高中數(shù)學微專題匯總

微專題1命題形式變化及真假判定一、基礎知識：（一）命題結構變換1、四類命題間的互化：設原命題為“若，則”的形式，則（1）否命題：“若，則”（2）逆命題：“若，則”（3）逆否命題：“若，則”2、，（1）用“或”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）中至少有一個成立即可，記為（2）用“且”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）要同時成立，記為3、命題的否定：命題的否定并不是簡單地在某個地方加一個“不”字，對于不同形式的命題也有不同的方法（1）一些常用詞的“否定”：是→不是全是→不全是至少一個→都沒有至多個→至少個小于→大于等于（2）含有邏輯聯(lián)結詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對應改變，同時均變?yōu)椋夯颉仪摇颍?）全稱命題與存在性命題的否定全稱命題：存在性命題：規(guī)律為：兩變一不變①兩變：量詞對應發(fā)生變化（），條件要進行否定②一不變：所屬的原集合的不變化（二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學過的數(shù)學知識，但在一組有關系的命題中，真假性也存在一定的關聯(lián)。1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假沒有關聯(lián)2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假簡而言之“一真則真”簡而言之“一假則假”3、：與命題真假相反。4、全稱命題：真：要證明每一個中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個反例即可5、存在性命題：真：只需在舉出一個使命題成立的元素即可假：要證明中所有的元素均不能使命題成立二、典型例題例1：命題“若方程的兩根均大于，則”的逆否命題是（）A.“若，則方程的兩根均大于”B.“若方程的兩根均不大于，則”C.“若，則方程的兩根均不大于”D.“若，則方程的兩根不全大于”思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結論否定后并進行調換，“”的對立面是“”，“均大于”的對立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再調換順序即可，D選項正確答案：D例2：命題“存在”的否定是（）A．存在B．不存在C．對任意D．對任意思路：存在性命題的否定：要將量詞變?yōu)椤叭我狻?，語句對應變化，但所在集合不變。所以變化后的命題為：“對任意”答案：D例3：給出下列三個結論（1）若命題為假命題，命題為假命題，則命題“”為假命題（2）命題“若，則或”的否命題為“若，則或”（3）命題“”的否定是“”，則以上結論正確的個數(shù)為（）A.3B.2C.1D.0思路：（1）中要判斷的真假，則需要判斷各自的真值情況，為假命題，則為真命題，所以一假一真，為真命題，（1）錯誤（2）“若……，則……”命題的否命題要將條件和結論均要否定，而（2）中對“或”的否定應該為“且”，所以（2）錯誤（3）全稱命題的否定，要改變量詞和語句，且的范圍不變。而（3）的改寫符合要求，所以（3）正確綜上只有（3）是正確的答案：C例4：有下列四個命題①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題②“全等三角形的面積相等”的否命題③“若，則有實根”的逆否命題④“不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題其中真命題為（）A.①②B.②③C.①③D.③④思路：①中的逆命題為“若互為相反數(shù)，則”，為真命題。②中的否命題為“如果兩個三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等”，為假命題（同底等高即可）。③中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。時，判別式，故方程有實根。所以原命題為真命題，進而其逆否命題也為真命題。④中的逆命題為“如果一個三角形三個內角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上，①③正確答案：C小煉有話說：在判斷四類命題的真假時，如果在寫命題或判斷真假上不好處理，則可以考慮其對應的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點進行求解例5：下列命題中正確的是（）A.命題“，使得”的否定是“，均有”B.命題“若，則”的否命題是“若，則”C.命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題D.命題“若，則”的逆否命題是真命題思路：分別判斷4個選項的情況，A選項命題的否定應為“，均有”，B選型否命題的形式是正確的，即條件結論均否定。C選項的命題是正確的，菱形即滿足條件，D選項由原命題與逆否命題真假相同，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。D錯誤答案：B例6：如果命題“且”是假命題，“”也是假命題，則（）A.命題“或”是假命題B.命題“或”是假命題C.命題“且”是真命題D.命題“且”是真命題思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時通常先判斷每個命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷。題目中以為入手點，可得是真命題，而因為且是假命題，所以只能是假命題。進而是真命題。由此可判斷出各個選項的真假：只有C的判斷是正確的答案：C例7：已知命題：若，則；命題：若，則，在命題①；②；③；④中，真命題是（）A.①③B.①④C.②③D.②④思路：可先判斷出的真假，從而確定出復合命題的情況。命題符合不等式性質，正確，而命題是錯的。所以①是假的，②是真的，③④中，因為為假，為真，所以③正確，④不正確。綜上可確定選項D正確答案：D例8：下列4個命題中，其中的真命題是（）A.B.C.D.思路：為存在性命題，所以只要找到符合條件的即可。可作出的圖像，通過觀察發(fā)現(xiàn)找不到符合條件的；同樣作圖可得，所以正確；通過作圖可發(fā)現(xiàn)圖像中有一部分，所以錯誤；在中，可得當時，，所以，正確。綜上可得：正確答案：D小煉有話說：（1）在判斷存在性命題與全稱命題的真假，可通過找例子（正例或反例）來進行簡單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試利用常規(guī)方法證明或判定（2）本題考察了指對數(shù)比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數(shù)性質，數(shù)形結合）進行處理，例如本題中運用的數(shù)形結合，而通過選擇中間量判斷。例9：已知命題，命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.或C.D.思路：因為為假命題，所以可得均為假命題。則為真命題。。解決這兩個不等式能成立與恒成立問題即可。解：為假命題均為假命題為真命題對于當時，對于，設，由圖像可知：若成立，則，解得：或所以綜上所述：小煉有話說：因為我們平日做題都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時，可以考慮先寫出命題的否定，根據(jù)真值表得到命題的否定為真，從而就轉化為熟悉的形式以便于求解例10：設命題函數(shù)的定義域為；命題，不等式恒成立，如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍思路：由“”為真命題可得至少有一個為真，由“”為假命題可得至少有一個為假。兩種情況同時存在時，只能說明是一真一假。所以分為假真與真假進行討論即可解：命題“”為真命題，且“”為假命題一真一假若假真，則函數(shù)的定義域不為恒成立或若真假，則函數(shù)的定義域為或，不等式解得綜上所述：三、近年模擬題題目精選：1、（2014河南高三模擬，9）已知命題，命題，則下列命題中為真命題的是（）A.B.C.D.2、（2014，岳陽一中，3）下列有關命題的敘述:①若為真命題，則為真命題②“”是“”的充分不必要條件③命題，使得，則，使得④命題：“若，則或”的逆否命題為：“若或，則”其中錯誤命題的個數(shù)為（）A．1B．2C．3 D．43、（2014成都七中三月模擬，4）已知命題，命題，則（）A.命題是假命題B.命題是真命題C.命題是假命題D.命題是真命題4、（2014新津中學三月月考，6）已知命題“，使得”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.5、（2014新課標全國卷I）不等式組：的解集記為，有下面四個命題：其中真命題是（）A.B.C.D.習題答案：1、答案：C解析：分別判斷真假，令，可得由零點存在性定理可知，使得，為真；通過作圖可判斷出當時，，故為假；結合選項可得：為真2、答案：B解析：判斷每個命題：①若真假，則為真命題，為假命題，故①錯誤；②不等式的解為或，由命題所對應的集合關系可判斷出②正確；③存在性命題的否定，形式上更改符合“兩變一不變”，故③正確；④“或”的否定應為“且”，故④錯誤，所以選擇B3、答案：B解析：對于：當時，，故正確；對于：因為，所以當時，，故錯誤，結合選項可知是真命題4、答案：C解析：命題的否定為：“，使得”，此為真命題，所以轉為恒成立問題，利用二次函數(shù)圖像可得：，解得5、答案：C解析：由已知條件作出可行域，并根據(jù)選項分別作出相應直線，觀察圖像可知：陰影部分恒在的上方，所以成立；且陰影區(qū)域中有在中的點，所以成立，綜上可得：正確

