初中數(shù)學(xué)共定點(diǎn)等邊三角形六大結(jié)論及應(yīng)用寒假?gòu)?fù)習(xí)必備

初中數(shù)學(xué)共定點(diǎn)等邊三角形六大結(jié)論及應(yīng)用，寒假?gòu)?fù)習(xí)必備！【一】已知：如圖△ABC、△CDE都是等邊三角形

AD、BE相交于點(diǎn)O

點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)．(1)求∠DOE的度數(shù)；解：∵△ABC、△CDE都是等邊三角形

∴AC＝BCCD＝CE

∠ACB＝∠DCE＝60°

∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD∴∠ACD＝∠BCE

在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE∠ADC＝∠BEC

∵等邊三角形DCE∴∠CED＝∠CDE＝60°∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°∴∠AOE=120°∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．(2)試判斷△MNC的形狀,并說(shuō)明理由；△MNC是等邊三角形理由如下：∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBEAD＝BE

AC＝BC∵點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)∴AM＝1/2AD

BN＝1/2BE

∴AM＝BN在△ACM和△BCN中AC＝BC，∠CAM＝∠CBN，AM＝BN∴△ACM≌△BCN∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN

∵∠ACB＝60°∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°∴∠MCN＝60°∴△MNC是等邊三角形．(3)連接OC，求證：OC是∠AOE的平分線．

解：連接OC

過(guò)C作CG⊥A，垂足為G；過(guò)C作CH⊥BE，垂足為H．∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE

∴1/2AD?CG=1/2BE?CH∴CG＝CH∵CG⊥ADCH⊥BE

∴OC是∠AOE的平分線．【二】已知如圖△ABC是銳角三角形

分別以邊AB、AC為邊向外作△ABD和△ACE，△ABD和△ACE均為等邊三角形，且BE和CD交于點(diǎn)F

連接AF．（1）求證：△ACD≌△AEB；解：∵△ABD和△ACE均為等邊三角形

∴∠DAB=∠EAC=60°，AE=AC，AB=AD，∴∠BAC+∠DAB=∠BAC+∠EAC,即∠DAC=∠EAB∴在三角形△ABD和△ACE中

AE=AC，∠DAC=∠EAB，AB=AD,∴△ACD≌△AEB（SAS）；（2）求出∠CFE的度數(shù)；解：∵△ACD≌△AEB∴∠DAC=∠EAB,∴點(diǎn)A、F、C、E四點(diǎn)共圓∴∠CFE=∠CAE∵△ACE均為等邊三角形

∴∠CAE=60°∴∠CFE=60°（3）求證：∠AFB=∠BFC=∠AFC.解：由（2）點(diǎn)A、F、C、E四點(diǎn)共圓

點(diǎn)A、F、B、D四點(diǎn)共圓

∴∠FAC=∠FEC在△AFE中∠AEF+∠CAE+∠FAC+∠AFE=180°∴∠AEF+∠CAE+∠FEC+∠AFE=180°即∠AEC+∠CAE+∠AFE=180°∵∠AEC=∠CAE=60°∴∠AFE=180°-60°-60°=60°同理可得∠AFD=60°∵∠EFC=∠BFD，∠EFC=60°∴∠BFD=60°∴∠AFD+∠BFD=60°+60°=120°∠AFE+∠EFC=60°+60°=120°∴∠BFC=360°-120°-120°=120°∴∠AFB=∠BFC=∠AFC.【三】如圖已知△CAD與△CEB都是等邊三角形

BD、EA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△DCB．解：∵△CAD與△CEB都是等邊三角形

∴CB＝CECD＝CA

∠BCE＝∠DCA＝60°

∴∠BCD＝∠ECA∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）求∠F的度數(shù)．解：設(shè)BC與EF相交于G

由（1）可知△ACE≌△DCB∴∠1＝∠2∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°而∠BGF＝∠AGC∴∠F＝∠BCE＝60°；（3）若AD⊥BD請(qǐng)直接寫出線段EF與線段BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系．解：EF＝BD+2DF

理由如下：∵AD⊥BD∴∠ADF＝90°

∵∠F＝60°∴∠DAF＝30°

∴AF＝2DF

∵△ACE≌△DCB∴AE＝BD

∴EF＝AE+AF＝BD+2DF．【四】如圖①在等邊△ABC中

線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)

以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE連結(jié)BE．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)（如圖①）則AD

=

BE（填“＞”“＜”或“=”）∠CAM=

30

度；解：∵△ABC與△DEC都是等邊三角形

∴AC=BCCD=CE

∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE；∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC=60°．∵線段AM為BC邊上的中線∴∠CAM=1/2∠BAC

∴∠CAM=30°（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖②）直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，求∠AOB的度數(shù)；解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°

∵∠ACD=∠ACB+∠DCB，∠BCE=∠DCE+∠DCB

∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAD=∠CBE∵∠AMC=∠BMO∴∠AOB=∠ACB=60°；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在線段AM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)求出∠AOB的度數(shù)，若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：不變，理由如下：∵點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上且△ABC與△DEC都是等邊三角形∴AC=BC

CD=CE

∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°∴∠ACD=∠BC