2022年陜西省商洛市成考專升本高等數(shù)學二自考測試卷(含答案帶解析)

2022年陜西省商洛市成考專升本高等數(shù)學

二自考測試卷(含答案帶解析)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

5/1—x2djr=.

2.設y=f(x)二階可導,且f'⑴=0f(l)>0,則必有().

A.A.f(l)=0B.f⑴是極小值C.f(l)是極大值D點(l,f(l))是拐點

3.

設八①)是可導函數(shù)，且lim/屹。+2?―/(&).=1,則，(見)=

A-*On

[]

A.lB.0C.2D.1/2

4.

過曲線y=x+hu上Mo點的切線平行直線y=2x+3,則切點M。的坐標是

()O

A.d，1)

B?e)

C(1，e+1)

D(e.e+2)

._tan(x-1)

下列各對函數(shù)中相同的是f”;1

A.0

B.tanl

c.T

5.D.2

6.設z=e”,則dz=()。

A.e"dx

B.(xdy+ydx)e。

Qxdy+ydx

D.(x+y)e”

.*[X.2

XZ

設函數(shù)f(x)={X2-4*,在x=2處連續(xù)，則。=

a

7.l"2()o

1

e

i

B,8^

1

C平

242

D.

&下列函數(shù)在x=0處切線斜率不存在的是

A.A.y=xcx

y=arctanx

B.

y=4

D.

??x-l

lime=

9.—

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+oo

卜-4=()

1()A,J+CB"+CC.-J+CD—+C

11.

設函數(shù)/(工)=反三■，則limf(外是

A.0B.-1

C.1D.不存在

已知lim/(x)=A,則點X。是函數(shù)/(x)的

12.XT與

A.A.間斷點B.連續(xù)點C.可導點D.連續(xù)性不確定的點

13.設函數(shù)?(x)在x=0處連續(xù)，當x<0時,?5(x)<0；當x>0時，?,(x)>0.則

().

A.?(0)是極小值B.?(0)是極大值C.?(0)不是極值D.?(0)既是極大值又是

極小值

2x+lx<0

設/(x)=2x=0,則/(x)在x=0處是

14,伊+1x>0()o

A.連續(xù)的B.可導的C.左極限，右極限D(zhuǎn).左極限=右極限

已知/(x+1)=，則/'(x)=

A.xe*B.(x-l)exC.(x+De*D.(x+l)ex+,

15.

2x-lx<0

設函數(shù)/(x)=,2x=0，則

16,W+3x>0()

A.OB.lC.2D.4

設函數(shù)f(z)=r,，則lim仆+2個)―/(?等于

A.0

K2尸

C.61

”3〉

18.

設存在,則f（x）在沏處

XT%

A.一定有定義B.一定無定義

C.有定義且/區(qū)））=lim/（X）D.可以有定義，也可以無定義

19.若事件A與B為互斥事件，且P(A)=O.3,P(A+B)=O.8,則P(B)

等于().

A.A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

2Q當工f0時.sin3jr是2x的

A.低階無窮小量B.等價無窮小量C.同階但不等價無窮小量D.高階無

窮小量

21.

已知/■（外=也，則八x）=

X

1-lnx_1+lnx

A丁B--

lnx-1Inx-x

p?

JxJ-DxJ-

■r'-2H+A

=4■則A

22.”一3

設lim+--=6.JUa-

23.

設/tr）=g'Cr）,則下列等式中必定成立的是

24Af(T)-gix)=QB./(_r)-式r)=l

C./(jj-gtr)=cD.(J/(J-)tir)'=(jg(z)必)

25.

函數(shù)kfnQ+2）的定義域是

A.x#0且zH—2B.x>0

C.-2D.-2且《rXO

.設則

26p-2(x)=e2x+i,2(x)Ix=o=O

A.A.4eB.2eC.eD.l

設函數(shù)z=±J匕則更=

設函數(shù)/（工）=V,則limd**2Ax）-八工）等于（）.

