幾何與向量代數(shù)拓展

1第八章

空間解析幾何與向量代數(shù)2第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一、向量概念1.向量:既有大小,又有方向的量,稱為向量(或矢量).用一條有方向的線段來表示向量.2.向量的幾何表示法以線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,

AB特別:模為1的向量稱為單位向量.

模為0的向量稱為零向量.記為,它的方向可以看作是任意的.有向線段的方向表示向量的方向.以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的向量,記為或.AB向量

的大小叫做向量的模.記為

或.

ABAB||||33.自由向量自由向量:只有大小、方向,而無特定起點(diǎn)的向量.具有在空間中可以任意平移的性質(zhì).大小相等且方向相同,4.向量相等即通過平移可以使它們重合,45.向量平行(或共線)6.向量共面當(dāng)把若干個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起時(shí),若它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上,則稱這些向量共面.

如果兩個(gè)向量與的方向相同或相反,稱為平行,記為‖51.向量的加減法(1)平行四邊形法則(2)三角形法則向量的加法二、向量的線性運(yùn)算6向量加法的運(yùn)算規(guī)律:(1)交換律:

(2)結(jié)合律:7向量的減法(2)向量減法.規(guī)定:(1)負(fù)向量:與模相同而方向相反的向量,稱為的負(fù)向量,記作.將之一平移,使起點(diǎn)重合,由的終點(diǎn)向的終點(diǎn)作一向量,即為

82.向量與數(shù)的乘法定義模:

當(dāng)

>0時(shí),

當(dāng)

<0時(shí),

當(dāng)

=0時(shí),

設(shè)

為實(shí)數(shù).

規(guī)定:向量與數(shù)

的為一個(gè)向量.方向:9向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律:(1)結(jié)合律:(2)分配律:定理向量的單位化:

10試用向量證明三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊,且其長(zhǎng)度等于第三邊的一半.

例1證ABCDE所以所以且11定點(diǎn)橫軸縱軸豎軸空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.即以右手握住

z軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指度轉(zhuǎn)向

y軸正向時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向.從

x

軸正向以角三、空間直角坐標(biāo)系12Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ13空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)一個(gè)分量為零:點(diǎn)在坐標(biāo)面上.

兩個(gè)分量為零:點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.

14向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)1.起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量(向徑)OM設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)zijkMoxyCABzyxN以

分別表示沿x,y,z軸正向的單位向量,稱為基本單位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC稱OA、OB、OC分別是OM在x軸,y軸,z軸上的分向量,而x,y,z,分別是OM在三坐標(biāo)軸上的投影,稱為OM的坐標(biāo).簡(jiǎn)記為

,此稱為向量

的坐標(biāo)表示式.15向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影2.起點(diǎn)不在原點(diǎn)O的任一向量設(shè)點(diǎn)M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)16四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算17兩向量平行的充要條件.即ax

=

bx,ay

=

by,az

=

bz,于是即對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例.注:在上式中規(guī)定,若某個(gè)分母為零,則相應(yīng)的分子也為零.已知設(shè)且

為常數(shù),18設(shè)為直線上的點(diǎn)，例2解由題意知：1920五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式

由勾股定理知，此即向量模的坐標(biāo)表示.

21POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N為空間兩點(diǎn),則由此得到兩點(diǎn)間的距離公式：

22

在z軸上求與兩點(diǎn)A(4,1,7)和B(3,5,

2)等距離的點(diǎn).設(shè)該點(diǎn)為M(0,0,z),由題設(shè)|MA|=|MB|,即解得即所求點(diǎn)為例3解232.方向角與方向余弦空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.

特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.AOB或.24非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.25非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.向量方向余弦的坐標(biāo)表示式26方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟?7

已知兩點(diǎn)M1(2,2,)和M2(1,3,0).計(jì)算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.例4解M1M2={1,1,}模:方向余弦:方向角:283.向量在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影29空間一向量在軸上的投影30關(guān)于向量的投影定理(1)證31兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影之和.

關(guān)于向量的投影定理(2)（可推廣到有限多個(gè)）32關(guān)于向量的投影定理(3)33sF解:由物理知,與位移平行的分力作功,與位移垂直的分力不作功.于是第二節(jié)數(shù)量積向量積混合積一、兩向量的數(shù)量積(ScalarProduct)例如:設(shè)力F作用于某物體上,物體有一段位移S,求功的表示式.34數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.定義35關(guān)于數(shù)量積的說明：證證36數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：37利用向量證明三角形的余弦定理例1證38例2證所以39數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)40兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為41例3解42利用向量的方法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn).

例4證43二、兩向量的向量積(VectorProduct)先研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的力矩M的方向:垂直于OP與F所在的平面,指向使OP、F與M滿足右手規(guī)則.44定義向量積也稱為“叉積”、“外積”.

