安徽省亳州市普通高中2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題高考

試卷第頁，共SECTIONPAGES頁絕密★啟用前安徽省亳州市普通高中2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，則的共輒復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．直線：被圓：截得的最短弦長為（）A．1 B． C．2 D．5．某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為），則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且滿足.若橢圓的離心率為，則的余弦值為（）A． B． C． D．7．設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．9．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知斜率為的直線分別交雙曲線的左?右支于點M，N，線段MN的中點為P，若OP（點О為坐標(biāo)原點）的斜率為2，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．11．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，數(shù)列的前項和為，則滿足的的最小值為（）A．12 B．7 C．6 D．112．已知，若時，恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，在平面四邊形ACDE中，點B在邊AC上，是等腰直角三角形，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則___________.14．為了解某校1200名高一學(xué)生的身高狀況，按性別比例采用分層抽樣的方法從中抽取50人進行調(diào)查，若樣本中男生比女生多10人，則該校高一學(xué)生中女生的人數(shù)為___________.15．已知點A，B，C，D均在球О的球面上，且球心О在線段AD上，若球О的表面積為，是面積為的等邊三角形，則三棱錐的體積為___________.16．已知數(shù)列滿足，，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題17．在等差數(shù)列中．，．(1)求的通項公式：(2)記的前項和為，求滿足的的最大值．18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求角C；(2)若的外接圓半徑為2，求面積的最大值.19．如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，平面平面，是的中點，.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.20．如圖所示，兩村莊和相距，現(xiàn)計劃在兩村莊外以為直徑的半圓弧上選擇一點建造自來水廠，并沿線段和鋪設(shè)引水管道.根據(jù)調(diào)研分析，段的引水管道造價為萬元，段的引水管道造價為萬元，設(shè)，鋪設(shè)引水管道的總造價為萬元，且已知當(dāng)自來水廠建在半圓弧的中點時，.(1)求的值，并將表示為的函數(shù)；(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由.21．已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點，且線段AB中點的橫坐標(biāo)為6.(1)求拋物線方程；(2)若直線，且交拋物線于C，D兩點，為坐標(biāo)原點且，求的面積.22．已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)設(shè)，若當(dāng)時，，求的最小整數(shù)值.試卷第頁，共SECTIONPAGES頁參考答案：1．D求出集合、，，再由交集的運算可得答案.解：設(shè)集合，，則，所以.故選：D.2．B先利用復(fù)數(shù)除法運算得到，進而求出的共軛復(fù)數(shù).解：，則.故選：B3．B由三角函數(shù)的二倍角公式即可判斷兩條件之間的邏輯關(guān)系.解：由，可得，解之得由，可得則“”是“”的必要不充分條件故選：B4．C首先確定直線過的定點，然后明確直線何種情況下被圓截得的弦長最炫，由此計算即可.解：直線：即為，當(dāng)時，，故直線線過定點，設(shè)該點為P,又，故點在圓內(nèi)，當(dāng)圓心和P點連線垂直于直線l時，l被圓解得的弦長最短，而即，半徑，圓心為,故,故弦長為，故答案為：2.5．C由三視圖還原幾何體為三棱錐，確定棱錐底面積和高之后，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果.解：由三視圖知，原幾何體是棱長為的正方體中的三棱錐，且，由正方體的性質(zhì)可知：，三棱錐的底面上的高為，該幾何體的體積為.故選：C.6．D由已知得出，可求得，再利用余弦定理可求得的余弦值.解：由已知可得，則，，則，由余弦定理可得.故選：D.7．D由利用指數(shù)的性質(zhì)可判斷A；當(dāng)時可判斷B；由得可判斷C；作差比較大小可判斷D.解：因為，所以，所以，故A錯誤；因為，當(dāng)時，，故B錯誤；由，且時，，所以，故C錯誤；因為，所以所以，故D正確.故選：D.8．C根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性先比較、、的大小，再利用的奇偶性、單調(diào)性可得答案.解：，，，只需判斷，，的大小即可，，，，所以，當(dāng)時，都為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在時為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以為偶函數(shù)，所以，故選：C.9．A分析可知對任意的恒成立，利用參變量分離法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得實數(shù)的取值范圍.解：因為，則，由題意可知，對任意的，，即，令，則，因為函數(shù)、在上均為減函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，故.故選：A.10．B設(shè)，,則由題意可得，，再將坐標(biāo)代入雙曲線方程中，兩式相減化簡可得，從而可得，進而可求出離心率解：設(shè)，,則，，因為OP（點О為坐標(biāo)原點）的斜率為2，所以，所以，因為在雙曲線上，所以，，兩式相減得，所以，所以，所以，所以，，所以離心率為，故選：B11．