Ax-OAx

A.OB.2x3C.6x2D.3x2

29.設f(x)的一個原函數(shù)為Xcosx,則下列等式成立的是

A.A.f(x)=xcosx

B.f(x)=(xcosx)'

C.f(x)=xcosx

D.jxcosdx=f(x)+C

30,通解為》=￡e'+Ge"的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是______

二、填空題（30題）

31.

32.

lim1

，??xy=

A-T-4-C.oD.極限不存在

33函數(shù)y=疹募在區(qū)間卜I,1］上的最大值是

34.

設H=R{-歲，貝聰=--------■

35.

設f（x）是可導的偶函數(shù)，且r（f）=AwO,則/'（X。）=

36.當x->0時，若sin3x~xa,則a=-----------------。

37.

設〃x)=ln4,則屈--------------

\，.十4-2yn

設函數(shù)=j2x'在工=0處邊續(xù)，則。=

la,x=0

r3J

設J/(x)dr=Llnx-營+C,則/(x)

39.39

40.

41.

函數(shù)y=的反函數(shù)是

2+31

3.B.y=3廠

A?￥=3J+2

1-i

D.y=bgJ^iT

42設/(x)=(sin疝，則/‘借卜

43.設f(sinx)=cos2x,貝ljf(x)=

44若人工)=2工+3.g(工>=6Z+及,且/[8(])]二門[/(工)]?則E.

45.

H.xsin2x,

J,(---+Ddx=____________?

JT1+A

設函數(shù)fix)在工=2處連續(xù),且存在.則/(2)=_

設函數(shù),二八一％2),且fQ)可導，則dy=

47.

設區(qū)域D由*=a^j:從6>“)?》=/(I)?￥=*《］)所［11成?則【《域1)的面積為

A.￡[/(z)—<(x)]dx

D.P|/<-r)-/((J,)Idr

48(*,

49.曲線y=x3-3x2+5x-4的拐點坐標為

50.

若f(x)=x2ex,貝iJ/"(x)=?

51.

^2

設7=5皿2（奴+處），—_______________

axdy

,/(x)d-r=

52.若tanx是f(x)的一個原函數(shù)，則—

53.

函數(shù)z=2xy-3x2-+20在其定義域上

A.有極大值,無極小值B.無極大值，有極小值

C.有極大值,有極小值D.無極大值，無極小值

設/(x)=x2,g(x)=ex,則g(g(f(x)))=

I—：---

55.1^（21）

56.

57設函?ty=3”,則其單蠲遞增K間為

58.

設/G)=eSW]￡(了t=

A.er+C&=C.—e'+CD.——4-C

不工

2

59.設y=y(x)由方程xy+x=l確定，則dy/dx=o

60.已知好“七則>"=

三、計算題(30題)

61.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

62設*=皿+sim?而u=e1.v=co“,求今.

「設函數(shù)N=Hx.v)由方程N+V—乃―=0U定，求生庫.

63.?ay

64.求解微分方程iliwdy+(y-lnx)<Lr=()滿足條件>(e)=1的特解.

求不定積分/J—,<Lr.

65.Jx*yrr7r

66.求，分方程3/35工一5y'=0的通解.

設函數(shù)N=G'+y）eeY.求ck與繇.

巳如曲線y―/?讀求：

（1）曲線在點U.D處的切蚊方程與法線方程；

68.《2）曲線上騫一點處的切線與直線》-4工一1平行？

sinx

求

69.J1+sin/

J

70設z=z（x。）是由方程x+/-e*=O所確定的隱函數(shù)，求常

”I

設/(x)HR—dr■求jx/(x)dx.

71..I

72.求lan（xjz）的全微分.

73.求做分方程『一2.v'-3.v-.3,.1的通解.

74改變積分］:"J：/G~）d>+1dr,'/Q,y）dy的積分次序.

設下述積分在全平面上與路徑無關:

「4-^<x)-yjydy.

