四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)校高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文）試題

高中2021級(jí)高三第四學(xué)月測(cè)試數(shù)學(xué)（文）本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁(yè)；答題卡共6頁(yè).滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫(xiě)清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號(hào)準(zhǔn)確填涂在“考號(hào)”欄目?jī)?nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.1.集合，則間的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求解兩個(gè)集合，再判斷集合的關(guān)系.【詳解】，得，則，，得，則，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)即可排除ABC，結(jié)合奇偶性的判定即可求解D.【詳解】對(duì)于A，為單調(diào)遞增函數(shù)，故不符合題意，對(duì)于B，為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不符合題意，對(duì)于C，為內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故不是奇函數(shù)，故不符合題意，對(duì)于D，為上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，故為奇函數(shù)，D正確，故選：D4.與曲線(xiàn)共焦點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由與橢圓共焦點(diǎn)得到，且焦點(diǎn)在軸上，從而巧設(shè)所求雙曲線(xiàn)為，利用即可得解.【詳解】因曲線(xiàn)為橢圓，焦點(diǎn)在軸上，且，又因?yàn)樗箅p曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)，所以設(shè)所求雙曲線(xiàn)為，即，則，解得，所以所求雙曲線(xiàn)為.故選：A.5.2022年11月，國(guó)內(nèi)豬肉、雞蛋、鮮果、禽肉、糧食、食用油、鮮菜價(jià)格同比（與去年同期相比）的變化情況如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.豬肉、雞蛋、鮮果、禽肉、糧食、食用油這6種食品中，食用油價(jià)格同比漲幅最小.B.這7種食品價(jià)格同比漲幅的平均值超過(guò)C.去年11月鮮菜價(jià)格要比今年11月低D.豬肉價(jià)格同比漲幅超過(guò)禽肉價(jià)格同比漲幅的5倍【答案】B【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算可得答案.【詳解】由圖可知，糧食價(jià)格同比漲幅比食用油價(jià)格同比漲幅小，故A不正確；這7種食品價(jià)格同比漲幅的平均值為，故B正確；因?yàn)轷r菜價(jià)格同比漲幅為，說(shuō)明去年11月鮮菜價(jià)格要比今年11月高，故C不正確；豬肉價(jià)格同比漲幅為，禽肉價(jià)格同比漲幅為，，故D不正確.故選：B.6.已知角，滿(mǎn)足，，則（）A. B.1 C.－3 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，即可求解.【詳解】.故選：C7.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A.5 B.6 C.10 D.15【答案】A【解析】【分析】利用極值點(diǎn)的定義得到，再利用等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以是的兩根，所以，又，則，故選：A.8.已知圓和直線(xiàn)，則圓心C到直線(xiàn)l的最大距離為（

）A.1 B.2 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的方程和直線(xiàn)方程可得圓心坐標(biāo)，以及直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)，然后結(jié)合圖形可得.【詳解】將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以圓心為，直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為Q，當(dāng)CP不垂直l時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，，所以圓心C到直線(xiàn)l的最大距離為.故選：D9.甲、乙兩同學(xué)對(duì)同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，甲同學(xué)得到的數(shù)據(jù)均值為，方差為，乙同學(xué)不小心丟掉了一個(gè)數(shù)據(jù)，得到的均值仍為，方差為2，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系無(wú)法判斷【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)知丟失數(shù)據(jù)為，結(jié)合方差公式有，即可得答案.【詳解】由題意知，丟失的數(shù)據(jù)為，才可保證甲乙得到的均值相等，結(jié)合方差公式，，所以乙所得方差，即.故選：C10.設(shè)，是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若雙曲線(xiàn)的離心率為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)以及橢圓的定義，以及在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理建立關(guān)于雙曲線(xiàn)和橢圓離心率的方程解出即可.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線(xiàn)定義得：，，設(shè)，則在中由余弦定理得：，即化簡(jiǎn)得：，所以，又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以橢圓的離心率為，故選：B11.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，以及求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解相應(yīng)不等式.【詳解】，，為奇函數(shù)，則，，，，為減函數(shù)，又，則，，或.故選：C12.已知過(guò)點(diǎn)作的曲線(xiàn)的切線(xiàn)有且僅有兩條，則的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)斜率，再構(gòu)造函數(shù)把有兩條切線(xiàn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)解決問(wèn)題即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題意得，所以，整理得，此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減,且．，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,故．故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填答題卷的橫線(xiàn)上.13.若x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是__________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意，做出可行域，結(jié)合圖像，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，做出可行域，如圖中陰影部分．由，得，則求z的最大值，需求的最小值．向右下方平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，．故答案為：114.用系統(tǒng)抽樣的方法從全校800人中抽取40人做問(wèn)卷調(diào)查，并將他們隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，3，…，799，已知第一組中采用抽簽法抽到的號(hào)碼為15，則第三組抽取到的號(hào)碼是___________.【答案】【解析】【分析】求出抽樣間隔為：，由此利用第一組中采用抽簽法抽到的號(hào)碼為15，能求出第三組抽取到的號(hào)碼．【詳解】解：用系統(tǒng)抽樣的方法從全校800人中抽取40人做問(wèn)卷調(diào)查，并將他們隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，3，，799，抽樣間隔為：，第一組中采用抽簽法抽到的號(hào)碼為15，第三組抽取到的號(hào)碼．故答案為：．15.已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】先判斷點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，利用橢圓定義將轉(zhuǎn)化為求出最大值即可.【詳解】由題意，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，由于滿(mǎn)足：，故在橢圓內(nèi)部，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，由于動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則，從而，因?yàn)?