4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第1課時(shí)）課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

第一課時(shí)

(等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式)一、探究新知

前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式,下面我們將利用這些知識解決等差數(shù)列的求和問題.

我們從高斯的一個(gè)故事開始.

據(jù)說，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題:

1+2+3++-.+100=?

當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案:

高斯(Gauss,1777-1855)，德國數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.他在天文學(xué)、大地測量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)城都作出過杰出貢獻(xiàn).高斯十歲時(shí)，有一次老師出了一道題，老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”過了一會兒，正當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時(shí)，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050．”

老師問：“你是如何算的？”

高斯回答說：“1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)

=101×50=5050”.

高斯的這種算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1,2,3,…,n,…前100項(xiàng)的和的問題.

你能說說高斯在求和過程中利用了數(shù)列1,2,3,…,n,…的什么性質(zhì)嗎?你能從中得到求數(shù)列1,2,3,…,n,…的前n項(xiàng)和的方法嗎?一、探究新知

對于數(shù)列1,2,3,…,n,…，設(shè)an=n，那么高斯的計(jì)算方法可以表示為:

(a1+a100)+(a2+a99)+…+(a50+a51)=101×50=5050.

將上述方法推廣到一般，可以得到:

你能用高斯的方法求1+2+3+…+100+101嗎?一、探究新知

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，有

于是Sn=1+2+3+…+n=

=(1+n)+(1+n)+…+(1+n)=

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，有Sn=1+2+3+…+n=(1+n)+(1+n)+…+(1+n)+

所以，對任意正整數(shù)n，都有:Sn=1+2+3+…+n=

我們發(fā)現(xiàn)，在求前n個(gè)正整數(shù)的和時(shí),要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，比較麻煩，能否避免分類討論?對Sn=1+2+3+…+n=變形可得：2Sn=2(1+2+3+…+n)=n(1+n)它相當(dāng)于兩個(gè)Sn相加，而結(jié)果變成n個(gè)(n+1)相加.受此啟發(fā)，我們得到下面的方法:Sn=1+2+3+…+nSn=n+(n-1)+(n-2)+…+1兩式相加得2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+…+(1+n)

=(1+n)+(1+n)+…+(1+n)=n(n+1)所以Sn=1+2+3+…+n=.“倒序相加”法一、探究新知

上述方法的妙處在哪里?這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和嗎?Sn=a1+

a2+…+anSn=an+an-1+…+a1兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)

將左邊公式變形可得所以

就是等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的平均數(shù).實(shí)際上，我們就是利用等差數(shù)列的這一重要特性來推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和的.你還能發(fā)現(xiàn)這一特性的一些應(yīng)用嗎?一、探究新知二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式：

對于等差數(shù)列{an}，利用上面公式，只要已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an,就可以求得前n項(xiàng)和sn,另外，如果已知首項(xiàng)a1和公差d,那么這個(gè)等差數(shù)列就完全確定了，你能用a1和d來表示Sn嗎？

不從第一個(gè)公式出發(fā),你能用其他方法得到第二個(gè)公式嗎?三、典型例題例1已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

(1)若a1=7，a50=101，求S50；

(2)若a1=2，a2=

，求S10；

(3)若a1=

，d=

，Sn=-5,求n.

對于等差數(shù)列{an}的相關(guān)量a1,an，d,n,Sn，已知幾個(gè)量就可以確定其他量?例2已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.

由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?

一般地，對于等差數(shù)列，只要給定兩個(gè)相互獨(dú)立的條件,這個(gè)數(shù)列就完全確定.三、典型例題例3已知等差數(shù)列{an}前四項(xiàng)和為21，最后四項(xiàng)的和為67，所有項(xiàng)

的和為286，求項(xiàng)數(shù)n.三、典型例題四、課堂小結(jié)1.