微專題02充分條件與必要條件一、基礎知識1、定義：（1）對于兩個條件，如果命題“若則”是真命題，則稱條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱條件是條件的充分條件；稱條件是條件的必要條件2、對于兩個條件而言，往往以其中一個條件為主角，考慮另一個條件與它的關系，這種關系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時既要判斷“若則”的真假，也要判斷“若則”真假3、兩個條件之間可能的充分必要關系：（1）能推出，但推不出，則稱是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱是的充要條件，也稱等價（4）推不出，且推不出，則稱是的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個條件的充分必要關系（1）通過命題手段，將兩個條件用“若……，則……”組成命題，通過判斷命題的真假來判斷出條件能否相互推出，進而確定充分必要關系。例如，構造命題：“若，則”為真命題，所以，但“若，則”為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語的含義并定性的判斷關系①充分：可從日常用語中的“充分”來理解，比如“小明對明天的考試做了充分的準備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由就可以得到結論，而不需要再添加任何說明與補充。以上題為例，對于條件，不需再做任何說明或添加任何條件，就可以得到所以可以說對是“充分的”，而反觀對，由，要想得到，還要補充一個前提：不能取，那既然還要補充，則說明是“不充分的”②必要：也可從日常用語中的“必要”來理解，比如“心臟是人的一個必要器官”，何謂“必要”？沒有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果不成立，那么必然不為1，但是僅靠想得到也是遠遠不夠的，還需要更多的補充條件，所以僅僅是“必要的”（3）運用集合作為工具先看一個問題：已知,那么條件“”是“”的什么條件？由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要條件。通過這個問題可以看出，如果兩個集合存在包含關系，那么其對應條件之間也存在特定的充分必要關系。在求解時可以將滿足條件的元素構成對應集合，判斷出兩個集合間的包含關系，進而就可確定條件間的關系了。相關結論如下：①：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件②：是的充分條件③：是的充要條件此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時，不管是判斷充分必要關系還是利用關系解參數(shù)范圍，都可將問題轉化為集合的包含問題，進而快捷求解。例如在中，滿足的取值集合為，而滿足的取值集合為所以，進而判斷出是的充分不必要條件5、關于“”的充分必要關系：可從命題的角度進行判斷。例如：是的充分不必要條件，則命題“若，則”為真命題，根據(jù)四類命題的真假關系，可得其逆否命題“若，則”也為真命題。所以是的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知，則是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對應集合。，解得：，即；或，即。所以，進而是的充分不必要條件答案：C例2：已知，那么是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：本題若覺得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個條件入手推出其等價條件，再進行判斷，比如“”等價于，所以只需判斷與的關系即可。根據(jù)的單調性可得：如果，則，但是若，在大于零的前提下，才有，而題目中僅說明。所以不能推出。綜上可判斷是的充分不必要條件答案：C小煉有話說：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價條件（充要條件），再進行判斷即可（2）在推中，因為是條件，表達式成立要求，但是在推中，是條件，且對取值沒有特殊要求，所以，那么作為結論的就不一定有意義了。在涉及到變量取值時要首先分清誰是條件，誰是結論。作為條件的一方默認式子有意義，所以會對變量取值有一定的影響。例3：已知，如果是的充分不必要條件，則的取值范圍是_____思路：設，因為是的充分不必要條件，所以，利用數(shù)軸可而判斷出答案：例4：下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（）A.B.C.D.思路：求的充分不必要條件，則這個條件能夠推出，且不能被推出?？梢钥紤]驗證四個選項。A選項可以推出，而不一定能夠得到（比如），所以A符合條件。對于B，C兩個選項均不能推出A，所以直接否定。而D選項雖然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學高二期中考試）設集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：先解出兩個解集：，的解集與的取值有關：若，則；若，則，觀察條件，若，則，所以成立；若，則通過數(shù)軸觀察區(qū)間可得的取值為多個（比如），所以“”是“”的充分不必要條件答案：A例6：對于函數(shù)，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：如果是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，則中位于軸下方的部分沿軸對稱翻上來，恰好圖像關于軸對稱，但的圖象關于軸對稱未必能得到是奇函數(shù)（例如），所以“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路一：可以考慮利用特殊值來進行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無法得到右邊。而右左能夠成立，所以“”是“”的必要不充分條件思路二：本題也可以運用集合的思想，將視為一個點的坐標，則條件所對應的集合為，作出兩個集合在坐標系中的區(qū)域，觀察兩個區(qū)域可得，所以“”是“”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設條件：實數(shù)滿足；條件：實數(shù)滿足且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是_________思路：本題如果先將，寫出，再利用條件關系運算，盡管可行，但，容易書寫錯誤。所以優(yōu)先考慮使用原條件。“是的必要不充分條件”等價于“是的必要不充分條件”，而為兩個不等式，所以考慮求出解集再利用集合關系求解。解：設，可解得：，設可解得：，是的必要不充分條件是的必要不充分條件答案：例9：數(shù)列滿足，則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：當時，可得，即成等差數(shù)列。所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以有，代入可得：，解得或，經(jīng)檢驗，時，，利用數(shù)學歸納法可證得，則也為等差數(shù)列（公差為0），所以符合題意。