2022年江蘇省中考數(shù)學(xué)模擬題（二模）按題型分層分類匯編-08解答題（較難題）

2022年江蘇省中考數(shù)學(xué)模擬題（二模）精選按題型分層分類匯

編-08解答題（較難題）

一.分式方程的應(yīng)用（共1小題）

I.（2021?廣陵區(qū)二模）某學(xué)校準備組織部分學(xué)生到少年宮參加活動，陳老師從少年宮帶回

來兩條信息：

信息一：按原來報名參加的人數(shù)，共需要交費用320元，如果參加的人數(shù)能夠增加到原

來人數(shù)的2倍，就可以享受優(yōu)惠，此時只需交費用480元；

信息二：如果能享受優(yōu)惠，那么參加活動的每位同學(xué)平均分攤的費用比原來少4元.

根據(jù)以上信息，現(xiàn)在報名參加的學(xué)生有多少人？

二.反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

2.（2022?儀征市二模）某電子科技公司研發(fā)出一套學(xué)習(xí)軟件，并對這套學(xué)習(xí)軟件在24周的

銷售時間內(nèi)，做出了下面的預(yù)測：設(shè)第x周該軟件的周銷售量為T（單位：千套），當(dāng)0

<xW8時，T與x+4成反比；當(dāng)8<xW24時，T-2與x成正比，并預(yù)測得到了如表中對

應(yīng)的數(shù)據(jù).設(shè)第x周銷售該軟件每千套的利潤為K（單位：千元），K與x滿足如圖中的

函數(shù)關(guān)系圖象：

力周824

77千套1026

（1）求T與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）觀察圖象，當(dāng)12WxW24時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為.

（3）設(shè)第x周銷售該學(xué)習(xí)軟件所獲的周利潤總額為y（單位：千元），則：

①在這24周的銷售時間內(nèi)，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不

變的值；若不存在，請說明理由.

②該公司銷售部門通過大數(shù)據(jù)模擬分析后認為，最有利于該學(xué)習(xí)軟件提供售后服務(wù)和銷

售的周利潤總額的范圍是286WyW504,求在此范圍內(nèi)對應(yīng)的周銷售量7的最小值和最大

值.

3.(2022?姜堰區(qū)二模)［定義］平面直角坐標系內(nèi)的矩形若滿足以下兩個條件：①各邊平行

于坐標軸；②有兩個頂點在同一反比例函數(shù)圖象上，我們把這個矩形稱為該反比例函數(shù)

的“伴隨矩形”.

例如，圖1中，矩形ABCO的邊AO〃2C〃x軸，4B〃C￡>〃y軸，且頂點A、C在反比例

函數(shù)y=K*W0)的圖象上，則矩形ABC。是反比例函數(shù))的''伴隨矩形

XX

［解決問題］

(1)已知，矩形48co中，點A、C的坐標分別為：①4(-3,8),C(6,-4)；②4

(1,2),C(2,3)；③A(3,4),C(2,6),其中可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”

的是;(填序號)

(2)如圖1,已知點B(2,3)是反比例函數(shù)丫=旦的“伴隨矩形"A8CD的頂點，求

2x

直線的函數(shù)解析式；

(3)若反比例函數(shù)的“伴隨矩形"ABCD如圖2所示，試說明有一條對角線所在的直線

一定經(jīng)過原點.

4.(2022?灌南縣二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，過點A(0,4)作y軸垂線交反

比例函數(shù)y=K(%>0)圖象于點艮在48延長線上取點C,連接0C,交反比例函數(shù)y

X

=K(x>0)圖象于點￡),連接02,S^ABO—6.

x

(1)求火的值；

(2)在x軸正半軸上取點E,當(dāng)。。平分/B0E時，求點。的坐標.

5.(2022?豐縣二模)如圖①，拋物線y=-工？+2]+〃SW0)與x軸交于A、B兩點(點A

2

在點B的右側(cè))，與y軸交于點C,連接AC、BC,tanZCBO=3.

(1)求匕的值;

(2)如圖②，點P是直線AC上方拋物線上的一個動點，過點P作BC的平行線I,交

線段AC于點D.拋物線的對稱軸與直線/交于點與直線AC交于點M當(dāng)點。在對

稱軸的右側(cè)，且&DMN=S^AOC時，請求出點。的坐標.

五.二次函數(shù)綜合題(共11小題)

6.(2022?宜興市二模)如圖，拋物線ynaf+bx+cQ為常數(shù)，且a<0)與x軸相交于A(-

1,0),B(3,0)兩點，與y軸相交于點C,頂點為Q,直線3。與)，軸相交于點E.

