平方厘米.

A

ECF

【分析】如圖所示，連接AC,與8。交于。，則圖中的6個宜角三角形的面積相等，即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，連接AC,與BD交于O,則圖中的6個直角三角形的面積相等，所以五邊形

ABEFD的面積=6個△ABO的面積=6X/xIQXIQ=300平方厘米，

故答案為300.

8.（2021?中環(huán)杯）如圖，在一塊長為10米，寬為5米的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路，小路任何

地方的水平寬度都是1米.則空白部分的草地的面積是上一平方米.

【分析】根據(jù)圖形的特點，可以把小路的面積看作是一個底是1米，高是5米的平行四邊形，根據(jù)平行

四邊形的面積=底又高，長方形的面積=長><寬，用長方形的面積減去小路的面積即可.

【解答】解：10X5-1X5

=50-5

=45（平方米），

答：草地的面積是45平方米.

故答案為：45.

9.（2020?小機靈杯）直角三角形的兩條直角邊分別是3與9,以三角形的每條邊長作為正方形的邊長，分

別可以畫出三個正方形（如圖），這個多邊形的面積是193.5.

【分析】直角三角形的兩條直角邊分別是3與9,由勾股定理可得斜邊的平方為9+81,求出兩個小正方

形的面積與直角三角形的面積，即可得出結(jié)論.

【解答】解：直角三角形的兩條直角邊分別是3與9,由勾股定理可得斜邊的平方為9+81,為大正方形

的面積，

所以總面積為9+81+(9+81)+3X9+2=193.5,

故答案為193.5.

10.(2020?走美杯)如圖所示，已知大圓的半徑為2,則陰影部分的面積為4兀-8(圓周率用兀表示).

把中間四個“樹葉”形的陰影部分，每個都平均分成兩份，然后補到正方形的外面，那么陰影部分的總

面積=圓的面積-正方形的面積，據(jù)此根據(jù)圓和正方形的面積公式(對角線的長度X對角線的長度+2)

解答即可.

【解答】解：KX22-(2X2)X(2X2)4-2

=4兀-8

答：陰影部分的面積為4兀-8.

故答案為：4兀-8.

11.（2020?學而思杯）如圖中三個正方形的邊長從左到右依次減半，小正方形的邊長為3,那么圖中陰影部

連接48、BD,則A8〃CC,所以圖中陰影部分4。的面積就等于三角形的面積，三角形B8的

底是3X2+3,高是3,然后根據(jù)三角形的面積公式解答即可.

【解答】解：根據(jù)分析可得，

（3X2+3）X34-2

=9X34-2

=13.5

答：圖中陰影部分的面積是13.5.

故答案為：13.5.

12.（2021?育苗杯）一個長方形被兩條直線分成四個小長方形（如圖），其中三個小長方形的面積分別是45、

15、30平方厘米.陰影部分的面積是90平方厘米.

【分析】由長方形的面積=長乂寬，可知等寬的兩個長方形面積的比等于長的比，根據(jù)這個等量關(guān)系列

出方程.

【解答】解：根據(jù)長方形的性質(zhì)，得45和15所在的長方形的長的比是3：1.

設(shè)要求的第四塊的面積是x平方厘米，

則x：30=3：1,

解得：x=90.

故陰影部分的面積是90平方厘米.

故答案為：90.

13.（2020?小機靈杯）長方形ABCQ被CE、。廠分成四塊，已知其中3塊的面積分別是5、16、20平方厘

米，那么四邊形ADOE的面積是19平方厘米.

【分析】連EO,則由題意，EF=LDC,FO^lDO,SAEOO=2SAEOF=10,，SAQ，=&W"8=5+10

224

=15,可得SK江"8=60,即可求出四邊形AOOE的面積.

【解答】解：連E。，則

由題意，EF=lj)C,FO=1-DO

22

S.EDO-2S,-.EOF—10,SAE?F—is1-^iKABCD—5+10=15.

4

SK力彩A8c0=60，

...四邊形4。?！甑拿娣e是60-5-20-16=19,

故答案為19.

14.（2021?走美杯）兩個正方形邊長分別是10厘米和8厘米，陰影部分面積42平方厘米.

【分析】連接AC,CE,GF,陰影部分=兩個正方形面積的一半-AAGC-4EGC=正方形的一半-△

ACF；再根據(jù)正方形、三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積.

【解答】解：連接AC,CE,GF,

陰影部分=兩個正方形面積的一半-AAGC-/XEGCn正方形的一半-XkCF

陰影部分面積：

10X104-2+8X84-2-8X104-2

=50+32-40

=42（平方厘米）

答：陰影部分面積是42平方厘米.

