重慶市渝東六校2022高二數(shù)學(xué)上學(xué)期聯(lián)合診斷考試試題

重慶市渝東六校2022高二上學(xué)期聯(lián)合診斷性測(cè)試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知直線方程為x+百y—5=0,則其傾斜角為（）

兀兀2乃5%

A.—B.—C.D.

6336

2.已知向量〃=（一1,1,0）,b=（l,0,m）,且后〃+b與互相平行，則％=（）

11131

A.---B.-C.-D.—

4552

22

3.已知橢圈C:，+a~=l（〃>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是耳，與，巧鳥(niǎo)|=四，橢圓上任意一點(diǎn)M與兩焦點(diǎn)距

離的和等于8,則橢圓。的離心率為（）

A.gB.—C.73D.2

28

4.己知點(diǎn)？（一3,—1）,向量機(jī)=（、后,—1）,過(guò)點(diǎn)戶作以向量機(jī)為方向向量的直線￡,則點(diǎn)4（3,-1）到直線

工的距離為（）

B.屈

5.如圖，在正方體中，點(diǎn)￡為棱GR的中點(diǎn)，則異面直線/C—人刁

與以,所成角的余弦值為（

rU回?---

10

6.求過(guò)兩圓/2+）?2+2X一4'-4=0和丁+）?2一4工+2丁+2=0的交點(diǎn)，且圓心在

直線x+2y+2=。上的圓的方程（）

A.x2+y2-8x+6y+6=0B.x2+y2-4x+4y+6=0

C.J+/-8x+6y-6=0D.f+》2一以+—一6=0

7.橢圓j+』=l（m>0,n>0）,尸為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸的、6倍，橢圓上存在一點(diǎn)p與產(chǎn)

〃暝n

關(guān)于直線y=x+6對(duì)稱，則橢圓的方程為（)

A2/4/.

A.---+—i-=lB,￡空=1

81818181

c.E+及1=1或E+支=1D.組i+左=1或2+江=1

818181812442

8.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，圓C：（x+l）2+y2=3,點(diǎn)T在直線尤=1上運(yùn)動(dòng)，若圓C上存在以"為

中點(diǎn)的弦AB,且A8=2M7,則點(diǎn)T的縱坐標(biāo)的取值范圍是（）

A.[-72,0]B.（0,&]C.|-V2,V2]D.（-&,a）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.對(duì)于直線4:ox+2y+3a=0和直線4：3x+（a-l）y+3-a=0以下說(shuō)法正確的有（）

A.直線4一定過(guò)定點(diǎn)1-|，jB.若匕口2,貝必=1.

C.Z〃4的充要條件是a=3.D.點(diǎn)尸（1,3）到直線/的距離的最大值為5.

22

10已知曲線一=則（）

2+根m-4

A.當(dāng)機(jī)=3時(shí)，則的焦點(diǎn)是耳（2,0）,6（-2,0）.B.當(dāng)m=2時(shí)，則的漸近線方程為y=土*x.

C.當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，則〃?的取值范圍為（-2,4）.D.存在實(shí)數(shù)加，使C表示圓.

11.己知圓C：（一/）?+（-幻2=°,直線L：y—l=k（x-3）.下列命題正確的有（）

A.直線L與圓C可能相切.

B.x軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為2遙.

C.直線L被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為4.

D.若直線L與圓相交于A,B兩點(diǎn)，AACB面積的最大值為（

12.在正方體4BCO-A4G。中，AB=1,點(diǎn)一滿足CP=/ICD+〃CG,其中4?0,l],則

下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)8///平面力田。時(shí)，8/不可能垂直CR.

B.若用P與平面CGR。所成角為3IT,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為7T

c.當(dāng)2=1時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、AC的截面面積的取值范圍為[逝，夜].

D.當(dāng)；i=〃時(shí)，|I的最小值為亞屋后

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知直線/的傾斜角是直線x-2y+3=0的傾斜角的2倍，且/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2),則直線，的一般方

程為_(kāi)____

2

14.以橢圓工+丁=1的右焦點(diǎn)F為圓心,并過(guò)橢圓的短軸端點(diǎn)的圓的方程為

4

15.如圖，在四棱錐P-A3c。中，ACBD=O,底面A8CO為菱形，邊長(zhǎng)為

4,ZABC=60°,PO平面ABC。，異面直線BP與8所成的角為60°,

若E為線段OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線8P的距離為.