75.其中函數(shù)6工）具有連續(xù)導數(shù)?并且6。=1.求函數(shù)中（工）.

求微分方程,=七土膽的通解.

76.cosy

77.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶（如圖所示），其周長為

12m,為使窗戶的面積A達到最大，矩形的寬1應為多少？

78.求徵分方程『一2y'—3y=He’的通解.

求極限lim（J---------二）.

79.>>JIn.rx-1

t

設函數(shù)3=段”（/-1y.工山.求生辱

80.oxdy

求檄分方程*+”/的通解?

81.

求函數(shù)y='?JYTJ.的導數(shù)索?

82.

計算定積分「e-Ldx.

83.Jo

。<計算定根分1l/<Lr.

85.

1..t,-f>-</1，?的單調(diào)i('l1J(H11-

oo.

―i—r.J>0.

1+0求匕gdx.

設/(工)

了V0?

87.

88.設函數(shù)y=x4sinx,求dy.

求不定積分|ln(jr++工，)ir.

89.

90.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x.

①求曲線y=f(x)與x軸所圍成的平面圖形面積S；

②求①的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積Vx.

四、綜合題(10題)

C,證明：當1〉0時，ln(lJ)

91.I+.r

92.

過曲線y=FQ>0)上某點A作切線.若過點人作的切線,曲線y及J軸圍成

的圖形面積為之.求該圖形繞二軸旋轉(zhuǎn)一冏所得旋轉(zhuǎn)體體枳K

93求曲線y=(工一1)擰■的凹凸區(qū)間及拐點.

94.

求由曲線y=/與直線上=1.I=2及、=()由成平面圖形的面積S以及該圖形燒

.，軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

95.

設函數(shù)/(X)在閉區(qū)間［0.1］上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導且/(0)u/(I)=0.

/(f)=1,證明:存在sw(0,1)使/<e)-1.

f

96求由曲線、=1+4與、=yx所圍成的平面圖形的面枳.

97.求函數(shù)"］)=n'在定義域內(nèi)的最大值和最小仗.

?/(x)在［a.4］上連續(xù).存在m.M同個常數(shù).且脩足a44vA43證明：恒客

98.m(xl-x,)</(x,)-/(x,)<M<x,>.

99.證明方程41=2,在［0?1］上有且只有一個實根.

100.

設函數(shù)y=ar1-6axt+h在［-1.2］上的最大值為3?最小值為-29,又a>0,求a,b.

五、解答題（10題）

101.

設z=xV（jo,其中f為可微函數(shù).

證明假+2琮=3z

j-c-rd.r.

102.求」o

討論/（x）=「re'd/的單調(diào)性、極值和拐點.

103.J0

Ind+x)x

證明t當X>1時.---------->------

104.Inxl+x

設心=1，求她華譽

105.

106.

設連續(xù)函數(shù)f（H）滿足/（X）=Inx—Jj（H）dz,證明］J（z）dz=-y.

107.

計算

108」本題滿分1°分)已知函數(shù)：=Mx..>)由方程「=3+sin(zy)確定.試求力,

109.設函數(shù)y=ax3+bx+c在點x=l處取得極小值-1,且點(0,1)為該函

數(shù)曲線的拐點，試求常數(shù)a,b,c.

計"dx

Vx+1+V(x+1)3

110.

六、單選題(0題)

111.

定積分f//(V)dr等于()

A./小nirC.J：Mr)drD.^jf(x)dr

￡>

參考答案

1.71/4

2.B

根據(jù)極值的第二充分條件確定選項.

3.D

2

—stfd/-sin(r)?(y/=21rsi.

dr.0

4.A

本題將四個選項代入等式，只有選項A的坐標使等式成立.

事實上_/=]+工=2得x=l,所以y=1

5.B

6.B

設”=邛則z=e"

/dz^u*?