(1)求證OC=2OE；

2

(2)M為線段08上一點，N為線段8E上一點，當(dāng)時，求的周長的最

2

小值；

(3)若。為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，小林猜想：當(dāng)點Q與點D重合時，四邊形ABQC

的面積取得最大值.請判斷小林猜想是否正確，并說理由.

7.(2022?姜堰區(qū)二模)設(shè)一次函數(shù)yi=2x+m+〃和二次函數(shù)>2=x(2x+m)+n.

(1)求證：力，”的圖象必有交點；

(2)若〃?>0,yi，)2的圖象交于點4(xi,a)、B(必b),其中xi〈X2，設(shè)C(孫b)

為”圖象上一點，且X3—X2，求X3-X1的值；

(3)在(2)的條件下，如果存在點。(xi+2,c)在”的圖象上，且a>c,求相的取

值范圍.

8.(2022?武進區(qū)二模)如圖，頂點坐標為(3,4)的拋物線產(chǎn)aAfoc+c交x軸于A,B兩

點，交y軸于點C(0,-5).

(1)求小b的值；

(2)已知點M在射線CB上，直線AM與拋物線y=o?+6x+c的另一公共點是點R

①拋物線上是否存在點P,滿足AM：MP=2：1,如果存在，求出點P的橫坐標；如果

不存在，請說明理由；

②連接AC,當(dāng)直線AM與直線8c的夾角等于/ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐

標.

與x軸交于點A(3,0),8(點3在點A左側(cè))，與y軸交于點C,點。與點C關(guān)于x

軸對稱，作直線AD

(1)填空：b=；

(2)將△AOC平移到△EFG(點E,F,G依次與A,O,C對應(yīng))，若點E落在拋物線

上且點G落在直線AO上，求點E的坐標；

(3)設(shè)點P是第四象限拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為H,交AC于點T.若

NCPT+ND4c=180°,求與△CPT的面積之比.

備用圖

10.(2022?灌南縣二模)如圖，拋物線經(jīng)過點4(1,0),B(3,0)兩點，與

y軸交于點C,其頂點為M,連接MA,MC,AC,過點C作y軸的垂線/.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)直線/上是否存在點N,使得SAMBN=2SAAMC?若存在，求出點N的坐標；若不存

在，請說明理由.

(3)如圖2,若將原拋物線繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°,求新拋物線與y軸交點P坐標.

11.(2022?惠山區(qū)校級二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=/+6x+c與y軸

交于點C,與x軸交于A、B兩點，直線y=x+3恰好經(jīng)過8、C兩點.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)點。是拋物線上一動點，連接。B、DC.若△BCD的面積為6,求點。的坐標；

(3)設(shè)E是拋物線上的一個動點，連結(jié)AE,若NBAE=2NACB,求點E的坐

12.(2022?宿城區(qū)二模)如圖1,二次函數(shù)尸以2-3以+力(a、》為參數(shù)，其中。＜0)的圖

象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,頂點為D

(1)若6=-10a,求tan/CBA的值(結(jié)果用含a的式子表示);

(2)若△ABC是等腰三角形，直線AO與y軸交于點P,且AP：DP=2：3.求拋物線

的解析式；

(3)如圖2,己知&=-4a,E、尸分別是CA和CB上的動點，且若以EF

5

為直徑的圓經(jīng)過點C,并交x軸于M、N兩點，求MN的最大值.

13.(2022?鎮(zhèn)江二模)我們定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖象與y軸交

點也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y^2x2+4x-5的友好同軸二次函數(shù)

為y=-x2-2x-5,

(1)請你分別寫出尸-工乂2,尸工x?+x-5的友好同軸二次函數(shù)；

33

(2)滿足什么條件的二次函數(shù)沒有友好同軸二次函數(shù)？滿足什么條件的二次函數(shù)的友好

同軸二次函數(shù)是它本身？

(3)如圖，二次函數(shù)Li：與其友好同軸二次函數(shù)上都與y軸交于點A,

點8、C分別在上上，點8,C的橫坐標均為(0＜根＜2),它們關(guān)于心的對稱軸

的對稱點分別為B',C,連接BB',B'C',CC,CB.

①若a=3,且四邊形8*CC為正方形，求小的值；

②若機=1,且四邊形88'CC的鄰邊之比為1：2,直接寫出a的值.

14.(2022?海陵區(qū)二模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a(x-m)(x-ri')Ca＜Q,

相<〃）與x軸交于A、8（點A在點8的左邊），與y軸相交于點C.直線y=/z與拋物線

相交于P（xi，"）、Q（刈，”）兩點（P、Q不重合），與直線8c交于點N（不，”）.