，?dāng)共線(xiàn)，且在線(xiàn)段上時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故答案為：16.已知函數(shù)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先作出函數(shù)的圖象，不妨設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性可以得到，再求出，，即得解.【詳解】設(shè)，根據(jù)函數(shù)的圖象及對(duì)應(yīng)的方程，不妨設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)可以得到，由圖象可知，與在部分的交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿(mǎn)足，所以，所以，令，，則當(dāng)，時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以，，所以，．故答案為：三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17.某語(yǔ)文報(bào)社為研究學(xué)生課外閱讀時(shí)間與語(yǔ)文考試中的作文分?jǐn)?shù)的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了本市某中學(xué)高三文科班名學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）與高三下學(xué)期期末考試中語(yǔ)文作文分?jǐn)?shù)，數(shù)據(jù)如下表：123456384043455054（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出高三學(xué)生語(yǔ)文作文分?jǐn)?shù)與該學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)某學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間為小時(shí)時(shí)其語(yǔ)文作文成績(jī)；（2）從這人中任選人，這人中至少有人課外閱讀時(shí)間不低于小時(shí)的概率.參考公式：，其中，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1）；預(yù)測(cè)某學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間為小時(shí)時(shí)其語(yǔ)文作文成績(jī)?yōu)椋?）【解析】【分析】(1)根據(jù)所給的公式計(jì)算對(duì)應(yīng)的量,,,再代入公式求解可求得線(xiàn)性回歸方程.再令即可求得預(yù)測(cè)值.(2)設(shè)這人閱讀時(shí)間依次為、、、、、的同學(xué)分別為、、、、、,再枚舉出所有可能的情況,分析其中至少有人課外閱讀時(shí)間不低于小時(shí)的情況數(shù),再根據(jù)古典概型的公式求解概率即可.【詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算,,.,∴關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為：,當(dāng)時(shí),.預(yù)測(cè)某學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間為小時(shí)時(shí)其語(yǔ)文作文成績(jī)?yōu)?（2）設(shè)這人閱讀時(shí)間依次為、、、、、的同學(xué)分別為、、、、、,從中任選人,基本事件是、、、、、、、、、、、、、、共種,其中至少人課外閱讀時(shí)間不低于小時(shí)的事件是、、、、、、、、、共種,故所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)性回歸方程的求解以及實(shí)際運(yùn)用,同時(shí)也考查了利用枚舉法解決古典概型的方法.屬于基礎(chǔ)題.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）若的外接圓半徑為2，且，求ac．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由余弦定理化角為邊得，再利用余弦定理求解角；（2）由，得，利用兩角和余弦得，由已知的外接圓半徑利用正弦定理化角為邊得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，整理得，所以，又因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，，即．又因?yàn)?，所以．因?yàn)榈耐饨訄A半徑，由正弦定理，得，所以，解得．19.已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）求得，得到，進(jìn)而求得，結(jié)合題意，轉(zhuǎn)化為即恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：由，可得，整理得為常數(shù)，又由，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，所以，又由，則，因?yàn)槿粼谏虾愠闪?，即，所以，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成成立，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；（2）若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)在上的值域；（2）由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，又，所以在上的值域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則問(wèn)題等價(jià)于在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，易求，因?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)椋?，所以在上，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在上僅有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論要做到不重不漏.21.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離不大于3.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)距離最短時(shí)，求所在直線(xiàn)方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出點(diǎn)，再代入拋物線(xiàn)，求出的值即可；（2）先設(shè)出直線(xiàn)與兩點(diǎn)，聯(lián)立后得到韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求出直線(xiàn)中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離的最值，最后求出直線(xiàn)方程即可.【小問(wèn)1詳解】依題意得，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離不大于3，所以，設(shè)，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得，解得，因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)，所以即，解得或（舍），所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖所示，根據(jù)題意直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)中點(diǎn)，由，，，所以，則所以，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于，所以當(dāng)最小時(shí)，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離最短.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，解得，則.所以直線(xiàn)的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的最小值本質(zhì)上是中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值，然后應(yīng)用均值不等式求最值即可.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程是．（1）在直角坐標(biāo)系中，求圓和圓的公共弦所在直線(xiàn)方程；（2）若射線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為，與圓的交點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求的面積．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）將兩圓方程化為普通方程，兩圓方程作差即可得結(jié)果；（2）在極坐標(biāo)下求的極坐標(biāo)，結(jié)合極坐標(biāo)的定義分析求解.【小問(wèn)1詳解】由圓的參數(shù)方程可得，即，圓心，半徑，由圓的極坐標(biāo)方程兩邊同乘可得，由，則，即，圓心，半徑，可知，則，所以?xún)蓤A相交，兩圓相方程作差可得，即，所以圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)的