G=T-M=ey=ye^

duax

，dzdu

z=———=eMx=ze7

Ydu力

所以dz=^dx+半dy=ye*'dx+xe個dyue^Gdx+xdy).選B.

axdy

7.B

MJI,r4一應..X-21

因為hm—：----=hm--------------------j=--尸-=-7=

-2x-4-2(X_2)(X+2)(VX+J2)8V2

8.D

因為y=4的y'=—!尸，當x-*()+時，j1-*+oo,即y不存在.

2Vx

9.D

因為當時，—f-oo,而當X-1時，—-*4-00

x-lX-1

1I

所以當時，e百一0,而當X-1'時，e^-*+oo

1

則】ime'T不存在且不是+8,故選D.

XTI

10.C

11.D

12.D

解析：

因為lim/(x)=A中的A值不一定等于函數(shù)值/(劭)，所以在沏處的連

續(xù)性是不確定的.故選D.

13.A根據(jù)極值的第一充分條件可知A正確.

14.D

lim/(x)=lim(2x+1)=1,limf(x)=lim(x2+1)=1.故選D.

［解析］用換元法求出/(x)后再求導

用x-1換式中的X得〃x)=(x-l)eX,

._.所以/'(x)=ex+(x-l)e*=xex

1D.A

16.D

因為x=le(0,+8),所以lim/(x)=lim(x?+3)=4.故選D.

II

17.C

［解析］limf(x)的存在與函數(shù)在該點是否有定義無關！

18.B*-?0

19.C

本題考查的知識點是互斥事件的概念和加法公

事件4與B互斥，則4B=0,因此P(4B)=0.

由于P(4+B)=P(4)+P(B)-P(48),

式.即0.8=0.3+尸(8),得P(B)=0.5.故選C.

20.C

利用商的導數(shù)公式可知

(Inx)'-x-lnx-x'_1-lnx

j(JC)=

21.A解析：x2x

22.-3

23.-1

24.C

25.D

26.A

因為(x)f=f<K>(x),

所以/“用(x)=le21*',f<-)(x)=4e2^'

則(0)=4e.

27.C

28.C本題考查的知識點是函數(shù)在任意一點x的導數(shù)定義.注意導數(shù)定

義的結構式為

(Z3-0[____|

貝I]“("2'如).=lim/(x+2Ax)<x)?2

Ax-*oAxAx-02Ax

、/(*)=//2

=2/(x)-=6x,

所以選C.

29.B

30y-2y'-=0,V*-2y'-31y=0

31.

32.B

33.3

34.

-N(Z十?)

-k

［解析］由/x-jon/a),得

fX-X)(-xY=fXx)=fXx)

，

35所以f(x0)=-fX-x0)=-k

36.3

37.0

西為|幻是函數(shù)/(x)在x點的導數(shù)解析式，而函數(shù)

Axi-n>i0"*3Ax-"

/(x)=ln4是常數(shù)，常數(shù)的導數(shù)為0,故填0.

38.

1

1

39.x2lnx

40.應填1.

“0

用洛必達法則求極限.請考生注意：含有指數(shù)函數(shù)的萬型不定式極

限，建議考生用洛必達法則求解，不容易出錯！

?e*+e--2格必達法用..e'-e”洛必達法則，.e'+e',

lim------；------------^=lim---=lim----=1.

?-0t.?2x?-?2

41.C

42.

，行卜，'⑴

x--xJ+Cx--xJ+C

43.33

44.

xsm-2x

是奇函數(shù).

45.22解析：1+x2

46.1

-2xfX-x2)dx

［解析］因為丫'=八一，)(-，)'=-24［-乂2)

47所以dy=-2xf,(x2')dx

48.D

49.

令

填（I.T）.因為，"=6x-6=0.得x=l,此時y（l）=-1.所以拐點坐標為（］._［）.

fV)=2xe4+x2e1

50.(2+4x+x2)ex(2+4x+x2)ex解析：f"(A：)=(2+2x)ex+(2A+?)er=(2+4x+x2)cA

51.2abcos2(ax+by)2abcos2(ax+by)解析

dz..

