長方體公式解決外接球問題大全 練習(xí)-2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

長方體公式解決外接球問題大全

一.直接法

1.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為（）

971Lc八

A.--B.3V37CC.9兀D.277c

2

2.體積為64的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.

3.（多選）已知某正方體的外接球上有一個(gè)動點(diǎn)M,該正方體的內(nèi)切球上有一個(gè)動點(diǎn)N,若線段MN的最

小值為6-1，則下列說法正確的是（）

47r

A.正方體的外接球的表面積為12"B.正方體的內(nèi)切球的體積為《-

C.正方體的棱長為2D.線段腦V的最大值為

二.直棱柱.棱錐轉(zhuǎn)化

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，璧如“塹堵”

意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱,“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,

“鱉膈”指的是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱ABC-,其中

AC，BC楮AA=A8=2,當(dāng)“陽馬唧四棱錐B-AACG的體積最大時(shí)，“塹堵”即三棱柱ABC-44G的外

接球的表面積為（）

D.還

A.4nB.8兀C.16n7c

3

5.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.在鱉般尸-ABC中，平面

ABC,A8=3C=2"=4,則鱉嚅P—ABC外接球的表面積是（）

A.36萬B.727rC.144萬D.288萬

6.已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且必，平面ABC,若該棱錐的體積為氈，AB=2,

3

AC=1,ACJ.BC,則此球的表面積等于（）

A.5TTB.8%C,167rD.20乃

7.已知三棱錐尸-ABC中，上4J_平面ABC,ABJ.BC,若PA=3,A8=2,BC=E,則該三棱錐的外接球

的表面積為.

三.面面垂直轉(zhuǎn)化

8.已知三棱錐P—A8C的頂點(diǎn)都在球。上，AB=2娓,BC=\,AC=5,平面平面ABC,且上41PB,

則球。的體積為.

9.已知四棱錐P—A5CD的頂點(diǎn)都在球。上，43=3,BC=4,CD=\,AD=2娓,AC=5,平面皿

平面ABC。，且24_LPr）,則球。的體積為.

10.在平面四邊形A8CQ中，ADLCD,ACLBC,/D4C=NBAC=30。，現(xiàn)將AACO沿AC折起，并連接

BD,使得平面AC。_L平面ABC,若所得三棱錐O-ABC的外接球的表面積為4萬，則三棱錐O-ABC的體

積為______

DD

四.對棱相等對角線轉(zhuǎn)化

11.在四面體P-ABC中，PA=BC=3,PB=AC=2,PC=AB=也,則該四面體外接球的體積為.

12.四面體A-BCD中，AB^CD=5,AC=BD=5,AD=BC=^，則四面體A-BCD外接球的表

面積為?

五.升級版綜合類

13.在正三棱錐P-ABC中，M,N分別是棱PC,BC的中點(diǎn)，且AMJ.MN,設(shè)三棱錐P-ABC外接球

的體積和表面積分別是丫和S.若A8=2,則（）

A.V=6為rB.V=T2將rC.S=6萬D.S=24^

14.已知在四棱錐P-MCD中，平面ABCQ,底面ABC。為矩形，PB=4,AD=2近，當(dāng)".尸。最

大時(shí)，該四棱錐外接球的表面積為.

長方體公式解決外接球問題大全

1.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為（）

9兀

A.-B.3>j3nC.9兀D.27兀

2

【答案】A

【分析】先求得正方體的邊長，然后求得球的半徑，進(jìn)而求得球的體積.

【詳解】設(shè)正方體的邊長為貝U6a2=18,“=有，

正方體的對角線長為正+3+3=3,

3

所以球的直徑2R=3,半徑&=—,

2

所以球的體積為色xja1=史.

3⑵2

故選：A

2.體積為64的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.

【答案】487t

【分析】根據(jù)正方體的體積公式，求得棱長，結(jié)合球與正方體的對稱性，求正方體的體對角線，可得球的

半徑，利用球的表面積公式，可得答案.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為。，則體積丫=°3=64,即a=4,

易知正方體的體對角線為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為『，則2r=J/+a2+/=46,即r=2g,

故該球的表面積S=4兀尸=48兀.

故答案為：48K.

3.（多選）已知某正方體的外接球上有一個(gè)動點(diǎn)M,該正方體的內(nèi)切球上有一個(gè)動點(diǎn)N,若線段MN的最

小值為6-1，則下列說法正確的是（）

47r

A.正方體的外接球的表面積為12萬B.正方體的內(nèi)切球的體積為飛-

C.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為26

【答案】ABC

【分析】設(shè)正方體的棱長為。，即可求出正方體的內(nèi)切球與外接球半徑，進(jìn)而求出M，N的最小值，由此求

出〃的值，然后對應(yīng)各選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為a,則正方體外接球半徑為體對角線長的一半，即R=

2

內(nèi)切球半徑為棱長的一半，即〃=￡.