故答案為：42.

15.（2020?陳省身杯）如圖，正方形4BCD的邊長是4c他，長方形OEFG中。G的長是5c7”，長方形的寬

DE為3.2厘米.

【分析】連接AG,則可以依據(jù)題目條件求出三角形AGD的面積，因為DG已知，進而可以求三角形AGZ）

的高，也就是長方形的寬，問題得解.

【解答】解：如圖連接AG

=JLX4X4

2

=8（平方厘米）；

8X24-5

=164-5

=3.2（厘米）；

答:長方形的寬QE為3.2厘米.

故答案為：3.2厘米.

三.解答題（共12小題，滿分57分）

16.（4分）（2021?華羅庚金杯模擬）某校科技小組有一塊長方形試驗田，已知這塊試驗田的面積是7.79平

方米，并且長比寬多2.2米，這個長方形的周長是12米.

【分析】（1）解法一、利用平方差公式分解質(zhì)因數(shù).先將長、寬各擴大10倍，則面積擴大100倍，面積

為779,長、寬差為22,這樣分數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù).

（2）解法二、利用“弦圖”知識解答.將四個同樣的試驗田拼成一個大正方形，中間小正方形邊長是

2.2米，面積為2.2X2.2=4.84（平方米）.大正方形面積為：7.79X4+4.84=36（平方米）.大正方形邊長

為6米.大正方形邊長等于試驗田的長+寬，所以試驗田的周長為6X2=12（米）.

（3）解法三、利用“割補”巧解.根據(jù)“長比寬多2.2米”的條件，把多出的部分平均分成兩個長方形,

把其中的一格長方形移補，再加上一個邊長為1.1米的小正方形，這就構(gòu)成一個大正方形.大正方形的

面積為7.79+1.門=9（平方米），所以原長方形的寬+1.1=3米，寬=1.9米，長為1.9+2.2=41米，原長

方形周長為（1.9+4.I）X2=12米.

【解答】解：解法一、利用平方差公式分解質(zhì)因數(shù).

先將長、寬各擴大10倍，則面積擴大100倍，面積為779,長、寬差為22,這樣分數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù).

779=900-121=302-112=（30+11）X（30-11）=41X29

原來長應(yīng)為4.1,寬應(yīng)為2.9,周長為（4.1+2.9）X2=12（米）.

如圖，將四個同樣的試驗田拼成一個大

正方形，中間小正方形邊長是2.2米，面積為

2.2X2.2=4.84（平方米）.大正方形面積為：

7.79X4+4.84=36（平方米）.大正方形邊長為

6米.

大正方形邊長等于試驗田的長+寬，所以

試驗田的周長為6X2=12（米）.

根據(jù)“長比寬多2.2米”的條件，把多出的部分平均分成兩個長方形，把其中的一格長方形移補，再加

上一個邊長為14米的小正方形，這就構(gòu)成一個大正方形（如右上圖）.大正方形的面積為7.79+1.正=9

（平方米），所以原長方形的寬+1.1=3米，寬=1.9米，長為1.9+22=4.1米，原長方形周長為（1.9+4.1）

X2=12米.

故答案為：12.

17.（4分）（1986?華羅庚金杯）這是七巧板拼成的正方形，正方形邊長20厘米，問七巧板中平行四邊形的

一塊（如圖中陰影部分）的面積是多少？

【分析】在七巧板中最小的三角形的面積占整個正方形面積的」j小正方形和平行四邊形（陰影部分）

16

的面積都占整個正方形面積的工，根據(jù)正方形的面積公式：S=.2,把數(shù)據(jù)代入公式求出整個正方形的面

8

積，再根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義，用乘法解答即可.

【解答】解：20x20X—

8

=400x4

O

=50（平方厘米）;

答：陰影部分的面積為50平方厘米.

18.（4分）求如下圖形的周長.（單位：

_________10

5|312

23

【分析】觀察圖形、根據(jù)線段的平移可知，這個圖形的周長等于長23厘米、寬12厘米的長方形的周長

與兩條2厘米、5厘米長的線段之和，據(jù)此計算即可解答問題.

【解答】解：(23+12)X2+5X2+3X2

=70+10+6

=86Cem)

答:圖形的周長是86.“.

19.（5分）（2021?華羅庚金杯）如圖，在正方形A8CD中，正方形AMOP的面積是8平方厘米，正方形

CNOQ的面積是24.5平方厘米.問：正方形ABC。的面積是多少平方厘米?

WAMB

【分析】根據(jù)正方形AMOP的面積是8平方厘米，正方形CNOQ的面積是24.5平方厘米，分別求出對

角線AO,OC的長，可得正方形ABC。的對角線，即可求出正方形4BCD的面積.