（1）若a--1,m—\,n—3,

①求線段AB的長；

②當(dāng)〃<1時，證明：X1+X2的值不會隨著人的變化而變化；

（2）若點A在直線BC的上方，

①求〃?的取值范圍；

②令h=m2,一定存在一個a的值，對于任何符合（?>0）的nn均可以使得澳+股

m

-X3恒為定值，求。的值以及f的取值范圍.

15.（2022?建湖縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=;?+灰+。與y軸交于

點C,與x軸交于A、B兩點，直線y=x+4恰好經(jīng)過B、C兩點.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）點D為第三象限拋物線上一點，連接BD,過點。作OELBD,垂足為E,若OE

=2BE,求點。的坐標；

（3）設(shè)廠是拋物線上的一個動點，連結(jié)AC、AF,若NBAF=2NACB,求點尸的坐標.

備用圖

16.（2022?廣陵區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=-,病--4/"+4（/?為常數(shù)，且機>0）.

（1）求二次函數(shù)的頂點坐標；

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象上兩點A（a,%）、B（a+2,犯），點4和點B間（含點A,B）

的圖象上有一點C,將點C縱坐標的最大值和最小值的差記為h.

①當(dāng)m=\時，若點A和點B關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，求h的值；

②若存在點A和點B使得〃的值是4,則加的取值范圍是

六.線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）

17.（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AH±BC,垂足為“，且BH=CH,E為

B4延長線上一點，過點E作EFLBC,分別交8C,AC于凡M.

（1）求證/B=/C；

（2）若AB=5,AH=3,AE=2,求MF的長.

18.（2022?儀征市二模）在△ABC中，NA、NB、NC所對的邊記為〃、b、c.

（1）如圖1,若NC=2NB,

①請用無刻度的直尺和圓規(guī)在線段AB上作一點D,使得AACD的周長為什c（請保留作

圖的相關(guān)痕跡）；

②試求證：。2-廬=出

（2）如圖2,若/ABD=2NACE,試求證：c2-b2=ac.

19.（2022?武進區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，點。是坐標原點，點4的坐標為（0,

6）,點8的坐標為（-8,0）,點C的坐標為（8,0）.點尸、點”分別為A8和OC上

的動點，點尸從點8出發(fā)，沿BA方向以每秒1個單位勻速運動：同時，點H從點C出

發(fā)，沿CO方向以每秒1個單位勻速運動.過點〃作與AC交于點E,點尸為

點E關(guān)于x軸的對稱點，當(dāng)點”停止運動時，點P也停止運動，連接PE,PF,CF,設(shè)

運動時間為/（.V）（0</<8）解答下列問題：

（1）連接OE、OF,若OE〃FC,則/=；

（2）設(shè)△PFE的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時刻/,使&PFE：5AABC=5：12?若存在，求出，的值，并求出此時

P,E兩點間的距離；若不存在，請說明理由.

從前，一個年輕人在他先祖的遺物中發(fā)現(xiàn)了一張記錄著藏寶地的羊皮紙，上面寫著：

某荒島上有一株橡樹A和一株松樹B,還有一座木樁P,從木樁P走到橡樹A,記住所

走的步數(shù)，到了橡樹A向左拐個直角再走這么多步，在這里打個樁，記為C.從木樁P

再朝松樹8走去，記住所走的步數(shù)，到了松樹B向右拐個直角再走這么多步，在這里也

打個樁，記為D樁C,。的正當(dāng)中就是寶藏的位置。.

根據(jù)指示，這個年輕人找到了荒島上的橡樹和松樹，但可惜木樁已腐爛成土，一點痕跡

也看不出了.他只能亂挖起來，但是地方太大了，一切只是徒勞，他只好抱憾而歸.

聰明的讀者，你有辦法找到寶藏嗎？

不妨任取一個位置作為P,根據(jù)材料畫出如圖.

（1）以AB的中點為坐標原點，以直線AB為x軸、以AB的垂直平分線為y軸建立平面

直角坐標系.不妨設(shè)點B的坐標為（10,0）.

①若P的坐標為（6,10）,則Q的坐標為；

②若P的坐標為（-4,8）,則Q的坐標為；

（2）猜想當(dāng)P在不同位置時，。的位置是否隨之變化.

（3）寫出證明（2）中猜想的思路.

（4）將材料中兩處“再走這么多步”同時改為，可使（2）中的猜想仍然成立.

p

八.四邊形綜合題(共6小題)

21.(2022?宜興市二模)如圖，矩形ABCQ中，AB=2M，8c=6,點。是中點，點E

從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC勻速運動；點F從點O出發(fā)，以每

秒2個單位長度的速度沿射線OC勻速運動.E,尸兩點同時出發(fā)，運動時間為f秒(0

(2)若f=2,求△EFG和矩形ABCO重疊部分的周長；

(3)在整個運動過程中，設(shè)△EFG和矩形A8C。重疊部分的面積為S,試求出S與，之

間的函數(shù)表達式.