???M,N分別為該正方體外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn)，

MN.=a——=--a=>/3—1，解得。=2,

m'"222

???正方體的棱長為2,C正確.

正方體的外接球的表面積為4/x(0)2=12/，A正確.

正方體的內(nèi)切球的體積為三4萬X1a=芋47r，B正確，

線段MV的最大值為且a+@=6+l，D錯(cuò)誤.

22

故選：ABC.

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，璧如“塹堵”

意指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,

“鱉腌”指的是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱ABC-4啰?，其中

ACJ.BC渚M=AB=2,當(dāng)“陽馬”即四棱錐"A4CG的體積最大時(shí)，“塹堵”即三棱柱ABC-的外

接球的表面積為()

小K---------------------

A.4兀B.87rC.16兀D.-----兀

【答案】B

【分析】設(shè)出AC=x,BC=y,表達(dá)出四棱錐B-AACG的體積，并用基本不等式求出體積最大值，從而

確定x=y=夜，根據(jù)墻角模型求出三棱柱ABC-A冉G的外接球的半徑，求出表面積.

【詳解】設(shè)AC=x,BC=y,

因?yàn)锳C1BC,AAt=AB=2,

則x2+y2=4,

四棱錐8-AACG的體積為：4\?。80=：個(gè)，4；■2+?。?：,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí)，等號成立，

此時(shí)三棱柱ABC-AB?的外接球的半徑為,JAC2+8C2+A42=；乂。2+2+4=e,

則三棱柱A8C-AB?的外接球的表面積為47tx（&）=8n.

故選：B

5.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.在鱉膈P-ABC中，/%_!_平面

ABC,AB=8C=2PA=4,則鱉膈p—MC外接球的表面積是（）

A.367rB.727rC.144萬D.288萬

【答案】A

【分析】判段出P-MC補(bǔ)全后為長方體，再利用長方體外接圓半徑的計(jì)算公式得出半徑，即可直接得出

答案.

【詳解】由題意可知482BC,

如圖，將鱉席P-ABC補(bǔ)全成長方體，

P

c

則鱉腌P-ABC外接球的半徑R=1+/+.=3,

故鱉嚅PA3C外接球的表面積為4萬齊=36萬.

故選：A.

6.已知三棱錐P-43C的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且PA,平面ABC,若該棱錐的體積為2叵，/$=2,

3

AC=1,AC±BC,則此球的表面積等于（）

A.5萬B.8乃C.16萬D.207r

【答案】D

【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理證明BCA.PC,取PB中點(diǎn)0,連接0A,0C,則有

OB=OP=OA=OC=gpB,即。是該棱錐外接球的球心，尸8是球的直徑，求出其長得球半徑，從而得球

表面積.

【詳解】平面ABC,A8,3Cu平面A5C,所以PAVBC,

又3CJ.AC,ACcE4=4,AC,APu平面PAC,

所以8C_L平面PAC,而PCu平面PAC,所以8C_LPC,

取P8中點(diǎn)0,連接OA,0C,則有O3=OP=OA=OC=；PB,

22

BC=-JAB—AC=6，5,AHC='ACBC=，

VP-ABC=—=-x—xPA,APA-4,:?PB=2亞,

332

所以外接球球半徑為gPB=45,表面積為4萬x(右了=2()乃.

故選：D.

7.已知三棱錐P-A5C中，B4L平面ABC,AB1BC,若24=3,A8=2,8C=6，則該三棱錐的外接球

的表面積為.

【答案】16K

【分析】由題意可得PC為外接球的直徑，求出半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.

【詳解】解：由已知PC為外接球的直徑，PC=y/PA1+AB2+BC2=4^

所以外接圓半徑為R=2,外接球表面積為S=4兀4=1671.

故答案為：16兀.

二、多選題（共0分）

三、填空題（共0分）

8.已知三棱錐尸-ABC的頂點(diǎn)都在球。上，AB=2R,BC=1,AC=5,平面平面ABC,且P±PB,

則球。的體積為.

【答案】〒125乃

6

【解析】分別取AB,AC的中點(diǎn)《,。2,根據(jù)AB13C又R4J.尸3,得到。“。2分別為截面附B,截面A8C

外接圓的圓心，再由平面的，平面ABC,得到。。2,平面BW,從而。2為球心。求解.

【詳解】如圖所示：

分別取AB,AC的中點(diǎn)0“5,

因?yàn)锳8=26,BC=1,AC=5,

所以4313C又上4±PB,

所以9,a分別為截面PA8,截面ABC外接圓的圓心,

又平面平面ABC,opj/BC,

所以。。2,平面EU3,

所以。2為球心。，

所以球的半徑為R=|,

所以球的體積為丫=：乃代=學(xué)乃

36

故答案為：?125

6

9.已知四棱錐P—A5co的頂點(diǎn)都在球。上，43=3,BC=4,CD=\,AD=2娓,AC=5,平面皿

平面ABC。，且Q4_LP￡>,則球。的體積為

【分析】取AC中點(diǎn)0,4。中點(diǎn)”，連接OH,OB,0D,PH,根據(jù)題中邊長，可得4518C,ADLDC,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得OH_L平面尸根據(jù)題意，可得。為四棱錐P-ABCD外接球的球心，利

用勾股定理，求得。。，代入公式，即可得答案.