16.在平面直角坐標(biāo)系中有兩定點(diǎn)4、況且鉆=4,動(dòng)點(diǎn)P滿足

PAPB=^2>Oy若點(diǎn)?總不在以點(diǎn)6為圓心，1為半徑的圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)2

的最小值為_(kāi)_____.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.(10分)在AABC中，已知點(diǎn)。(8,4),B(4,-1),C(-6,3).

(1)求8c邊上中線的方程.

(2)若某一直線過(guò)占點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程.

18.(12分)如圖，三棱柱ABC-ABC中側(cè)棱與底面垂直，Aff=AC=2,AA,

=4,ABLAC,M,N,戶分別為制，BC,4用的中點(diǎn).

⑴求證：月V〃面4C44；

(2)求平面月你與平面4%力所成銳二面角的余弦值.

19.(12分)己知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A8分別為橢圓(+4/=4的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且三個(gè)內(nèi)角AB,C滿

足關(guān)系式sinB-sinA=—sinC.

2

(D求線段A3的長(zhǎng)度；(2)求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

20.(12分)已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q(—20，(2。的斜率之積為一屋

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.

(2)已知點(diǎn)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在軌跡C上，B(0,2),直線PA與y

軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證：四邊形ABNM的面積

為定值.

21.(12分)如圖，四棱錐P-MCD中，底面ABC。為菱形，ZABC=60°,

PA=PB=AB=2,點(diǎn)N為A8的中點(diǎn).

（1）證明：ABLPC-,

（2）若平面，平面ABCD,在線段加上是否存在點(diǎn)M,使得二面角M-NC-P的余弦值為叵

7

,如果存在，求直線PC與平面MNC所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（12分）已知橢圓C：［+二=1（a>b>0）過(guò)點(diǎn)M（1,走），且離心率為e=

ab~222

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)橢圓C和圓：2+2=/過(guò)點(diǎn)（，。（>7）作直線/和2,且兩直線的斜率之積等

于1,/與圓相切于點(diǎn)，2與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）

求4面積的最大值.

數(shù)學(xué)答案

1.02.D3.B4.B5.C6.A

7.C由題意知(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上得a2=2〃=2c2,橢圓的方程為丫2v2,橢圓上任

x°cy

取點(diǎn)尸(玉),%)，取焦點(diǎn)廠(一。,0),則尸尸中點(diǎn)M0,根據(jù)條件可得比=包二+6,

2'222

%+c

兩式聯(lián)立，代入橢圓方程解得巫‘/衛(wèi)’

(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程成立，由此可得橢圓的方程.故選C.

8CM為A8的中點(diǎn)，且4?=2MT,二_〃:為直角三角形，ZATB=90°,

若以，7B為切線，且ZA7B=90°,則，/CTB=45°

在R/ACBT中NC7B=45°,NCBT=90°,|CB|=8則’|CT|=V6

過(guò)點(diǎn)T向圓引的兩條切線的夾角不小于9()。時(shí)，滿足題意，則圓心C：(-1,0)到7(1,，")的距離不大

于",

即|CT|=R7V后解得一忘《，〃<五.故選：c

9ABD10BC11BCD

【解析】直線L:y-l=k(x-3),則無(wú)論k為何值，直線/過(guò)定點(diǎn)以3,1).

因?yàn)?3—+(1-2)2<9,葉

則點(diǎn)。在圓C的內(nèi)部，直線/與圓C相交，故A錯(cuò)誤；

令y=0,則(x—1)2=5,解得：x=l±V5,故圓C被*軸截得的弦長(zhǎng)為2遮，

故B正確；|.

圓心C(L2),半徑為3,ICD|=6,°/

當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，8,最短弦長(zhǎng)為25飛=4,故C正確；一二

當(dāng)ILCD時(shí)，：<sinN4co的最，'值=|<￥=W<N4CB〈兀nAACB面積的最大值為?3.3?

$也巳=2.故。正確。故選：BCD.

22

12：BD

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-QZ,

則4(0,0,0),8(1,0,0),￡>(0,1,0),C(l,l,0),A(0,0,1),C,(1,1,1),D,(0,1,1),

所以CR=(—1,0,1),BtP=B.C+CP=BtC+ACD+//C￡=(一/U,〃一1),

則/=(-1,0,1),fiD=(-l,l,0),設(shè)平面A3。的一個(gè)法向量為

〃=(x,y,z),

所以8V"=-x+z=°,=],則y=z=l,即平面ABO的一個(gè)法

BDn=-x-￥y=0

向量為〃=(1,1,1),若〃平面則〃.4。=0,

即；1=〃，則當(dāng)2=〃時(shí)，gPCR=2+〃-1=0,即P為C。中點(diǎn)時(shí),

有氐尸〃平面4B。，且BfLCR,故A不正確;