從而由“數(shù)列成等差數(shù)列”無法推出“”，所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的不必要條件答案:A例10：設，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：因為，所以。故由可得，即，對于能否推出，可考慮尋找各自等價條件：，，通過數(shù)形結合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設為向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3、若，則“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2015，福建）“對任意的，”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽一模，5）在中，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8、（2014湖北黃岡月考，4）已知條件，條件：直線與圓相切，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件9、(2014陜西五校二模，1）命題且滿足.命題且滿足.則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10、（2015北京理科）設是兩個不同的平面，是直線且．則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11、（2016，上海交大附中期中）條件“對任意”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件習題答案：1、答案：B解析：從集合的角度來看，滿足條件的取值范圍是或，所以可知“”是“”的必要不充分條件2、答案：C解析：的夾角為，從而等價于3、答案：C解析：由不等式性質可知：，則即，反之若，則即4、答案：D解析：若的項均為負項，則“”，“為遞增數(shù)列”之間無法相互推出，所以兩條件既不充分也不必要5、答案：B解析：，，因為，由數(shù)軸可得：即可6、答案：B解析：左側條件中恒成立不等式可化為，設，可知，所以若為減函數(shù)，則一定有成立?？紤]，由可得：，故時，成立，所以為減函數(shù)，成立。所以使不等式恒成立的的范圍包含，而，故“對任意的，”是“”的必要不充分條件7、答案：B解析：由正弦定理可得：，所以或，均滿足題意，由兩條件對應集合關系可知“”是“”的必要不充分條件8、答案：C解析：從入手，若與圓相切，則解得，所以9、答案：C解析：分別解出滿足兩個條件的解，；，可知兩個集合相等，故10、答案：B解析：依面面平行的判定和性質可知：“”無法得到“”，但“”可推出“”11、答案：B解析：將不等式變形為，設，且，則。當時，可得，從而在單調遞減，，即不等式恒成立。所以若“”，則“對任意”；而“對任意”，未必能得到“”（不等式也成立），所以為“必要不充分條件”

微專題03利用數(shù)軸解決集合運算問題數(shù)形結合是解決高中數(shù)學問題的常用手段，其優(yōu)點在于通過圖形能夠直觀的觀察到某些結果，與代數(shù)的精確性結合，能夠快速解決一些較麻煩的問題。在集合的運算中，涉及到單變量的取值范圍，數(shù)軸就是一個非常好用的工具，本文將以一些題目為例，來介紹如何使用數(shù)軸快速的進行集合的交并運算。一、基礎知識：1、集合運算在數(shù)軸中的體現(xiàn)：在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的公共部分在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的總和在數(shù)軸上表示為中除去剩下的部分（要注意邊界值能否取到）2、問題處理時的方法與技巧：（1）涉及到單變量的范圍問題，均可考慮利用數(shù)軸來進行數(shù)形結合，尤其是對于含有參數(shù)的問題時，由于數(shù)軸左邊小于右邊，所以能夠以此建立含參數(shù)的不等關系（2）在同一數(shù)軸上作多個集合表示的區(qū)間時，可用不同顏色或不同高度來區(qū)分各個集合的區(qū)域。（3）涉及到多個集合交并運算時，數(shù)軸也是得力的工具，從圖上可清楚的看出公共部分和集合包含區(qū)域。交集即為公共部分，而并集為覆蓋的所有區(qū)域（4）在解決含參數(shù)問題時，作圖可先從常系數(shù)的集合（或表達式）入手，然后根據(jù)條件放置參數(shù)即可3、作圖時要注意的問題：（1）在數(shù)軸上作圖時，若邊界點不能取到，則用空心點表示；若邊界點能夠取到，則用實心點進行表示，這些細節(jié)要在數(shù)軸上體現(xiàn)出來以便于觀察（2）處理含參數(shù)的問題時，要檢驗參數(shù)與邊界點重合時是否符合題意。二、例題精析：例1：（2009安徽）集合，則=_______思路：先解出的解集，，作出數(shù)軸，則即為它們的公共部分。答案：例2：設集合，則的取值范圍是____思路：可解出，而集合含有參數(shù)，作出數(shù)軸，先從容易作圖的集合做起，即畫出的范圍，由于，而數(shù)軸上有一部分區(qū)域沒有被包含，那說明集合負責補空缺的部分，由于參數(shù)決定其端點位置，所以畫出圖像，有圖像觀察可得只需要：即可，解得：答案：小煉有話說：（1）含有參數(shù)的問題時，可考慮參數(shù)所起到的作用，在本題中參數(shù)決定區(qū)間的端點（2）含有參數(shù)的問題作圖時可先考慮做出常系數(shù)集合的圖像，再按要求放置含參的集合（3）注意考慮端點處是否可以重合，通常采取驗證的方法，本題若或，則端點處既不在里，也不在里，不符題意。例3：對于任意的，滿足恒成立的所有實數(shù)構成集合，使不等式的解集是空集的所有實數(shù)構成集合，則______思路：先利用已知條件求出，再利用數(shù)軸畫出的范圍即可解：由①恒成立，可得：當即時，①變?yōu)椋汉愠闪敃r，若要①恒成立，則解集為空等價于：設即小煉有話說：本題更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情況，而不能默認為二次不等式，集合涉及解集與不等式恒成立問題之間的轉化。在集合進行交并運算時，數(shù)軸將成為一個非常直觀的工具，作圖時要注意端點值的開閉。例4：已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為思路：先解出的解集，意味著有公共部分，利用數(shù)軸可標注集合兩端點的位置，進而求出的范圍解：當時，當時，恒成立當時，且例5：已知，當“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是__________思路：為兩個不等式的解集，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集?？紤]解出兩個不等式的解集，然后利用數(shù)軸求出的范圍即可解：由是的真子集可得：答案：小煉有話說：1、熟悉充分必要條件與集合的聯(lián)系：是的充分不必要條件對應集合是對應集合的真子集2、處理含參問題時，秉承“先常數(shù)再參數(shù)”的順序分析，往往可利用所得條件對參數(shù)范圍加以限制，減少分類討論的情況。例如在本題中，若先處理，則解不等式面臨著分類討論的問題。但先處理之后，結合數(shù)軸會發(fā)現(xiàn)只有圖中一種情況符合，減掉了無謂的討論。例6：已知函數(shù)，對，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________思路：任取，則取到值域中的每一個元素，依題意，存在使得，意味著值域中的每一個元素都在的值域中，即的值域為的值域的子集，分別求出兩個函數(shù)值域，再利用子集關系求出的范圍解：時，時，對于，分三種情況討論當時，當時，，符合題意當時，綜上所述：答案：例7：已知集合，若，則________思路：本題主要考察如何根據(jù)所給條件，在數(shù)軸上標好集合的范圍。從而確定出的值，如圖所示：可得，所以答案：例8：設，，求思路：集合的不等式解集為，集合為一元二次不等式的解集，由題意可知，設的兩根為，則，在數(shù)軸上作圖并分析后兩個條件：說明將集合覆蓋數(shù)軸的漏洞堵上了，說明與的公共部分僅有，左側沒有公共部分，從而的位置只能如此（如圖），可得：，由韋達定理可得：例9：在上定義運算，若關于的不等式的解集是的子集，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．或D．思路：首先將變?yōu)閭鹘y(tǒng)不等式：，不等式含有參數(shù)，考慮根據(jù)條件對進行分類討論。