—=2sin(ar+by)cos(ar+by)-a=asin2(ax+by)

dx

=acos2(ax+by),2h=labcos2(ax+by)

dxdy

52.tanx+C

53.A

2xe-

［解析)因為g(/(x))=eJ

所以?(g("x)))=2xe/

54.★

55.應填l/2tan2x+C.

用湊微分法積分.

/備招皿⑵).C

56.

arcsinx-vl-x^+C

后小信+/已出

=arcsin^--f--1-d(l-jr

2J71^7

=arcsinJ:-5/1-x;+C

57(-oc.O](-oc.O]

58.C

.l-±-l-±

59.一，

60.

【答案】應故4(z-l)e”’.

求出y',化簡后再求)，”更簡捷.

y*=e'1'-2xe-3,=(l-2x)e'1",

y"=-2e"'-2(l-2x)e"=4(x-l)e".

6

.

山

-=夏

dx2X

dz2y得駐點（O.-i）.

--

dr0,

因為=2,

(o.-n

所以B：-AC=-4<0,且4=2>0.從而可知式0.-1）=-|為極小值.

d1zdzdu.dzdv.dzdzdzd1u.dzdv

■■SSZ，~T—?■■?■---■■-f-■■■-----——

d/dudtdvd/dtd7dud/dvdtdt

=vef—“sin/+cos/=ve1—wsin?+cos/

=/COW-ersinZ+cos/=e*cos/-e*sin/+cos/

62.=er(cos/—sin/)+cos/.=er(cos/—sin，)+cos/

2

設F(z.y.z)=*"+—Xyz,則

2l2

F,=2.r-yz.F,=3y-JTZ?Ft=—2xyz.

又_F,_2z—yz?dz____3——JX?

63.drF,2xyzdyF,2.ryz

設F(x,y,r)=x2+>3—I、/,則

F,=2.r-yz2,F,=3yl-xz1,F,=-2xyz.

生__&=紅二區(qū).在=一處=3y一*.

drF,2xyzdyF,2xyz

將微分方程改寫為半=L

d;rjln-rx

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

y—[j—+C

—Injdj+C

x

1,,C

將y(e)=1代入.解得C=*.所以特解為

2

y(后+白卜

64.2

將微分方程改寫為學+=L

axxlnj*x

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

V=?七必「『—ef^^da-+C

1JX

=亡(13"+。)

1,,C

=21nx+危，

將y(e)=1代人.解得O=孑.所以特解為

V=耳皿+之)?

I—三5上工1f一J—…

=[^-d/=I"-3r-d(sin/)

Jsm1/Jsin”，

——+c?^^-A±Z+c.

65.Rin/x

[____L二dr也F—-------?sec:tdt

Jtant?sec/

rcosz」，=[-rk-d(sinr)

Jsin2t

=一工+C，?同代Jl+3,一

'L??

sin/X

原方程變形為

5翌=3x2+5_r.

ar

分離變it得

5d>=OJ44-5x)dr?

積分得

5y?x1+x*4-C|,

故通解為

y=#+#+c

66.

原方程變形為

分離變fit得

4

5dly=（3J+5x）<Lr.

積分得

5,=X1+"|工，+G,

故通解為

尸“+獷+c

67.

V嘉=2_re“7-（/+/）e….J,（一步）=⑵+y）e-P,

第=2ye4—3+yDe?|]^7Z|'<j）=

（2y-.rWT,

.'?ch=eg哼[（2jr+y）cLr+（2y-T）dy].

=eg喈-（2x+y）e皿叱y.（1）=Z.

dxdy"1+白xxl+y

??,嘉=2j-e7-（X1+/）e2十J在川?（一,）=（2i+y）e2呼.

||m2yL*-（x2+y）e（+）=

（2^-.r）e,

?'.dz=e?m*^[（2z+y）dx+（2>-

嘉=e-「⑵+小“t|r7z|-（j）=:

-xy-x,.OT?.x

/+/e,

68.