【解答】解：在正方形A8C。中，正方形AMOP的面積是8平方厘米，所以對角線AO=4c〃?,

正方形CNOQ的面積是24.5平方厘米，所以對角線OC=】cm,

因此正方形ABC。的對角線等于4+7=1km

所以正方形ABCD的面積是工x112=60.5平方厘米.

2

答：正方形ABCQ的面積是60.5平方厘米.

20.（5分）把一塊棱長12分米的正方體鋼坯，熔鑄成截面是9平方分米的長方體鋼材，鑄成的鋼材長度是

多少？

【分析】鋼材從正方體變成長方體，體積保持不變.正方體的體積是12X12X12立方分米，那么長方體

的體積也是1728立方分米.又知道長方體的截面積，則可求出長度.

【解答】解：12X12X12+9=192（分米）

答；鑄成的鋼材長度是192分米.

21.(5分)如圖是由邊長分別為10厘米、12厘米、8厘米的正方形構(gòu)成，有一條與A8邊平行的直線EF

將此圖形分成面積相等的兩部分，那么BF的長度為多少厘米？

【分析】可設(shè)8尸的長度為x厘米，則可表示出直線EF上面的三個長方形的長與寬，從右到左分別是：

長8厘米，寬x厘米；長12厘米，寬x厘米；長10厘米，寬為[10-(12-A-)]=(x-2)厘米；利用

長方形的面積=長義寬，即可表示出原圖形在直線EF上面部分的面積，依據(jù)直線EF將此圖形分成面積

相等的兩部分，可知，直線EF上面部分的面積等于原圖形總面積的一半，據(jù)此可列出方程，依據(jù)等式

的性質(zhì)解方程即可得解.

【解答】解：設(shè)8F的長度為x厘米，由題意可得：

直線"'上面的三個長方形的長與寬，從右到左分別是：長8厘米，寬x厘米；長12厘米，寬x厘米；

長10厘米，寬為[10-(12-x)]=(%-2)厘米；

8x+12x+10X(x-2)=(8X8+12X12+10X10)+2

30x-20=154

30x-20+20=154+20

30x=174

x=5.8；

答：BF的長度為5.8厘米.

22.(5分)如圖，梯形4BCD的面積是36,下底長是上底長的2倍，陰影三角形的面積是多少？

【分析】因為底邊的比是2：1,所以A。：CO=2；1.故三角形A3。的面積是三角形8co的面積是2

倍.即三角形AOO的面積是三角形A8C的2.

3

在梯形中，三角形4BC與三角形AOC等高，其面積的比等于底邊的比.所以三角形4BC的面積是三角

形ADC面積的2倍.故三角形ABC的面積是梯形ABCD面積的2.

3

故求出三角形ABC的面積是36x2,進而求三角形ABO的面積.

3

【解答】解：DC//AB,

所以AO：CO=AB：CD=2：1,

所以SAABO：S^BCO=2：1

即S^ABO——S&ABC?

3

S^ABC*S^ADC=AB：CD=2：1

所以S^ABC——S梯形ASCD=2>X36=24.

33

故SM8O=2X24=16

3

答：陰影部分的面積是16.

23.（5分）如圖中的兩個正方形的邊長分別為6分米和8分米，求陰影部分的面積.

【分析】由BH〃EF,所以A8：AE=BH：EF,即6：（6+8）=BH：8,求出8〃=空（分米）.根據(jù)三

7

角形的面積公式，求出陰影的面積即可.

【解答】解：因為所以A8：AE=BH：EF,即6：（6+8）=BH：8.

14BH=6X8

8H=48+14=絲（分米）.

7

陰影部分的面積是：

6X^+2

7

=10.2（平方分米）

7

答：陰影部分的面積是io2平方分米.

7

24.（5分）（2020?中環(huán)杯）5個相同的長方形放在一個正方形內(nèi)，所有長方形的邊都平行于正方形的對應(yīng)

邊，正方形的邊長為24厘米，求：單個長方形的面積.

【分析】由圖形可知，3個長方形的長為正方形的邊長24厘米，故長方形的長為8厘米，又長方形的2

個長與2個寬的和為正方形的邊長24厘米，故長方形的寬為4厘米，即可求出單個長方形的面積.

【解答】解：由圖形可知，3個長方形的長為正方形的邊長24厘米，故長方形的長為8厘米，

又長方形的2個長與2個寬的和為正方形的邊長24厘米，故長方形的寬為4厘米，

所以單個長方形的面積為8X4=32平方厘米.

25.（5