22.(2022?武進區(qū)二模)定義:有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的

夾邊稱為鄰余線.

(1)如圖/,在△ABC中，AB=AC,AQ是△ABC的角平分線，E,F分別是BD,AD

上的點.求證：四邊形A8EF是鄰余四邊形；

(2)如圖2,在5X4的方格紙中，A,8在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形

ABEF,使A8是鄰余線，E,尸在格點上；

(3)如圖3,已知四邊形ABCZ)是以AB為鄰余線的鄰余四邊形，45=15,AD=6,BC

=3,NA￡>C=135°,求C￡>的長度.

23.(2022?宿城區(qū)二模)【問題情境】

(1)如圖1,在正方形4BCC中，E,F,G分別是BC,AB,C￡>上的點，F(xiàn)G_LAE于點

Q.求證：AE=FG.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,正方形網(wǎng)格中，點A,B,C,。為格點，AB交于點。求tan/AOC

的值;

【拓展提升】

(3)如圖3,點尸是線段AB上的動點，分別以AP,BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCQ

與正方形P8EF,連接OE分別交線段BC,PC于點M,N.

①求/OMC的度數(shù);

②連接AC交DE于點H,直接寫出】其的值.

BC

圖3

正方形ABCD的邊長是4,點E是AD邊上一個動點，連接

BE,將△ABE沿直線BE翻折得到△尸BE.

(1)如圖1,若點尸落在對角線上，則線段OE與AE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)若點尸落在線段CD的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出△F8E(不寫作

法，保留作圖痕跡).連接。尸，則NE￡>F=°；

(3)如圖3,連接CF,DF,若NCFD=90°,求AE的長.

圖3

25.(2022?廣陵區(qū)二模)如圖，在平面直角坐標系X。)，中，四邊形0A8C為矩形，A(0,6),

C(8,0).

(1)如圖1,。是OC的中點，將△A。。沿AO翻折后得到△人￡?,AE的延長線交BC

于E

①試判斷線段E尸與C尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②求點F的坐標;

(2)如圖2,點M、N分別是線段AB、08上的動點，ON=2MB,如果以M、N、B三

點中的一點為圓心的圓恰好過另外兩個點(M、N、B三點不在同一條直線上)，求點M

的坐標.

26.(2022?姜堰區(qū)二模)如圖，正方形ABC￡＞中，E為8C邊上一點，BF1.AETF,DG1

4E于G,，為線段OG上一點，連接“尸.AB=5,GH=nDG,AG=mAF.

(1)求證：△ABF絲△D4G；

(2)若Z)G=a,①請用含人根、〃的代數(shù)式表示H盧；②當(dāng)〃?、〃滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系

時，HF的長為定值，并求出這個值;

(3)在“尸為定值的條件下，是否存在相，使得tanNG”F=返，若存在，求出，〃的

12

值，若不存在，試說明理由.

A

BEC

九.直線與圓的位置關(guān)系(共1小題)

27.(2022?鼓樓區(qū)校級二模)點P是平面直角坐標系中的一點且不在坐標軸上，過點P向x

軸，y軸作垂線段，若垂線段的長度的和為4,則點P叫做“垂距點”.例如：下圖中的

P(1,3)是“垂距點

(1)在點4(2,2),B(X-旦)，C(-1,5)中，是“垂距點”的點為；

22

(2)求函數(shù)y=2x+3的圖象上的“垂距點”的坐標；

(3)OT的圓心T的坐標為(1,0),半徑為r.若OT上存在“垂距點”，則廠的取值范

一十.切線的性質(zhì)(共1小題)

28.(2022?廣陵區(qū)二模)己知：如圖，在△ABC中，AB=BC,。是AC中點，點。是A8

上一點，過點B且與4c相切于點E,交80于點G,交AB于點F.

(1)求證：BE平分NABC；

(2)當(dāng)BD=2,sinC=』時，，求。。的半徑.

2

C

/

G

AOB

一H圓的綜合題(共4小題)

29.(2022?廣陵區(qū)校級二模)(1)【嘗試探究】已知RtAABC中，NACB=90°,點。是

A8的中點，作/POQ=90°,分別交AC、BC于點P、Q,連接PQ.

①如圖1,若AC=8C,試探索線段AP、BQ、尸。之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖2,試探索①中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；

(2)【解決問題】如圖3,已知RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點。是4B

的中點，過C、。兩點的圓分別交邊AC、BC于點P、Q,連接P。，求aPCQ面積的最

大值.