（1）根據(jù)號數(shù)的幾何意義,曲線y=xJ在點（1.D處切線的斜率為

Hi=2.

曲線y=在點（1?D處法線的斜率為

所以切線方程為y-I=2（x-l）,

即

21一y-100?

則法線方程為y-\

即

工+2y—3=Oi

（2）設所求的點為M“（心,%）.曲線y=二在點（工。~。）處切線的斜率為

yI=2x1=2-r。.

'，■”?，一，0

切線與直線、=。一1平行時,它們的斜率相等，即24=4.所以4=2,此時*=4,故在

點M,,（2.4）處的切線與直線y=4，-1平行.

<1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義,曲線y=/在點（1?1）處切線的斜率為

曲線y=/在點（l?D處法線的斜率為

所以切線方程為y-I=2(x-l),

即

2i-y-1=0.

則法線方程為y—1=一y(x—1).

即

?r+2y—3=0>

<2）設所求的點為MJ打.”）,曲線y=x1在點（見~。）處切線的斜率為

yI==2*°.

切線與直線、=。一1平行時,它們的斜率相等,即21。=4,所以工.=2.此時泗=4.故在

點M,（2.4）處的切線與直線y=4l-1平行.

被積函數(shù)分子分砥同乘(l-du)，得

X1二抖L=［更竽&-ftan^dx

1-mnxJconxJ

工_jdcQ>—f<sec2JT—l)(Lr

Jcos7xJ

—-------fsec1xdx+fdr

69.CO8J-JJ=l/cosx-tanx+x4-C

被積函數(shù)分子分母同乘(1一戢皿),得

sinNl二*口心=［雪L&_han'icLr

1—sin2xJcosaJ

工_j-容——f(sec2x-DcLr

Jcos\rJ

=cos7-卜c，，<"W=l/cosx-tanx+x+C

70.設F(x,y,z)=x2+y2-ez,

則M=2Z,咕…

dxdz

aF

所以—dz=——dx—=—2x.

dxaFe,

71.

因為/(x)=|e"d，e于是

尸/《”)?j-Jyx1?E"?2xd/

=jc1?(-=:「［=:?］一，，.

因為f(jr)—|e'd/?于是

=?！读(#-/(x)?#［-工yx1.e?-2Id」

UjC，?《一戶必=:e'1=:(CI_】>.

1J

因為“，=yzs^c(xyz)?uf=xz?ec(xyz)?

u,=?xy^ec^ixyz)?

72所以du=)dx+xcsecx(jyrJdjr(ayx)dz.

因為MR=yzsc^ixyzy.u,=jrzsecJ(jr>z)?

%=xysec2(xyz)?

:,

所以du一^sedCj>rJdr+JXsec(jyz)d<y+4>MJC(xyz)cb.

73.

微分方程對應的齊次方程為

y—2y—3y?0,

其特征方程為r?-2r-3=0.特征根為c=3.%=-1.故對應的齊次方程的通解為

y=GB+Get（C,,C,為任意常數(shù)）.

由于自由項/（J）=（3]+De~.A=0不是特征根，故可設特解為

y?=A+Rr?

將y?代入原方程?得

-2B—3A—3Hr=3x+1?

有-3B=3.-2B-3A=1?

故A==—1■從而y，=—x.

SW

所以原方程的通解為

n

y=Cte4-C,e-+|-x（Ct,Ct為任意常數(shù)）.

J

微分方程對應的齊次方程為

y"-2y—3y=0.

其特征方程為一-2.-3=0.特征根為n=3,r,=-1.故對應的齊次方程的通解為

y=Ge"+C?eXG.G為任意常數(shù)）.

由于自由項/（J）=（3x+l）e-.A=0不是特征根.故可設特解為

=A+Rr?

將y?代人原方程.得

-2B—3A—3Hr=3x+1?

有-3B=3,-2B-3A?1.