A先求出，得到，求出數(shù)列的前項和為，解不等式即可求解.解：因為數(shù)列的前項和為滿足，所以.當(dāng)n=1時，；當(dāng)時，；經(jīng)檢驗，對n=1也成立，所以.所以，所以數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項和為.由可得：，解得：（舍去）.所以的最小值為12.故選：A.12．C構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解出，兩邊取對數(shù)，進行參變分離，求導(dǎo)后求出最值，得到答案.解：令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為，，所以，，因為，所以，兩邊取對數(shù)得，即，故，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上取得最大值，，故，綜上：的最小值為.故選：C.結(jié)合不等式特點，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)不等式問題，要利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合參變分離及最值問題處理恒成立問題.13．-1以B為原點，分別為x、y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求解.解：如圖示，以B為原點，分別為x、y軸正方向建立直角坐標(biāo)系.則、、、，所以，，所以.故答案為：-114．480根據(jù)分層抽樣直接求解即可解：由抽取樣本50人中，男生比女生多10人，可得樣本中男生30人，女生20人，男女生比例為3：2，所以該校高一學(xué)生中女生的人數(shù)為.故答案為：48015．判斷出AD為球О的直徑，由面積分別求出，.利用判定定理證明出面OBC，求出，即可求出三棱錐的體積.解：點A，D均在球О的球面上，且球心О在線段AD上，所以О為線段AD的中點.因為球О的表面積為，設(shè)球的半徑為R，則，解得：，所以.又是面積為的等邊三角形，所以，解得：.因為AD為球的直徑，所以，由勾股定理得：，,所以均為等腰直角三角形，所以且，又，所以面OBC.在△OBC中，，，所以，所以，所以，所以三棱錐的體積為.故答案為：16．分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得，由參變量分離法可得出，利用數(shù)列的單調(diào)性求得數(shù)列的最大項的值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍.解：當(dāng)時，在等式兩邊同時除以可得且，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，，因為對任意恒成立，即，令，則.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.故數(shù)列中的最大項為，，解得.故答案為：.17．(1)(2)（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念及通項公式可得基本量，進而可得解.（2）利用等差數(shù)列求和公式計算，解不等式即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為；(2)由（1）得，所以，解得，所以的最大值為.18．(1)(2)（1）利用正弦定理得到，從而得到；（2）利用正弦定理得到，根據(jù)余弦定理和基本不等式求出，進而求出面積的最大值.(1)因為，所以，由正弦定理得：，因為，所以，故，，因為，所以(2)根據(jù)正弦定理得：，解得：，根據(jù)余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以面積的最大值為19．(1)證明見解析；(2)（1）由，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)中點平面，進而證得；（2）取的中點，連接，可得，以為原點建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.(1)證明：因為是等邊三角形，且是的中點，所以，又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又由平面，所以.(2)解：取的中點，連接，、分別為、的中點，則，，則，又因為平面，以為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為且是等邊三角形，可得,可得，則，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，即，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，即，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20．(1)，，其中；(2)存在，且的最大值為.（1）求得，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，根據(jù)題意得出，將代入函數(shù)解析式可求得的值，由此可得出表示為的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.(1)解：因為為半圓弧的直徑，則，則，由題意可得，可得，所以，，其中，當(dāng)點在的中點時，，此時，解得，因此，，其中.(2)解：因為，其中，則，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取最大值，即.21．(1)(2)（1）設(shè)直線l為：，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)線段AB中點的橫坐標(biāo)為6求出p；（2）設(shè)直線m：，設(shè)，，利用“設(shè)而不求法”求出弦長，利用點到直線的距離公式求出高，即可求出面積.(1)拋物線的焦點為，所以過點F且斜率為1的直線l可設(shè)為：.設(shè)，，則，消去y可得：.因為線段AB中點的橫坐標(biāo)為6，所以，解得：p=4.所以拋物線方程為：.(2)由直線，可設(shè)直線m：.設(shè)，，則，消去y可得：.所以，，.因為為坐標(biāo)原點且，所以，解得：（不符合，舍去）.所以直線m：.弦長.而到直線m：的距離d，所以的面積為22．(1)；(2)的最小整數(shù)值為.（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最