30.(2022?江都區(qū)二模)如圖，己知NMON=90°,是NMON的平分線，A是射線OM

上一點,OA=8cm.動點P從點A出發(fā)，以Itro/s的速度沿A。水平向左做勻速運動，

與此同時，動點Q從點O出發(fā)，也以Icvn/s的速度沿ON豎直向上做勻速運動.連接PQ,

交OT于點艮經(jīng)過O,P,。三點作圓，交07于點C,連接PC,QC.設(shè)運動時間為f

(s),其中0Vf<8.

(1)求。P+OQ的值；

(2)是否存在實數(shù)f,使得線段OB的長度最大？若存在，求出f的值；若不存在，說明

理由.

(3)在點P,。運動過程中(0<z<8),四邊形OPCQ的面積是否變化.如果面積變化，

請說出四邊形OPCQ面積變化的趨勢；如果四邊形OPCQ面積不變化，請求出它的面積.

N'T

31.（2022?鎮(zhèn)江二模）如圖，AB為半。。的直徑，尸點從B點開始沿著半圓逆時針運動到

A點，在運動中，作JSPCLAC,已知A8=10.

（1）當(dāng)尸點不與A,B點重合時，求證：CP為。0切線；

（2）當(dāng)尸8=6時，AC與。。交于。點，求的長；

（3）P點在運動過程中，當(dāng)用與AC的差最大時，直接寫出此時施的弧長.

32.（2022?秦淮區(qū)二模）【概念認識】

與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第I類圓；與

矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第H類圓.

【初步理解】

（1）如圖①?③，四邊形ABCC是矩形，。。1和。。2都與邊A。相切，。。2與邊AB

相切，和。03都經(jīng)過點B,。03經(jīng)過點。，3個圓都經(jīng)過點C在這3個圓中，是

矩形ABCZ）的第I類圓的是,是矩形ABCZ）的第H類圓的是.

【計算求解】

（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6,直接寫出它的第I類圓和第H類圓的

半徑長.

【深入研究】

（3）如圖④，已知矩形ABCD,用直尺和圓規(guī)作圖.（保留作圖痕跡，并寫出必要的文

字說明）

①作它的1個第I類圓;

②作它的1個第H類圓.

一十二.翻折變換（折疊問題）（共1小題）

33.（2022?廣陵區(qū)二模）將平行四邊形紙片按如圖方式折疊，使點C與A重合，點

。落到。處，折痕為EF.

（1）求證：△ABE絲△47F；

（2）連接C凡判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.

一十三.幾何變換綜合題（共2小題）

34.（2022?豐縣二模）如圖①，等邊三角形紙片ABC中，48=12,點。在BC上，8=4,

過點￡＞折疊該紙片，得點C和折痕QE（點E不與點A、C重合）.

（1）當(dāng)點。落在AC上時，依題意補全圖②，求證：DC//AB-.

（2）設(shè)△ABC的面積為S,S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，

請說明理由；

（3）當(dāng)B,C,E三點共線時，EC的長為

AAA

DCDC

（備用圖）

35.（2022?灌南縣二模）在△ABC中，AB=AC,NB4C=90°,點M,N分別是AC,BC

的中點，點尸是直線MN上一點，連接4P,將線段附繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段

PQ，連接A。，CQ.

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖（1）,當(dāng)點P與點“重合時，線段CQ與PN的數(shù)量關(guān)系是,

ZACQ=.

【探究證明】（2）當(dāng)點P在射線MN上運動時（不與點N重合），（1）中結(jié)論是否一定

成立？請利用圖（2）中的情形給出證明.

（3）連接PC,當(dāng)△PCQ是等邊三角形時，請直接寫出的嶇的值.

2022年江蘇省中考數(shù)學(xué)模擬題（二模）精選按題型分層分類匯

編.07解答題（較難題）

參考答案與試題解析

分式方程的應(yīng)用（共1小題）

1.（2021?廣陵區(qū)二模）某學(xué)校準備組織部分學(xué)生到少年宮參加活動，陳老師從少年宮帶回

來兩條信息：

信息一：按原來報名參加的人數(shù)，共需要交費用320元，如果參加的人數(shù)能夠增加到原

來人數(shù)的2倍，就可以享受優(yōu)惠，此時只需交費用480元；

信息二：如果能享受優(yōu)惠，那么參加活動的每位同學(xué)平均分攤的費用比原來少4元.

根據(jù)以上信息，現(xiàn)在報名參加的學(xué)生有多少人？

【解答】解：設(shè)原來報名參加的學(xué)生有x人，

依題意，得磔-儂=4,

x2x

解這個方程，得x=20.