故A=g,B=—1,從而y，=g—1■

所以原方程的通解為

y=Gc"+Ge'+為任意常數(shù)）.

74.

由所給累次積分畫出原二重積分的枳分區(qū)域D的示意圖?如圖所示?據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域.即

D=I0<><1?6《工42—

因此

jdrjf(x9y)dy4-J(Lr|f(jr9y)dy/(z.y)cLr.

由所給累次積分畫出原二重積分的積分區(qū)域。的示意圖,如圖所示.據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域,即

D=I0<><1?64工42-y).

因此

jdjrj/(N.y)dy+

f(jr9y)dyf(jr^y)dz.

p--|-y^（x）.Q=回工》一

由枳分與路徑無關,得

aQ=aPt

dxdy'

即

（/（工）—工）丫=3力＞（工）或—3^（j）

得

He-|*g*e2±r+c]

1p(x)

=b"[卜e-"dx+(7]

=c"[-g卜*"+。、]

-M[—^-(xeu—卜"dl>+Cj

=e"[T—+W)+q

H+T+Ce”.

由61)=1得.=-4-4+。/.解得。=祟一,.故有

J3丫

6/力\=_一丁>Z*一§1+?133(t)?

75.

P=^-y^CjrKQ=［職工）~v.

由積分與路徑無關.得

西-北.

dxdy

即

（，（/）一“）1y-3沖（*）或，（外一3.（1）=”.

得

fp(x)eM巾』*d_r+C

e-'^pe'^dj+C]

e"[—yjxdeu+Cj

叫Y(k+W)+C]

+T+Ce"?

由(l)-1得.1=-J-4+Ce，.解得C=故有

f，3y

m(X)=_二_2-+”/”

,399

76.

方程兩邊同乘以cosy,則得cosy?y'=工+1—siny,即

d(sinv)..?

----L—Fsiny=x+1.

djr

令u=sin?則方程化為,+u=i+1.屬線性方程?用求通解公式得

U=€+竹(1+1浦必+C]

=e-[J(z+1)cJdj-+C]

=e'*[(x+De*+C]

c?(xe+c).

則原方程的通解為^iny=c#(xe^+C).

方程兩邊同乘以cosy.則得cosy?y'="+1—siny,即

d(sinv)...i

———一-rsmy=1+1.

djr

令“=siny.則方程化為患+“=工+1.屬線性方程,用求通解公式得

u=e-htjcx+DeJ^+C]

=e-[J(z+1)cJdj-+C]

=「[(/+De*+C]

=『Gl+C).

則原方程的通解為sin>=cz(xer+C).

77.

窗戶的面積4=?i+骨.

l和h滿足2/i+3/=12,得人=6-方，，代人人則有

4=小#+紐

<14/dJ3,令A

—=6-3/+^-/=0,

m,_4(6.Q)

用’―-n-,

由于實際問題只有唯一的駐點，可知人"爺?(m)為所求

78.

相應的齊次方程為

y-2y-3y=0.

其特征方程為ri-2r-3=O.

得特征根為C=3,r,=-1.故齊次方程的通解為

y=Ce"+ae"G.G為任意常數(shù)).

由于自由項〃工)=xc'以=-1是特征單根.故可設原方程的特解為

y,=x(Ar+B)eS

將y?代人原方程,得

-8Ar+2A-4B=X.

有-8A=1.2A—4B=0

得A-―上，

故原方程的特制為

0《一:#一1y二__i（2x+l）e\

所以原方程的通解為

y=Ce"+Qe，一三（21+DeFGC為任意常數(shù)）.

相應的齊次方程為

y"-2/—3y=0.

其特征方程為ri-2r-3=Q,

得特征根為C=3.r,=-1.故齊次方程的通解為

y=Ce"+Cze，（G，a為任意常數(shù)）.

由于自由項人］>=>re'?人=-1是特征單根.故可設原方程的特解為

y?=工（9+8）尸.

將y?代人原方程,得