B選項(xiàng)：因?yàn)榕cG_L平面CG。。，連接Cy,則NB/q即為B/與平面

CGA。所成角，

cP

若B/與平面CCR。所成角7為r則tanNBfG=s\~=l,所以

4修C1

C,P=B￡=1,

即點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，以1為半徑的!個(gè)圓，于是點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)

4

度為故B正確;

c選項(xiàng)：因?yàn)?=1,所以點(diǎn)p一定在OQ上，又因?yàn)楫?dāng)r=0或1時(shí)，△尸4。的面積取最大值,

此時(shí)截面面積為近，設(shè)OQ的中點(diǎn)為H,由圖形的變化可得當(dāng)點(diǎn)p在DH和運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得截面

巫；故C錯(cuò)誤.

對(duì)稱相同，于是當(dāng)時(shí)，△PAC的面積取最小值卡，此時(shí)截面面積為

2

V

D選項(xiàng)：如圖，將平面CD"與平面ABCR沿CR展成平面圖形,

線段4。即為|研+|A4的最小值,

2

利用余弦定理可知A。?=A。+?！?2A分DDtcos—

所以4￡>=&+血，故D正確；

故選：BD

13.4x-3y-6=014.(x-V3)+y2=415.316.5

15題方法一：連接8E.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量°B,℃,。戶的方向分別為x,.V,z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，AB8,為異面直線必與C。所成角，即/P8A=6().

在菱形ABC。中，A3=4,NABC=60,：,OA=2,OB=2x/3.設(shè)尸°=〃，則P(0,0,a)，

fi(2>/3,0,0)A(0,-2,0)E(0,1,0)

3P=(-2如,0,a)AB=(26,2,0)

ABBP12

cosvPB,AB>=/.a=2瓜

卜斗網(wǎng)-4J12+/2

ABE=(-2^,1,0)，BP=(-2&02的,

二點(diǎn)E到直線枕的距離為〃=IBE-(EBBP)2=3.

故答案為：3.

\網(wǎng)

方法二在菱形ABC。中，A8=4,46c=60,「.04=2,OB=20設(shè)

PA=-Ja2+4,AB=4,BP=sJa2+12

PA1=BA2+BP2-IBABP-cosZPBA,,可得”=2#設(shè)點(diǎn)E到直線BP的距離為h

又由等面積法可得-BPxh^-BPxBExsinNPBE，

22

T7znnr-BP~+BE~—PE~2Jl3.II-3——j-zg,_

X-cosZ.PBE----------------------=-------sinZ.PBE----從而可得h=3

2BPxBE1313

16：以A3所在直線為x軸，線段A3的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則

設(shè)尸（x,>1）>且動(dòng)點(diǎn)尸滿足=

A（-2,0）,B（2,0）*

即（-2-x,-y>（2-x,-y）=2，則%2+>-2=4+Z>

又因?yàn)?X）時(shí)，點(diǎn)尸在以原點(diǎn)為圓心，病為半徑的圓上，同時(shí)點(diǎn)P總不在

以點(diǎn)8為圓心，1為半徑的圓內(nèi)，

即圓/+丁=4+義（義>0）與圓（X-2>+），2=1相離或夕卜切內(nèi)切或內(nèi)含，

所以J4+2+142或J4+/1-122,解得（舍去）或225,

所以實(shí)數(shù)義的最小值為5.

故答案為：5.

17⑴x-3y+4=0....5分

（2）x+4y=0或x+2y-2=0........5分

18.（1）方法一:

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48、AC、AA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,4）,B（2,0,0）M（0,2,2）,N（l,l,0）,P（l,0,4）

取向量AB=（2,0,0）為平面ACC0的一個(gè)法向量，P2V=（O,l,-4）,

!3PNA8=0x2+lx0+（Y）x0=0,

SPN1,AB.

又回PNa平面ACCM,

回PN〃平面ACCM.............5分

方法二：設(shè)。為的中點(diǎn).

