《多復(fù)變簡介》課件

《多復(fù)變簡介》ppt課件目錄多復(fù)變函數(shù)定義與性質(zhì)多復(fù)變函數(shù)的積分多復(fù)變函數(shù)的微分多復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開多復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用01多復(fù)變函數(shù)定義與性質(zhì)定義多復(fù)變函數(shù)定義多復(fù)變函數(shù)是指定義在復(fù)數(shù)域上的多變量函數(shù)，即同時(shí)有多個(gè)復(fù)數(shù)變量的函數(shù)。區(qū)域與邊界多復(fù)變函數(shù)的定義域通常是一個(gè)復(fù)數(shù)域上的區(qū)域，可以是有限維的也可以是無限維的，而其邊界則是指該區(qū)域的極限點(diǎn)。多復(fù)變函數(shù)在其定義域內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程。解析性如果一個(gè)多復(fù)變函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的所有偏導(dǎo)數(shù)都為零，則該函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)是全純的。全純性多復(fù)變函數(shù)在其定義域內(nèi)有界，即存在一個(gè)常數(shù)M，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意點(diǎn)，函數(shù)的值都滿足|f(z)|≤M。有界性010203性質(zhì)VS考慮函數(shù)f(z)=z1+z2，其中z=(z1,z2)∈C2。這是一個(gè)多復(fù)變函數(shù)，其定義域?yàn)閺?fù)數(shù)域C2。例2考慮函數(shù)f(z)=z1z2，其中z=(z1,z2)∈C2{0}。這是一個(gè)多復(fù)變函數(shù)，其定義域?yàn)閺?fù)數(shù)域C2除去原點(diǎn)后的區(qū)域。例1例子02多復(fù)變函數(shù)的積分多復(fù)變函數(shù)在某個(gè)區(qū)域上的定積分，可以通過將該區(qū)域分割成許多小區(qū)域，然后在每個(gè)小區(qū)域上計(jì)算復(fù)積分的和來定義。積分在計(jì)算多復(fù)變函數(shù)的積分時(shí)，需要選擇合適的積分路徑，以確保積分的值是唯一的。積分路徑定義多復(fù)變函數(shù)的積分具有線性性質(zhì)，即對(duì)于任意常數(shù)A和B，以及函數(shù)f和g，有(A*f+B*g)的積分=A*f的積分+B*g的積分。如果存在一條連接起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線，其上的函數(shù)值與給定的函數(shù)值相同，則該函數(shù)在該曲線上的積分等于零。性質(zhì)積分與路徑無關(guān)線性性質(zhì)球面上的函數(shù)積分考慮函數(shù)f(z)=Re(z)+Im(z)，其中z=x+iy。在球面上，該函數(shù)的積分可以通過將球面分割成許多小圓環(huán)，然后在每個(gè)圓環(huán)上計(jì)算復(fù)積分的和來計(jì)算。單位圓盤上的函數(shù)積分考慮函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)，其中z=x+iy。在單位圓盤上，該函數(shù)的積分可以通過將圓盤分割成許多小扇形，然后在每個(gè)扇形上計(jì)算復(fù)積分的和來計(jì)算。例子03多復(fù)變函數(shù)的微分定義多復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)的微分是由該點(diǎn)處所有可能的線性偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的矩陣。解釋多復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)的微分是一個(gè)線性映射，它將該點(diǎn)的鄰域映射到復(fù)數(shù)域。公式如果$f$是$n$變量的復(fù)值函數(shù)，其在點(diǎn)$a$的微分為$Df(a)$，則$Df(a)=(frac{partialf}{partialx_1}(a),frac{partialf}{partialx_2}(a),ldots,frac{partialf}{partialx_n}(a))$。定義多復(fù)變函數(shù)的微分滿足線性性質(zhì)，即$D(af+bg)=aDf+bDg$。線性性質(zhì)如果$g$是$f$的復(fù)合函數(shù)，則$Dg(f(a))=Df(a)cdotDg(a)$。鏈?zhǔn)椒▌t多復(fù)變函數(shù)的微分僅依賴于函數(shù)在點(diǎn)附近的取值，與函數(shù)在其他地方的值無關(guān)。局部性質(zhì)性質(zhì)例子1考慮函數(shù)$f(z)=z^2$，其中$z=x+iy$，則$Df(z)=2z$。例子2考慮函數(shù)$f(z)=log(z)$，其中$z=re^{itheta}$，則$Df(z)=frac{1}{z}$。例子04多復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開03全純函數(shù)的定義如果一個(gè)復(fù)平面上的函數(shù)f(z)在某個(gè)區(qū)域D內(nèi)，對(duì)于任意z1,z2屬于D，都有f'(z1)=f*(z2)，那么就稱f(z)為全純函數(shù)。01柯西級(jí)數(shù)展開對(duì)于一個(gè)在單位圓內(nèi)解析的多復(fù)變函數(shù)，可以在圓周上定義其洛朗茲級(jí)數(shù)展開。02洛朗茲級(jí)數(shù)展開對(duì)于一個(gè)在單位圓外解析的多復(fù)變函數(shù)，可以在圓周上定義其柯西級(jí)數(shù)展開。定義唯一性一個(gè)全純函數(shù)的洛朗茲級(jí)數(shù)展開是唯一的?？晌⑿匀兒瘮?shù)的洛朗茲級(jí)數(shù)展開在全純函數(shù)的定義域內(nèi)是可微的。收斂性全純函數(shù)的洛朗茲級(jí)數(shù)展開在全純函數(shù)的定義域內(nèi)是收斂的。性質(zhì)例子函數(shù)f(z)=z^2在圓周|z|=1上的洛朗茲級(jí)數(shù)展開為f(z)=z^2=(e^(iθ))^2=e^(2iθ)。函數(shù)f(z)=1/z在圓周|z|=1上的柯西級(jí)數(shù)展開為f(z)=1/z=∑(-1)^n*(z/2)^(-n)/n!。05多復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用量子力學(xué)多復(fù)變函數(shù)在量子力學(xué)中用于描述波函數(shù)，提供了描述微觀粒子狀態(tài)的方式。光學(xué)多復(fù)變函數(shù)在光學(xué)中用于描述光的傳播，特別是在處理電磁波的傳播和干涉時(shí)。相對(duì)論多復(fù)變函數(shù)在廣義相對(duì)論中用于描述引力場(chǎng)，提供了描述時(shí)空結(jié)構(gòu)的方式。在物理中的應(yīng)用微分方程多復(fù)變函數(shù)在求解某些微分方程時(shí)具有重要應(yīng)用，例如在處理偏微分方程時(shí)。幾何分析