設解集為，因為，所以首先解集要分空集與非空兩種情況：當時，則；當時，根據(jù)的取值分類討論計算出解集后再根據(jù)數(shù)軸求出的范圍即可解：設解集為當時，則當時：若時，若時，綜上所述：答案：D例10：已知，若關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.解：所解不等式為，可以考慮兩邊平方后去掉絕對值，因式分解可得：，由題意中含3個整數(shù)解可得：解集應該為封閉區(qū)間，所以的系數(shù)均大于零，即，另一方面，解集區(qū)間內有3個整數(shù)，從端點作為突破口分析，兩個端點為，因為，所以，進而結合數(shù)軸分析可得三個整數(shù)解為，所以另一個端點的取值范圍為①，而②，所以只要①②有交集，則可找到符合條件的，結合數(shù)軸可得：，求出答案：三、近年模擬題題目精選：1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知集合，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.2、（2014吉林九校二模，1）已知，則（）A.B.C.D.3、（重慶八中半月考，1）設全集為，集合，則（）A.B.C.D.4、已知函數(shù)的定義域為，的定義域為，則（）A.B.C.D.5、（2014，浙江）已知集合，則（）A.B.C.D.6、（2014，山東）設集合，則（）A.B.C.D.7、設集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_________8、已知全集，集合，那么集合（）A.B.C.D.9、若關于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)的取值范圍是_______.習題答案：1、答案：B解析：若，則符合題意，若，則符合題意，當時，解得：，由可知：，綜上可得：2、答案：D解析：，在數(shù)軸上標出的區(qū)域即可得出3、答案：C解析：分別解出中的不等式，，所以4、答案：A解析：的定義域：，的定義域：，所以，5、答案：C解析：解出中不等式：或，所以，則6、答案：D解析：集合為解不等式：，集合為函數(shù)的值域，由可知，所以7、答案：解析：集合為，由可知；當時，可得，當時，結合數(shù)軸可得：即，綜上可得：的取值范圍是8、答案：C解析：或9、答案：解析：因為不等式等價于，其中中的，且有，故，不等式的解集為，則一定有1，2，3為所求的整數(shù)解集。所以，解得的范圍為

微專題04求函數(shù)的值域作為函數(shù)三要素之一，函數(shù)的值域也是高考中的一個重要考點，并且值域問題通常會滲透在各類題目之中，成為解題過程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，當需要求函數(shù)的取值范圍時便可抓住解析式的特點，尋找對應的方法從容解決。一、基礎知識：1、求值域的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）分析解析式的特點，并尋找相對應的方法（此為關鍵步驟）（3）計算出函數(shù)的值域2、求值域的常用工具：盡管在有些時候，求值域就像神仙施法念口訣一樣，一種解析式特點對應一個求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即可操作，但也要掌握一些常用的思路與工具。（1）函數(shù)的單調性：決定函數(shù)圖像的形狀，同時對函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作用。若為單調函數(shù)，則在邊界處取得最值（臨界值）。（2）函數(shù)的圖像（數(shù)形結合）：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然（3）換元法：的解析式中可將關于的表達式視為一個整體，通過換元可將函數(shù)解析式化歸為可求值域的形式。（4）最值法：如果函數(shù)在連續(xù)，且可求出的最大最小值，則的值域為注：一定在連續(xù)的前提下，才可用最值來解得值域3、常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結合，利用函數(shù)圖像將值域解出，熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進行化歸。（1）一次函數(shù)（）：一次函數(shù)為單調函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點來確定值域（2）二次函數(shù)（）：二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M行配方確定函數(shù)的對稱軸，然后利用圖像進行求解。（關鍵點：①拋物線開口方向，②頂點是否在區(qū)間內）例：解：對稱軸為：（3）反比例函數(shù)：（1）圖像關于原點中心對稱（2）當當（4）對勾函數(shù)：①解析式特點：的系數(shù)為1；注：因為此類函數(shù)的值域與相關，求的值時要先保證的系數(shù)為，再去確定的值例：，并不能直接確定，而是先要變形為，再求得②極值點：③極值點坐標：④定義域：⑤自然定義域下的值域：（5）函數(shù)：注意與對勾函數(shù)進行對比①解析式特點：的系數(shù)為1；②函數(shù)的零點：③值域：（5）指數(shù)函數(shù)（）：其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域為（6）對數(shù)函數(shù)（）其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域為（7）分式函數(shù)：分式函數(shù)的形式較多，所以在本節(jié)最后會對分式函數(shù)值域的求法進行詳細說明（見附）二、典型例題：將介紹求值域的幾種方法，并通過例題進行體現(xiàn)1、換元法：將函數(shù)解析式中關于的部分表達式視為一個整體，并用新元代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進而解出值域（1）在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍（2）換元的作用有兩個：①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即可“消滅”根式，達到簡化解析式的目的②化歸：可將不熟悉的函數(shù)轉化為會求值域的函數(shù)進行處理（3）換元的過程本質上是對研究對象進行重新選擇的過程，在有些函數(shù)解析式中明顯每一項都是與的某個表達式有關，那么自然將這個表達式視為研究對象。（4）換元也是將函數(shù)拆為兩個函數(shù)復合的過程。在高中階段，與指對數(shù)，三角函數(shù)相關的常見的復合函數(shù)分為兩種①：此類問題通常以指對，三角作為主要結構，在求值域時可先確定的范圍，再求出函數(shù)的范圍②：此類函數(shù)的解析式會充斥的大量括號里的項，所以可利用換元將解析式轉為的形式，然后求值域即可。當然要注意有些解析式中的項不是直接給出，而是可作轉化：例如可轉化為，從而可確定研究對象為例1：函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.思路：解析式中只含一個根式，所以可將其視為一個整體換元，從而將解析式轉為二次函數(shù)，求得值域即可。解：的定義域為令，則的值域為例2（1）函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.（2）函數(shù)的值域為__________（3）函數(shù)的值域為__________思路：（1）本題可視為的形式，所以可將指數(shù)進行換元，從而轉化為指數(shù)函數(shù)值域問題：令，則，所以可得（2）如前文所說，，將視為一個整體令，則可將其轉化為二次函數(shù)求得值域解：令的值域為（3）所求函數(shù)為的形式，所以求得的范圍，再取對數(shù)即可。對進行變形可得：，從而將視為一個整體，即可轉為反比例函數(shù)，從而求得范圍解：定義域：令答案：（1）B（2）（3）例3：已知函數(shù)，則的值域為（）A.B.C.D.思路：依題意可知，所以可將視為一個整體換元，從而將問題轉化為求二次函數(shù)值域，但本題要注意的是的定義域，由已知的定義域為，則的定義域為：，解得：，而不是解：的定義域為，且，解得：令，則，即的值域為答案：C2、數(shù)形結合：即作出函數(shù)的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結合（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結合也可很方便的計算值域。