EIP,D分別為AA,BC的中點(diǎn)，

團(tuán)尸￡)〃AG，且AG平面ACGA，物.平面476；4，

回PD〃平面4CGA，

0D,N分別為BC，BC的中點(diǎn)，

QDN〃CC、,且CC,c平面ACC；A,DV0平面ACCtAt,

0r>N〃平面ACG4,又PDcDN=D,

團(tuán)平面PZW〃平面ACGA,

又團(tuán)尸Nu平面PDN,

E1PN〃平面ACRA............5分

方法三：取AC的中點(diǎn)Q,易證明PN與AQ平行，回PN〃平面4CCM...........5分

⑵以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8、AC、所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,4）,3（2,0,0）,M（0,2,2）,N（l,l,0）,尸（1,0,4）.............7分

?PN=(O,1T),PM=(-1,2,-2),

取向量AB=(2,0,0)為平面ACCM的一個(gè)法向量,

設(shè)平面PMN的法向量為"=(x,y,z),

nPM=\即-x+2y-2z=0

則

n-PN=0y-4z=0

令z=l,則x=6,y=4,則〃=（6,4,1）,10分

ABn2x6+0x4+0xl6屈

團(tuán)cos<A3,〃>=

48卜“2V62+42+l253

回平面PMN與平面ACm所成銳二面角的余弦值為嘴

12分

19【解析】⑴橢圓的方程為x2+4y2=4,橢圓的方程為土+丁=1,a2=4,b2=l,c2=3,:.c=y[3

4

A8分別為橢圓,的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，...A（一60）,B?），

-----Fy-=1

AB|=273線段AB的長(zhǎng)度2下＞.............5分

地=幽=小1=2R（R為外接圓半徑）,

（2）ABC中根據(jù)正弦定理得:

sinCsinAsinB

si?、?si3此Uc=網(wǎng)

2R2R2R

.n..1.「\AC\忸C|1朋

smn-smA=—smCz.J-L=—x'i

2

2R2R22R-?AC|-1BC|=-1AB|=73<|?1B|=2738

2

分

??.C點(diǎn)的軌跡是以A,8為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且,以。|_?|=有=2“,|附=2百=2。,

a-,c-V3,b2-c2-a2--,...........10分

24

頂點(diǎn)C的軌跡方程為4r24、,2H

"-至=l（x＞也）?????12分

392

20解：（1）設(shè)P（x,y）,由題意得：￡■￡=-1=＞/+y2=4（、彳0）...........5分

（2）設(shè)PQo/o）,則X。＜O,yo＜。，舒+據(jù)=4.

因?yàn)閊AP==直線AP：y—kAP(x-2)=令％=0,貝!/yM=~~<。?

%0-2Xo-Z

同理，%N=V<0.....8分

Jo-2

.1=2+懸，|訓(xùn)=2+懸nSaBNM=MMlBM|=2(l+券)(1+念)……1。分

2(飛+丫產(chǎn)產(chǎn)工{就+M+44(xo+yo)+2+()y0}=4]2分

(x0-2)(y0-2)熾0〃0-2(&+%)+4}.......

21.詳解：（1）連接AC,因?yàn)?5=BC,ZABC=60°,所以A4BC為正三角形，

又點(diǎn)N為A8的中點(diǎn)，所以ABLNC.

又因?yàn)镽4=P8,N為A8的中點(diǎn)，所以AB1PN.

又NCcPN=N,所以A6L平面PNC,

又PCu平面PNC,所以ABLPC................（5分）

（2）由（1）知PN_LA8.又平面B4B_L平面ABC。，交線為45,所以PNJ_平面ABCO,

以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以NB,NC,NP所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則8（1,0,0）,C（0,6,0）,N（0,0,0）,尸（0,0,石），D（-2,V3,0）.........（6分）

設(shè)麗=幾近Xw[0J,/（羽y，z）,則M（-2尢6尢6（1-團(tuán)）

設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

可得|〃n.-NNMC==00'則?,〃-=（6r-（1一㈤。，2㈤,..........出分八）

由（1）知他，平面PNC,則取平面PNC的一個(gè)法向量〃?=。,0,0）,

m-nV3(l—2)V211

由|cos<m,">|=|〒得%=于...................(10分)

\m\-\n\^3(1-2)2+4712

???平面MNC的法向量為n=（y-,0,1）,又正=（0,

設(shè)直線PC與平面MNC所成角為仇

則sin8=|cos<PC,n>|=拳..................（12分）

2

22解：由已知得，橢圓的方程為冷+y2=i..............2分

（1）①當(dāng)IVMV魚(yú)時(shí)，滿足條件；...............3分

②當(dāng)mN我時(shí)，直線"的斜率存在，設(shè)為匕

則直線，2的方程為y=k（x-m）,BPfcx-y-fcm=0,

???兩直線的斜率之積為1

/.設(shè)4:y=—(x-in^kw0),即x-ky-m=0

k

?."1于圓。相切于點(diǎn)P,二舄^