經(jīng)檢驗，x=20是原方程的解且符合題意.

答：現(xiàn)在報名參加的學(xué)生有40人.

二.反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

2.（2022?儀征市二模）某電子科技公司研發(fā)出一套學(xué)習(xí)軟件，并對這套學(xué)習(xí)軟件在24周的

銷售時間內(nèi)，做出了下面的預(yù)測：設(shè)第x周該軟件的周銷售量為T（單位：千套），當(dāng)0

<xW8時，T與x+4成反比；當(dāng)8<啟24時，T-2與x成正比，并預(yù)測得到了如表中對

應(yīng)的數(shù)據(jù).設(shè)第x周銷售該軟件每千套的利潤為K（單位：千元），K與x滿足如圖中的

函數(shù)關(guān)系圖象：

力周824

77千套1026

（1）求T與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）觀察圖象，當(dāng)12WxW24時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為K=-x+44

（3）設(shè)第x周銷售該學(xué)習(xí)軟件所獲的周利潤總額為y（單位：千元），則：

①在這24周的銷售時間內(nèi)，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不

變的值；若不存在，請說明理由.

②該公司銷售部門通過大數(shù)據(jù)模擬分析后認為，最有利于該學(xué)習(xí)軟件提供售后服務(wù)和銷

售的周利潤總額的范圍是286WyW504,求在此范圍內(nèi)對應(yīng)的周銷售量T的最小值和最大

值.

【解答】解：(1)當(dāng)0<xW8時，設(shè)7=4-(相/0),

x+4

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當(dāng)x=8時，7=10,

二10=」L,

8+4

解得：，“=120,

...當(dāng)8<xW24時,設(shè)7-2=nr(〃￥0),

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當(dāng)x=24時，T=26,

.?.26-2=24”，

解得：〃=1,

：.T-2=x,

綜上所述T與x的函數(shù)關(guān)系式為:

120()

：.\x+40<x<8

x+2(8<x<24)

(2)當(dāng)12Wx<24時，設(shè)K與x的函數(shù)關(guān)系式為K=&+4

將x=12,K=32；x=24,K=20代入得:

[12k+b=32(

124+b=20'

解得：。=T

lb=44

...當(dāng)12WxW24時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為K=-x+44,

故答案為：K=-x+44；

(3)①存在，不變的值為240,

由函數(shù)圖像得：當(dāng)0<xW12時，設(shè)K與x的函數(shù)關(guān)系式為K=Zix+",

將x=0,K=8；x=12,K=32代入得：

b=8

，

<12k1+b1=32

fk<=2

解得：，

b［=8

，當(dāng)0<xW12時，K與x的函數(shù)關(guān)系式為K=2x+8,

.?.當(dāng)0<xW8時，y=KT=(2x+8)-2°..=240；

x+4

當(dāng)8cxW12時，y=KT=(2x+8)(x+2)=2?+12x+16；

當(dāng)12VxW24時，y=KT=(x+2)(-x+44)=-/+42x+88,

綜上所述，在這24周的銷售時間內(nèi)，存在所獲周利潤總額不變的情況,這個不變值為240.

②當(dāng)8cxW12時，y=2?+12x+16=2(x+3)2-2,拋物線的對稱軸為x=-3,

(I)當(dāng)8<xW12時，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，

當(dāng)2(x+3)2-2=286時，

解得：Xi—9,X2—~15(舍去)；

當(dāng)x=12時，y取最大值，最大值為448,滿足286WyW504；

當(dāng)x=9時，周銷售量T的最小值為11；當(dāng)x=12時，T取最大值14；

(H)當(dāng)12cxW24時，y=-7+42%+88=-(%-21)2+529,拋物線的對稱軸為x=21,

當(dāng)x=12時，y取最小值，最小值為448,滿足286WyW504；

當(dāng)-(x-21)2+529=504時,

解得：xi=16,X2=26(舍去)；

當(dāng)x=12時，周銷售量T取最小值為14；當(dāng)x=16時，T取最大值18；

綜上所述，當(dāng)周利潤總額的范圍是2860W5O4時，對應(yīng)周銷售量T的最小值是11千套,

最大值是18千套.

三.反比例函數(shù)綜合題(共2小題)

3.(2022?姜堰區(qū)二模)［定義］平面直角坐標系內(nèi)的矩形若滿足以下兩個條件：①各邊平行

于坐標軸；②有兩個頂點在同一反比例函數(shù)圖象上，我們把這個矩形稱為該反比例函數(shù)

的“伴隨矩形”.