（2）的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函數(shù)作于同一坐標系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該函數(shù)的圖像，從而利用圖像求得函數(shù)的值域（3）函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關知識進行聯(lián)系，數(shù)形結合求得值域，如：分式→直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式→兩點間距離公式例4：（1）設函數(shù)定義域為，對給定正數(shù)，定義函數(shù)則稱函數(shù)為的“孿生函數(shù)”，若給定函數(shù)，則的值域為（）A.B.C.D.（2）定義為中的最小值，設，則的最大值是__________思路：（1）根據(jù)“孿生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點，即以為分界線，圖像在下方的圖像不變，在上方的圖像則變?yōu)椋ㄟ^作圖即可得到的值域為（2）本題若利用的定義將轉為分段函數(shù)，則需要對三個式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進行數(shù)形結合，將三個解析式的圖像作在同一坐標系下，則為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從而通過數(shù)形結合可得的最大值點為與在第一象限的交點，即，所以答案：（1）A（2）2例5：已知函數(shù)，設，（其中表示中的較大值，表示中的較小值）記的值域為，的值域為，則______________思路：由的定義可想到其圖像特點，即若將的圖像作在同一坐標系中，那么為圖像中位于上方的部分，而為圖像中位于下方的部分。對配方可得：，其中，故的頂點在頂點的上方。由圖像可得：褐色部分為的圖像，紅色部分為的圖像，其值域與的交點有關，即各自的頂點，所以的值域，的值域。從而答案：例6：（1）函數(shù)的值域為__________（2）函數(shù)的值域為_________思路：（1）函數(shù)為分式，但無法用“變形+換元”的方式進行處理，雖然可以用導數(shù)，但求導后需對分子的符號進行進一步研究。那么換一個視角，從分式的特點可聯(lián)想到直線的斜率，即是與定點連線的斜率，那么只需在坐標系中作出在的圖像與定點，觀察曲線上的點與定點連線斜率的取值范圍即可解：所求函數(shù)是與定點連線的斜率設，當時，恒成立為增函數(shù)設曲線上兩點定點（2）思路：，所以可視為點到點距離和的取值范圍。結合圖形可利用對稱性求出其最小值，且當動點向軸兩側運動時，其距離和趨向無窮大，進而得到值域。解：為動點到點距離和，即作點關于軸的對稱點（等號成立條件：共線）當或時，函數(shù)的值域為小煉有話說：本題在選擇點時要盡量讓更少的點參與進來簡化問題，所以要抓住兩個距離共同的特點（例如本題中都抓住含根式中的，所以找到了一個共同的動點）答案：（1）（2）

3、函數(shù)單調性：如果一個函數(shù)為單調函數(shù)，則由定義域結合單調性（增、減）即可快速求出函數(shù)的值域（1）判斷函數(shù)單調性的方法與結論：①增增增減減減增減若函數(shù)的符號恒正或恒負，則減②復合函數(shù)單調性：復合函數(shù)可拆成，則若的單調性相同，則單調遞增；若的單調性相反，則單調遞減③利用導數(shù)：設圖像不含水平線的函數(shù)的導數(shù)，則單增；單減（2）在利用單調性求值域時，若定義域有一側趨近于或，則要估計當或時，函數(shù)值是向一個常數(shù)無限接近還是也趨近于或（即函數(shù)圖象是否有水平漸近線），；同樣若的定義域摳去了某點或有一側取不到邊界，如，則要確定當時，的值是接近與一個常數(shù)（即臨界值）還是趨向或（即函數(shù)圖象是否有豎直漸近線），這樣可以使得值域更加準確例7：（1）函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.（2）函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.（3）函數(shù)的值域為________思路：（1）函數(shù)的定義域為，含有雙根式，所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題，但的導數(shù)較易分析出單調性，所以考慮利用導數(shù)求出的單調區(qū)間，從而求得最值令即解不等式：在單調減，在單調遞增的值域為小煉有話說：本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，所以想到，從而可設，由可知，所以原函數(shù)的值域轉化為求的值域，從而有，由可求得。由此題可知：含雙根式的函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角換元轉為三角函數(shù)值域問題（2）思路：函數(shù)的定義域為，從而發(fā)現(xiàn)，所以函數(shù)的解析式為，觀察可得為增函數(shù)，且時，，所以當時，的值域為小煉有話說：①本題中函數(shù)的定義域對解析式的化簡有極大的促進作用。所以在求函數(shù)的值域時，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域②本題也可用換元法，設后即可將函數(shù)轉為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調性求解簡便。（3）思路：先確定函數(shù)的定義域：，為分式且含有根式，求導則導函數(shù)較為復雜。觀察分子分母可知：且關于單減，且關于單增，即單減，所以為減函數(shù)，由可知的值域為小煉有話說：在函數(shù)單調性的判斷中有“增+增→增”，那么如果一個函數(shù)可表示為兩個函數(shù)的乘法，例如，則當均為增（減）函數(shù)，且恒大于0，才能得到為增（減）函數(shù)答案：（1）D（2）B（3）4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個含參數(shù)的關于的方程。由函數(shù)的對應關系可知，對于值域中的任一值，必能在定義域中找到與之對應的。這個特點反應在方程中，即為若在值域中，則關于的方程在時只要有一個根。從而將求值域問題轉化為“取何值時，方程有解”的問題。利用方程的特點即可列出關于的條件，進而解出的范圍即值域例8：（1）函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.（2）函數(shù)的值域為_________思路：（1）觀察分式特點可發(fā)現(xiàn)若將去掉分母后可構造為一個關于的二次方程（其中為參數(shù)）：，因為函數(shù)的定義域為，所以的取值要求只是讓方程有解即可，首先對最高次數(shù)系數(shù)是否為0進行分類討論：當，方程為，無解；當時，二次方程有解的條件為，即得到關于的不等式，求解即可解：由可得:函數(shù)的定義域為的取值只需讓方程有解即可當時，不成立，故舍去當時，即：綜上所述：函數(shù)的值域為小煉有話說：①對于二次分式，若函數(shù)的定義域為，則可像例8這樣通過方程思想，將值域問題轉化為“取何值時方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到關于的不等式從而求解，這種方法也稱為“判別式法”②若函數(shù)的定義域不是，而是一個限定區(qū)間（例如），那么如果也想按方程的思想處理，那么要解決的問題轉化為：“取何值時，方程在有根”，對于二次方程就變?yōu)榱烁植紗栴}，但因為只要方程有根就行，會按根的個數(shù)進行比較復雜的分類討論，所以此類問題通常利用分式的變形與換元進行解決（詳見附）（2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含或的形式，考慮去分母得：則的取值只要讓方程有解即可。觀察左側式子特點可想到俯角公式，從而得到，可知方程有解的條件為：，解出的范圍即為值域解：的定義域為且，即，其中因為該方程有解小煉有話說：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結合進行解決，把分式視為連線斜率的問題，從而將問題轉化為定點與單位圓上點連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運用方程思想處理的局限性在于輔角公式與的取值相關，不過因為，所以均能保證只要在中，則必有解。