【詳解】取AC中點(diǎn)0,AO中點(diǎn)”，連接。H,OB,OD,PH,如圖所示：

因?yàn)锳B=3,BC=4,CD=\,AD=2而,AC=5,

所以A82+8C2=AC2,即他工BC,

AD2+DC2=AC2,即AO_LDC,

又。為AC中點(diǎn)，

所以。到4,B,C,。的距離相等.

因?yàn)槠矫鍮ID1,平面ABC。，平面2De平面ABC￡>=4),AD1DC,

所以0cl,平面PA￡>,

又因?yàn)?,H,分別為AC,A。中點(diǎn)，

所以O(shè)H//OC,即。HJ?平面R4O,

又PALPD,

所以。到P,A,O的距離相等，

所以。為四棱錐尸-ABCD外接球的球心，

在MAADC中，0D=^OH-+DH2=J+（而丫=|

所以球0的體積V=—jrfV=—^xODi=—xf—=L,

333⑵6

125萬

故答案為:

6

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理，勾股定理，并靈活應(yīng)用，直角三角形斜邊中點(diǎn)，即

為三角形的外心，以此作為突破口求解，屬中檔題.

10.在平面四邊形ABC。中，ADLCD,ACLBC,ND4C=NBAC=30。，現(xiàn)將△AC￡>沿AC折起，并連接

%>，使得平面AC￡>_L平面A8C,若所得三棱錐￡>-ABC的外接球的表面積為4萬，則三棱錐。-A8C的體

【答案】曲

8

【分析】由題意，找到底面和側(cè)面的外接圓圓心，通過面面垂直性質(zhì)定理，作出線面垂直，確定球心，進(jìn)

而求得棱長，可得答案.

【詳解】/AOC=NACB=90。,

...△AOC的外接圓圓心為AC中點(diǎn)。-AABC的外接圓圓心為48中點(diǎn)。*如圖所示:

過。作平面4OC的垂線，過。2作平面ABC的垂線,

?.?平面ADCL平面ABC,

...兩垂線交于點(diǎn)。2，可得02為三棱錐D-ABC外接球的球心，

由三棱錐。-ABC外接球的表面積為4兀，可得外接球的半徑r=l,AB=2,

在AABC中，BC=ABsin30=1,AC=ABcos30=A/3,

在AAC￡＞中，CD=ACsin30=—,4。=4Ccos30,

22

??,平面AQC_L平面ABC,平面AOS平面ABC=AC,BCVAC,8Cu平面ABC,

.?.8。，平面4?。，則8c為三棱錐的高，

則三棱錐。-ABC的體積為?lBCxSacp=1xlxLx?x@=3.

3-32228

故答案為：2.

8

11.在四面體P—A5c中，PA=BC=3,PB=AC=2,PC=AB=?則該四面體外接球的體積為.

【答案】迪兀

3

【分析】如圖所示：將四面體P-A5C放入長方體中，利用勾股定理得到/+〃+C2=R2=8,計(jì)算得到答

案.

【詳解】如圖所示：將四面體P-ABC放入長方體中：

a2+b2=3

22122

設(shè)長方體的邊長分別為。，》，c,則\h+c=9相加得到a+〃+c=4/?=8.-.7?=72

/+=4

體積為：V=?TIR=*應(yīng)冗

33

故答案為成兀

3

A

【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，將三棱錐放入長方體是解題的關(guān)鍵.

12.四面體A-BC3中，AB=CD=5,AC=BD=4,A。=BC=聞，則四面體4-88外接球的表

面積為.

【答案】50兀

【分析】把四面體A-BCD補(bǔ)成一個(gè)長方體，長方體的對角線就是其外接球的直徑，由此可求得外接球半

徑，從而得表面積.

【詳解】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體4-8CO的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上

一個(gè)以5,A，標(biāo)為三邊的三角形作為底面，且分別以。，b,c為長、側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從而可得到

一個(gè)長、寬、高分別為“，b,c的長方體，

并且〃2+"=25,a2+c2=34,b2+c2—41,

2

設(shè)球半徑為R,則有(27?)2="2+62+(?=50,

.Mgs。，

，球的表面積為5=4兀尸=50兀.

故答案為：507t.

13.在正三棱錐P-ABC中，M,N分別是棱PC,BC的中點(diǎn)，且.AM上MN,設(shè)三棱錐P-ABC外接球

的體積和表面積分別是丫和S.若A8=2,則()

A.V=6瓜兀B.V=12&C.S=67D.5=24萬

【答案】C

【分析】如圖，根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明尸PBLPC,PC1.PA,將三棱

錐P-43c補(bǔ)成以P4