例如，圖1中，矩形ABC。的邊AD〃BC〃x軸，AB//CD//y^,且頂點A、C在反比例

函數(shù))，=K(2。)的圖象上，則矩形ABCD是反比例函數(shù)y=K的“伴隨矩形”.

xx

［解決問題］

(1)已知，矩形ABCZ)中，點4、C的坐標分別為：①A(-3,8),C(6,-4)；②A

(1,2),C(2,3)；③4(3,4),C(2,6),其中可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”

的是①③；(填序號)

(2)如圖1,己知點B(2,3)是反比例函數(shù)y=2的“伴隨矩形"A8C。的頂點，求

2x

直線8。的函數(shù)解析式；

(3)若反比例函數(shù)的“伴隨矩形"ABC。如圖2所示，試說明有一條對角線所在的直線

一定經(jīng)過原點.

【解答】(1)解：①(-3,8),C(6,-4),

-3X8=-24,6X(-4)=-24,

...4、C滿足同一個反比例函數(shù)，

②(I,2),C(2,3),

；.1X2=2,2X3=6,

.?.A、C不滿足同一個反比例函數(shù)，

③(3,4),C(2,6),

；.3X4=12,2X6=12,

.??4、C滿足同一個反比例函數(shù)，

可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”的是①③，

故答案為：①③;

(2)W：VB(2,旦)的反比例函數(shù)了=旦的“伴隨矩形"ABC。的頂點,

2x

AA(2,3),C(4,旦)，

2

：.D(4,3),

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,

3=4k+b

則I3

y=2k+b

:3

b=0

?,?y=-x5

4

(3)證明：????!、C在反比例函數(shù)y=K上，

X

設(shè)A(m,區(qū))，C(〃，區(qū))，則BCm,—),D(n,—

mnnm

設(shè)直線BD的解析式為=cx+d,

Ln+d

m

則《

—=cm+d

n

k

c=—

im，

d=0

即Js-x,

run.

直線BQ過原點.

4.(2022?灌南縣二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，過點A(0,4)作y軸垂線交反

比例函數(shù)y=X(2>0)圖象于點艮在A3延長線上取點C,連接。C,交反比例函數(shù)y

x

=K(x>0)圖象于點O,連接05,SAABO=6.

x

(1)求Z的值；

(2)在x軸正半軸上取點E,當(dāng)O。平分N30E時，求點。的坐標.

【解答】解：(1)'：S^ABO=6,A3_Ly軸，

AZ：=6,

2

"=12；

(2)由(1)知，左=12,

...反比例函數(shù)的解析式為尸衛(wèi)①，

x

?.?48，)，軸，A(0,4),

：.B(3,4),

在RtZ\A8O中，AB=3,0A=4,

AOB=7OA2+AB2=5

???OO平分NOBE,

:?/BOC=/COE,

???A3，)，軸，

???A3〃x軸，

：.ZCOE=ZC,

???NBOC=NC,

:.OB=BC=5,

：.C(8,4),

設(shè)直線CD的解析式為＞=〃?/,

將(8,4)代入中，得4=8如

*"?rn~=—.

2

直線C。的解析式為y=L②，

2

聯(lián)立①②解得，x=±2企，

；點。在第一象限內(nèi)，

：.D（2心娓）.

四.拋物線與x軸的交點（共1小題）

5.（2022?豐縣二模）如圖①，拋物線>=-工？+2A■+/,（匕4。）與x軸交于A、B兩點（點A

2

在點B的右側(cè)），與y軸交于點C,連接4C、BC,tanZCB0=3.

（1）求人的值；

（2）如圖②，點P是直線AC上方拋物線上的一個動點，過點尸作8c的平行線/,交

線段AC于點。.拋物線的對稱軸與直線/交于點M,與直線4c交于點M當(dāng)點。在對

稱軸的右側(cè)，且SAO”N=SAAOC時,，請求出點。的坐標.

①②

【解答】解：（1）令x=0,則y=8,

：.C（0,b）.

由題意：b>0,

：.OC=b.

在RtZJSOC中，

：tan/C8O=Q￡=3,

OB

：.OB=lb,

3

：.B（-工，0）.

3

-4-X（1b）2+2X9+b=0,

LtOo

解得：6=6或人=0（不合題意，舍去）,

***/?=6；

(2),:b=6,

，拋物線的解析式為y=-2K+2X+6,C(0,6).

2

；.OC=6.

令y=0,則--kr+2x+6=0.

2

解得：x=-2或6,

r.B(-2,0),A(6,0),

.".OA=6,08=2.

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,

.[6a+c=0

Ic=6

解得：卜二T,

1c=6

直線AC的解析式為y=-x+6.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n.