但如果本題對的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出的不等式，所以還是用數(shù)形結合比較方便答案：（1）D（2）以上為求值域的四種常見方法，與求函數(shù)的理念息息相關，有些函數(shù)也許有多種解法，或是在求值域的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數(shù)值域問題時，能迅速抓住解析式的特點，找到突破口，靈活運用各種方法處理問題。例9：已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題可視為的復合函數(shù)，函數(shù)的值域為，結合對數(shù)函數(shù)的性質可知應取遍所有的正數(shù)（定義域可不為），即若函數(shù)的值域為，則，由二次函數(shù)的圖像可知，當時，可滿足以上要求。所以解得答案：C例10：在計算機的算法語言中有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），表示不超過的最大整數(shù)，例如：，設函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.思路：按的定義可知，若要求出，則要將確定里面的范圍，所以若求的值域，則要知道的范圍。觀察到為偶函數(shù)，所以只需找到的值域即可，，，即成立，所以為奇函數(shù)，只需確定的范圍即可。對中的分式進行分離常數(shù)可得：，當時，，從而，所以，由。即，可得，再利用偶函數(shù)性質可得時，。當時，，所以，綜上所述：的值域為答案：B小煉有話說：（1）本題在處理值域時，函數(shù)奇偶性的運用大量簡化了運算。首先判斷出所求函數(shù)為偶函數(shù)，所以關于軸對稱的兩部分值域相同，進而只需考慮的情況。另外從解析式的特點判斷出為奇函數(shù)，從而只需計算的范圍，再利用奇函數(shù)的性質推出的范圍。所以在求函數(shù)值域時，若能通過觀察或簡單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性質，則解題過程能夠達到事半功倍的效果。（2）本題在判斷的奇偶性時，由很難直接看出之間的聯(lián)系，但通過“通分”即可得到，奇偶性立即可見；在求的范圍時，利用的形式，分式較為復雜，分子分母均含變量，不易確定其范圍。但通過“分離常數(shù)”得到則非常便于求其范圍。由以上的對比可知，在判斷奇偶性或者分式的符號時，通常一個大分式較為方便；在求得分式函數(shù)值域時，往往通過“分離常數(shù)”的手段簡化分式中的分子，從而便于求得范圍附：分式函數(shù)值域的求法：分式函數(shù)也是高中所學函數(shù)的一個重要分支，求解分式函數(shù)的值域也考查了學生分式變形的能力以及能否將分式化歸為可求值域的形式，學會求分式函數(shù)值域也是處理解析幾何中范圍問題的重要工具。求分式函數(shù)值域的方法很多，甚至也可以考慮對函數(shù)進行求導，但相對計算量較大，本節(jié)主要介紹的方式為如何通過對分式函數(shù)進行變形，并用換元的方式將其轉化為熟悉的函數(shù)進行求解。一、所用到的三個函數(shù)（其性質已在前文介紹）1、反比例函數(shù)：2、對勾函數(shù)：3、函數(shù)：注意與對勾函數(shù)進行對比二、分式函數(shù)值域的求法請看下面這個例子：求的值域思路：此函數(shù)可看為的結果再加上3所得，故可利用反比例函數(shù)求出的范圍，再得到值域解：問題不難，但觀察可發(fā)現(xiàn)：，所以當遇到的函數(shù)為，總可以將分子的每一項均除以分母，從而轉化為進行求解。由此得到第一個結論：對于形如的函數(shù)，總可以變換成轉化為反比例函數(shù)進行求解。注：如果在分式中，分子的表達式可將一部分構造為分母的形式，則可用這部分除以分母與分式分離得到常數(shù)，從而使得分式中的分子變得簡單，這種方法稱為“分離常數(shù)法”，是分式變形常用的一種手段例：思路：本題分母為表達式，比較復雜，但如果視分母為一個整體（進行換元），則可將分式轉化成為的形式，從而求解解：令，進而可求出值域：注：換元法是求函數(shù)值域時，通過將含有變量的一部分式子視為一個整體，用一個變量表示，進而將陌生的函數(shù)化歸成熟悉的模型求解，這也是求函數(shù)值域時變換解析式的重要方法。由上例，我們可以總結出第二個結論：對于形如（分子分母均為一次的分式）的函數(shù)，通過換元，可轉化為的形式，進而用反比例函數(shù)進行求解。再看下一個例子：例：解：函數(shù)為對勾函數(shù)，作圖觀察可發(fā)現(xiàn)極值點在定義域中，故最小值為，而最大值在中產(chǎn)生，故值域為思考1：那么你是否會求呢？記住，圖像是你最好的幫手！思考2：，那么是否可以仿照上面，得到第三個結論？形如的函數(shù)可通過分離常數(shù)轉化為的形式，進而可依靠的圖像求出值域繼續(xù)，還能擴展么？舉個例子？例：解：設，（極值點：）第四個結論：形如的函數(shù)可通過換元將問題轉化為第三個結論，然后進行求解那么，例：呢不就是取了倒數(shù)么，所以只需分子分母同除以分子（）即可化歸為上面的情形那么，例：呢分子分母最高次均為2次，可考慮進行下分離常數(shù)：，從而轉化為上面例子的問題，至此，分式函數(shù)的終極形式總可通過一系列變換，轉化為前面所介紹的三個函數(shù)模型進行求解。小結：總結一下我們所遇到的分式類型及處理方法吧：①：換元→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型②：換元→分離常數(shù)→模型③：同時除以分子：→②的模型④：分離常數(shù)→③的模型共同點：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)

微專題05函數(shù)的對稱性與周期性一、基礎知識（一）函數(shù)的對稱性1、對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關于對稱軸（或對稱中心）對稱2、軸對稱的等價描述：（1）關于軸對稱（當時，恰好就是偶函數(shù)）（2）關于軸對稱在已知對稱軸的情況下，構造形如的等式只需注意兩點，一是等式兩側前面的符號相同，且括號內前面的符號相反；二是的取值保證為所給對稱軸即可。例如：關于軸對稱，或得到均可，只是在求函數(shù)值方面，一側是更為方便（3）是偶函數(shù)，則，進而可得到：關于軸對稱。①要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在中，僅是括號中的一部分，偶函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時，函數(shù)值相等，即，要與以下的命題區(qū)分：若是偶函數(shù)，則：是偶函數(shù)中的占據(jù)整個括號，所以是指括號內取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有②本結論也可通過圖像變換來理解，是偶函數(shù)，則關于軸對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱。3、中心對稱的等價描述：（1）關于軸對稱（當時，恰好就是奇函數(shù)）（2）關于軸對稱在已知對稱中心的情況下，構造形如的等式同樣需注意兩點，一是等式兩側和前面的符號均相反；二是的取值保證為所給對稱中心即可。例如：關于中心對稱，或得到均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側是更為方便（3）是奇函數(shù)，則，進而可得到：關于軸對稱。①要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在中，僅是括號中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時，函數(shù)值相反，即，要與以下的命題區(qū)分：若是奇函數(shù)，則：是奇函數(shù)中的占據(jù)整個括號，所以是指括號內取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有②本結論也可通過圖像變換來理解，是奇函數(shù)，則關于中心對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱。4、對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側的性質，便可得到整個函數(shù)的性質，主要體現(xiàn)在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值（2）在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點關于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數(shù)中，關于對稱軸對稱的兩個單調區(qū)間單調性相反；在中心對稱函數(shù)中，關于對稱中心對稱的兩個單調區(qū)間單調性相同（二）函數(shù)的周期性1、定義：設的定義域為，若對，存在一個非零常數(shù)，有，則稱函數(shù)是一個周期函數(shù)，稱為的一個周期2、周期性的理解：可理解為間隔為的自變量函數(shù)值相等3、若是一個周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個周期，進而可得：也是的一個周期4、最小正周期：正由第3條所說，也是的一個周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù)5、函數(shù)周期性的判定：（1）：可得為周期函數(shù)，其周期（2）的周期分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構造一個等式：所以有：，即周期注：遇到此類問題，如果一個等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個等式，進而通過兩個等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（為常數(shù)）的周期分析：，兩式相減可得：（5）（為常數(shù)）的周期（6）雙對稱出周期：若一個函數(shù)存在兩個對稱關系，則是一個周期函數(shù)，具體情況如下：（假設）①若的圖像關于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期分析：關于軸對稱關于軸對稱的周期為②若的圖像關于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期③若的圖像關于軸對稱，且關于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期7、函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個周期的性質，則得到整個函數(shù)的性質。（1）函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進行調整，進而利用已知條件求值（2）圖像：只要做出一個周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進行“復制+粘貼”（3）單調區(qū)間：由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若在上單調增（減），則在上單調增（減）（4）對稱性：如果一個周期為的函數(shù)存在一條對稱軸（或對稱中心），則存在無數(shù)條對稱軸，其通式為證明：關于軸對稱函數(shù)的周期為關于軸對稱注：其中（3）（4）在三角函數(shù)中應用廣泛，可作為檢驗答案的方法二、典型例題：例1：設為定義在上的奇函數(shù)，，當時，，則__________思路：由可得：的周期，考慮將用中的函數(shù)值進行表示：，此時周期性已經(jīng)無法再進行調整，考慮利用奇偶性進行微調：，所以答案：例2：定義域為的函數(shù)滿足，當時，，則（）A.B.C.D.思路：由，可類比函數(shù)的周期性，所以考慮將向進行轉化：答案：D小煉有話說：雖然不是周期函數(shù)，但函數(shù)值關系與周期性類似，可理解為：間隔2個單位的自變量，函數(shù)值呈2倍關系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，將自變量向已知范圍進行靠攏。例3：定義在上的函數(shù)對任意，都有，則等于（）A.B.C.D.思路：由及所求可聯(lián)想到周期性，所以考慮，所以是周期為4的周期函數(shù)，故，而由已知可得，所以答案：D例4（2009山東）：定義在上的函數(shù)滿足，則的值為（）A.B.C.D.思路：所給的特點為才有解析式能夠求值，而只能通過減少自變量的取值，由所求可聯(lián)想到判斷是否具有周期性，時，，則有，兩式相加可得：，則，即在時周期是6，故，而答案：C小煉有話說：（1）本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數(shù)性質向含解析式的自變量靠攏，而數(shù)較大，所以考慮判斷函數(shù)周期性。（2）如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同，而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達到余數(shù)。例如本題中，從而（3）本題推導過程中也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù)，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進行“微調”從而將自變量放置已知區(qū)間內例5：函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，當時，，則不等式在上的解集為___________思路：從已知出發(fā)可知時，為增函數(shù)，且，所以時，，時，，由偶函數(shù)可得：時，，時，。從而可作出草圖。由所解不等式可將分為兩部分，當時，，所以，當時，，所以，綜上解集為：答案：例6：已知是定義在上的函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)的最小值為（）A.B.C.D.思路：由可得是周期為2的周期函數(shù)，所以只需要求出一個周期內的最值即可。由可得為奇函數(shù)，所以考慮區(qū)間，在時，，所以，而由于為奇函數(shù)，所以在時，，所以即為在的最小值，從而也是在上的最小值答案：B例7：已知定義域為的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，如果，且，則的值（）A.可正可負B.恒大于0C.可能為0D.恒小于0思路一：題目中給了單調區(qū)間，與自變量不等關系，所求為函數(shù)值的關系，從而想到單調性，而可得，因為，所以，進而將裝入了中，所以由可得，下一步需要轉化，由可得關于中心對稱，所以有。代入可得，從而思路二：本題運用數(shù)形結合更便于求解。先從分析出關于中心對稱，令代入到可得。中心對稱的函數(shù)對稱區(qū)間單調性相同，從而可作出草圖。而，即的中點位于的左側，所以比距離更遠，結合圖象便可分析出恒小于0答案：D小煉有話說：（1）本題是單調性與對稱性的一個結合，入手點在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關系，與所求函數(shù)值關系，而連接它們大小關系的“橋梁”是函數(shù)的單調性，所以需要將自變量裝入同一單調區(qū)間內。而對稱性起到一個將函數(shù)值等價轉化的作用，進而與所求產(chǎn)生聯(lián)系（2）數(shù)形結合的關鍵點有三個：第一個是中心對稱圖像的特點，不僅僅是單調性相同，而且是呈“對稱”的關系，從而在圖像上才能看出的符號；第二個是，進而可知；第三個是，既然是數(shù)形結合，則題中條件也要盡可能轉為圖像特點，而表現(xiàn)出中點的位置，從而能夠判斷出距離中心對稱點的遠近。例8：函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)思路：從已知條件入手可先看的性質，由為奇函數(shù)分別可得到：，所以關于中心對稱，雙對稱出周期可求得，所以不正確，且由已知條件無法推出一定符合。對于選項，因為，所以，進而可推出關于中心對稱，所以為圖像向左平移個單位，即關于對稱，所以為奇函數(shù)，正確答案：D例9：已知定義域為的函數(shù)在上只有和兩個零點，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（）A.B.C.D.思路：已知區(qū)間僅是，而所求區(qū)間為，跨度如此之大，需要函數(shù)性質。從條件入手為偶函數(shù)可得關于軸對稱，從而判斷出是周期函數(shù)，且，故可以考慮將以10為周期分組，先判斷出一個周期內零點的個數(shù)，再乘以組數(shù)，加上剩余部分的零點即可解：為偶函數(shù)關于軸對稱為周期函數(shù)，且將劃分為關于軸對稱在中只含有四個零點而共組所以在中，含有零點共兩個所以一共有806個零點答案：C小煉有話說：（1）周期函數(shù)處理零點個數(shù)時，可以考慮先統(tǒng)計一個周期的零點個數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個周期，相乘即可。