45注:（1）向量積的模的幾何意義.46向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)：注意次序47向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)48向量積還可用三階行列式表示49例5解50三角形ABC的面積為例5解51三、向量的混合積(TripleScalar

Product)定義設(shè)--混合積的坐標(biāo)表達(dá)式52（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說明：53解例654ABCD例7解55式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.ABCD56向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）小結(jié)57

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．已知平面的法線向量為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為第三節(jié)平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程且過點(diǎn)求平面方程.58—平面的點(diǎn)法式方程59解例1化簡(jiǎn)得所求平面方程為由平面的點(diǎn)法式60取所求平面方程為化簡(jiǎn)得解例2BCA61——稱為平面的三點(diǎn)式方程

62所以所求平面的法向量為化簡(jiǎn)得所求平面方程為解例3兩平面的法向分別為63二、平面的一般方程前面看到,平面可用三元一次方程表示；反之,任一三元一次方程

（*）

當(dāng)

A,B,C不全為零時(shí),表示一張平面,

它的法向?yàn)?/p>

（*）稱為平面的一般方程.

64平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.65解例4求通過x軸和點(diǎn)(4,3,1)的平面方程.由于平面過x軸,所以A=D=0.設(shè)所求平面的方程為By+Cz=0,又點(diǎn)(4,3,1)在平面上,所以

3B

C=0,

C=

3B,所求平面方程為By

3Bz=0,所以所求平面方程為66設(shè)平面方程為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解例567代入即得所求方程為平面的截距式方程oyPxzQR68把平面方程化為截距式解例669兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.定義（通常取銳角）三、兩平面的夾角70按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//71解例7兩平面的法向分別為72解例8判斷下列各組平面的位置關(guān)系:

兩平面平行兩平面平行但不重合．解73兩平面平行兩平面重合.解74解例9所求平面的法向?yàn)榛?jiǎn)得75解例10設(shè)所求方程為76解四、點(diǎn)到平面的距離而77——點(diǎn)到平面距離公式78平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程.一般方程.截距式方程.（注意兩平面的位置關(guān)系）小結(jié)79定義空間直線可看成兩個(gè)不平行平面的交線．空間直線的一般方程第四節(jié)空間直線及其方程一、空間直線的一般方程80方向向量的定義：如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量．//二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程81直線的對(duì)稱式方程(或點(diǎn)向式方程)此時(shí)直線與x軸垂直；

82令直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程83解例1——直線的兩點(diǎn)式方程

方向向量為所以所求直線方程為84所以交點(diǎn)為取所求直線方程解例2因?yàn)橹本€和y軸垂直相交,85解例3將直線一般式化為對(duì)稱方程及參數(shù)方程：

先在直線上找一點(diǎn):令解得86再求方向向量:參數(shù)方程為87

定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角.（通常取銳角）兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角s1s288兩直線的位置關(guān)系：//直線直線例如，89解例490定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．^^四、直線與平面的夾角91直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關(guān)系：//92判定下列各組直線與平面的關(guān)系:又點(diǎn)M0(3,4,0)在直線L上,但不在平面上,所以L與

平行,但不重合.解例5L的方向向量

的法向量所以

L與

平行.93判定下列各組直線與平面的關(guān)系:解例5L的方向向量

的法向量所以

L與

垂直.94為所求夾角．解例695解例7例8解方向向量96例9解97例9解所求直線為過點(diǎn)A,B的直線：

98五、平面束方程設(shè)兩張平面相交于直線L,則過L的平面束可表示為

99例10解先求

L的方向向量：

方法1100例10方法1101例10方法2設(shè)過直線

L的平面束方程為

以下同方法1.102六、點(diǎn)到直線的距離

解所以

103例11解104空間直線的一般方程.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角.直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）小結(jié)105F(x,y,z)=0

Sxyzo一、曲面方程的概念定義:若曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系:(1)S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0;(2)坐標(biāo)滿足方程F(x,y,z)=0的點(diǎn)都在S上;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形

.第五節(jié)曲面及其方程106研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知曲面方程，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，求曲面方程．107

M0

M

R例1解以下給出幾例常見的曲面.根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為108例2解方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．109定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放二、旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲線稱為該旋轉(zhuǎn)曲面的母線.110旋轉(zhuǎn)過程中的特征：將代入母線:111將代入得方程112所以圓錐面方程為例4解113例5114115例6116定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.三、柱面播放117xyzo例如:考慮方程x2+y2=R2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原點(diǎn)O為圓心,半徑為R的圓.曲面可以看作是由平行于

z

軸的直線L沿xoy面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成,稱該曲面為圓柱面.ol118畫出下列柱面的圖形:拋物柱面平面119二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之．相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線(即截痕)的形狀,

然后加以綜合,

從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種常見的二次曲面．四、二次曲面120zxyO1

用坐標(biāo)面z=0,

x=0和y=0去截割,分別得橢圓(1)橢球面121zxyO(1)橢球面2

用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時(shí),|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).122橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面球面球面方程可寫為123xyzozxyo(2)橢圓拋物面124xyzo(2)橢圓拋物面特殊情況：--旋轉(zhuǎn)拋物面.125(3)橢圓錐面特殊情況：--圓錐面.126(4)單葉雙曲面

xyoz(5)雙葉雙曲面xyo127(6)雙曲拋物面(馬鞍面)xyzo128橢圓柱面還有三種以二次曲線為準(zhǔn)線的柱面：拋物柱面雙曲柱面129第四節(jié)空間曲線及其方程曲線上的點(diǎn)都滿足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：一、空間曲線的一般方程130方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.例1131方程組