.f-2k+n=0

\n=6

解得：4=3,

In=6

直線BC的解析式為y=3x+6,

?點O為直線AC上一點，

...設(shè)￡)(m,-〃?+6),其中0<m<6,

二?直線1//BC,

二設(shè)直線/的解析式為y=3x+d,

:點。在直線/上，

-m+6=3m+d,

d--4m+6.

直線I的解析式為y=3x-4/n+6.

y=

...拋物線的對稱軸為直線x=2,

當(dāng)x=2時，y=3X2-4m+6=12--4m,

：.M(2,12-4/n).

當(dāng)x=2時，y=-2+6=4,

：.N(2,4).

?.?點。在對稱軸的右側(cè)，

點N在點M的上方，

：.MN=4-(12-4w)=4/?-8.

":SADMN=SMOC，

.?」(4w-8)(/n-2)=AX6X6,

22

'.nr-4m-5=0.

解得：加=5或-1(負數(shù)不合題意，舍去)，

??m=5,

/.-7/7+6=1,

：.D(5,1).

五.二次函數(shù)綜合題(共11小題)

6.(2022?宜興市二模)如圖，拋物線〉=0?+法+°(4為常數(shù)，且〃<0)與x軸相交于A(-

1,0),B(3,0)兩點，與y軸相交于點C,頂點為。，直線8。與y軸相交于點￡

(1)求證OC=2OE；

2

(2)M為線段OB上一點，N為線段BE上一點，當(dāng)“=」時，求△CMN的周長的最

2

小值；

(3)若0為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，小林猜想：當(dāng)點。與點D重合時，四邊形ABQC

的面積取得最大值.請判斷小林猜想是否正確，并說理由.

【解答】(1)證明：???拋物線y=/+6x+c(。為常數(shù)，且〃<0)與x軸相交于A(-1,

0),B(3,0)兩點，

.(a-b+c=O

19a+3b+c=0

解得(b=-2a,

Ic=~3a

2

/.拋物線為y=G?-lax-3a=a(x-1)-4af

：.C(0,-3〃)，D(1,-4〃)，

設(shè)直線8。的解析式為y=hx+"，把8、。兩點的坐標分別代入得:

3k1+bi=0(ki=2a

,11，解得1,

k[+b]=-4abp-Ga

直線3。為y=2ax-6m

：.E(0,-6a),

OC=3ci9OE=6a,

：.OC=1.OE-,

2

(2)解：當(dāng)a=-工時，拋物線為y=-工2+x+3,作點C關(guān)于BE的對稱點C',關(guān)

222

于x軸的對稱點C",連接C'C",與08交為M,與BE交點、為N,此時△CMN的周

長最小，連接C'E,如圖所示：

?：OB=3,

：.OB=OE=3,

VZBO￡,=90°,

：.NOEB=NOBE=45°,

'：CC'A.BE,

：.ZCEB=ZECC'=45°,

垂直平分CC',

：.CE=C'E=3-旦=2.CN=CN,

22

：.ZCEB=ZCEB=45°,

/.ZCEC'=90°,

；.CEJ_y軸，

.?.點C，(A,3),

2

:c關(guān)于x軸的對稱點c”為(o,-3),

2

：.CM=C"M,

...△CMN周長的最小值為:

23VW_.

CM+CN+MN^C"M+CN+MN=C'C"=--,

2

(3)解：小林猜想不正確，理由如下:

過。作QKLx軸，交BC于點、K,

?:B(3,0),C(0,-3a),

/.直線BC為y=ax-3a,

設(shè)點。的橫坐標為x,則。(x,or2-2ax-3a),K(x,or-3a),

QK=ax-2ax-3a-Cax-3a)=ax-3ax,

AS四邊形ABQC=SZ\4BTSZJ?QC=LX4X(-3。)+—(ox2-3ar)義3=冤(x-—)2-23^.

22228

-6。，

Va<0,

???當(dāng)點Q的橫坐標為X=3時，S四邊形48QC有最大值,

2

??,點。的橫坐標是1,

???四邊形A3QC的面積取得最大值時，點。與點。不重合，小林猜想不正確.

7.(2022?姜堰區(qū)二模)設(shè)一次函數(shù)yi=2%+團+〃和二次函數(shù)”=x(2x+/n)+〃.

(1)求證：yi，”的圖象必有交點；

(2)若加>0,yi，”的圖象交于點A(xi,a)、B(刈，b),其中xi〈X2，設(shè)C(灼，b)

為”圖象上一點，且X3#X2，求13-xi的值；

(3)在(2)的條件下，如果存在點。(xi+2,c)在”的圖象上，且?！礳,求機的取

值范圍.

【解答】(