如果有不滿一個周期的區(qū)間可單獨統(tǒng)計（2）在為周期函數(shù)分段時有一個細節(jié)：“一開一閉”，分段的要求時“不重不漏”，所以在給周期函數(shù)分段時，一端為閉區(qū)間，另一端為開區(qū)間，不僅達到分段要求，而且每段之間保持隊型，結構整齊，便于分析。（3）當一個周期內含有對稱軸（或對稱中心）時，零點的統(tǒng)計不能僅限于已知條件，而要看是否由于對稱產(chǎn)生新的零點。其方法一是可以通過特殊值的代入，二是可以通過圖像，將零點和對稱軸標在數(shù)軸上，看是否有由對稱生成的零點（這個方法更直觀，不易丟解）例10：設函數(shù)是定義在上以1為周期的函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則函數(shù)在上的值域為（）A.B.C.D.思路：設，則，因為為周期函數(shù)，故以為突破口，，考慮在中，所以，在中，所以，所以在的值域為答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，慶安高三期中）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則的值為（）A．0.5B．1.5C．D．12、（2014，安徽）設函數(shù)滿足，當時，，則（）A.B.C.D.3、（2014，四川）設是定義在上的周期為2的函數(shù)，當時，，則_________4、（2014，新課標全國卷I）設函數(shù)的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)5、（2014，會寧縣校級月考）已知，方程在內有且只有一個，則在區(qū)間內根的個數(shù)為（）A.B.C.D.6、已知定義在上的函數(shù)滿足：，當時，，則______________7、已知定義在上的函數(shù)滿足，且時，，則（）A.B.C.D.8、已知是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有，當時，，求習題答案：1、答案：B解析：由可得：，兩式相減可得：，所以的周期，再由是偶函數(shù)可得：2、答案：A解析：由可知，，，所以可得：3、答案：1解析：4、答案：C解析：為奇函數(shù)，可知為偶函數(shù)，所以根據(jù)奇偶性的規(guī)律可得：為奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故C正確5、答案：D解析：，可得關于軸對稱，因為在內有且只有一個零點，所以由對稱性可得在只有兩個零點。所以一個周期中含有兩個零點，區(qū)間共包含1007個周期，所以有2014個零點6、答案：解析：由可得：關于中心對稱，由可得：關于軸對稱，所以可求出的周期，則7、答案：解析：可知為奇函數(shù)，可得，所以8、答案：解析：由可得：的周期，由于具備周期性，故求和時可考慮按照周期將一個周期的函數(shù)值歸為一組，求出一組的結果，在考慮求和的式子中含有多少組周期即可：故

微專題06函數(shù)的圖像一、基礎知識1、做草圖需要注意的信息點：做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過草圖能夠顯示出函數(shù)的性質。在作圖中草圖框架的核心要素是函數(shù)的單調性，對于一個陌生的可導函數(shù)，可通過對導函數(shù)的符號分析得到單調區(qū)間，圖像形狀依賴于函數(shù)的凹凸性，可由二階導數(shù)的符號決定（詳見“知識點講解與分析”的第3點），這兩部分確定下來，則函數(shù)大致輪廓可定，但為了方便數(shù)形結合，讓圖像更好體現(xiàn)函數(shù)的性質，有一些信息點也要在圖像中通過計算體現(xiàn)出來，下面以常見函數(shù)為例，來說明作圖時常體現(xiàn)的幾個信息點（1）一次函數(shù)：,若直線不與坐標軸平行，通?？衫弥本€與坐標軸的交點來確定直線特點：兩點確定一條直線信息點：與坐標軸的交點（2）二次函數(shù)：，其特點在于存在對稱軸，故作圖時只需做出對稱軸一側的圖像，另一側由對稱性可得。函數(shù)先減再增，存在極值點——頂點，若與坐標軸相交，則標出交點坐標可使圖像更為精確特點：對稱性信息點：對稱軸，極值點，坐標軸交點（3）反比例函數(shù)：,其定義域為，是奇函數(shù)，只需做出正版軸圖像即可（負半軸依靠對稱做出），坐標軸為函數(shù)的漸近線特點：奇函數(shù)（圖像關于原點中心對稱），漸近線信息點：漸近線注：（1）所謂漸近線：是指若曲線無限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸近線。漸近線在作圖中的作用體現(xiàn)為對曲線變化給予了一些限制，例如在反比例函數(shù)中，軸是漸近線，那么當，曲線無限向軸接近，但不相交，則函數(shù)在正半軸就不會有軸下方的部分。（2）水平漸近線的判定：需要對函數(shù)值進行估計：若（或）時，常數(shù)，則稱直線為函數(shù)的水平漸近線例如：當時，，故在軸正方向不存在漸近線當時，，故在軸負方向存在漸近線（3）豎直漸近線的判定：首先在處無定義，且當時，（或），那么稱為的豎直漸近線例如：在處無定義，當時，，所以為的一條漸近線。綜上所述：在作圖時以下信息點值得通過計算后體現(xiàn)在圖像中：與坐標軸的交點；對稱軸與對稱中心；極值點；漸近線。例：作出函數(shù)的圖像分析：定義域為，且為奇函數(shù)，故先考慮正半軸情況。故函數(shù)單調遞增，，故函數(shù)為上凸函數(shù)，當時，無水平漸近線，時，，所以軸為的豎直漸近線。零點：，由這些信息可做出正半軸的草圖，在根據(jù)對稱性得到完整圖像：2、函數(shù)圖象變換：設函數(shù)，其它參數(shù)均為正數(shù)（1）平移變換：：的圖像向左平移個單位：的圖像向右平移個單位：的圖像向上平移個單位：的圖像向下平移個單位（2）對稱變換：：與的圖像關于軸對稱：與的圖像關于軸對稱：與的圖像關于原點對稱（3）伸縮變換：：圖像縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模簣D像橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼模?）翻折變換：：即正半軸的圖像不變，負半軸的原圖像不要，換上與正半軸圖像關于軸對稱的圖像：即軸上方的圖像不變，下方的圖像沿軸對稱的翻上去。3、二階導函數(shù)與函數(shù)的凹凸性：（1）無論函數(shù)單調增還是單調減，其圖像均有3種情況，若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù)若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為上凸函數(shù)（2）上凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快下凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢（3）與導數(shù)的關系：設的導函數(shù)為（即的二階導函數(shù)），如圖所示：增長速度受每一點切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨的增大而增大，即為增函數(shù)；上凸函數(shù)隨的增大而減小，即為減函數(shù)；綜上所述：函數(shù)是上凸下凸可由導函數(shù)的增減性決定，進而能用二階導函數(shù)的符號進行求解。二、方法與技巧：1、在處理有關判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個選項的不同，再結合函數(shù)的性質即可進行排除，常見的區(qū)分要素如下：（1）單調性：導函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調性，導函數(shù)圖像位于軸上方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調增區(qū)間，位于軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調減區(qū)間（2）函數(shù)零點周圍的函數(shù)值符號：可通過帶入零點附近的特殊點來進行區(qū)分（3）極值點（4）對稱性（奇偶性）——易于判斷，進而優(yōu)先觀察（5）函數(shù)的凹凸性：導函數(shù)的單調性決定原函數(shù)的凹凸性，導函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸部分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調性可由二階導函數(shù)確定2