數(shù)值計算課后習(xí)題答案(全)

習(xí)題解答

1.取3.14,3.15,竺，絲作林的近似值求各自的勉褒，相謨差和有麒字的彳談。

1113

分析：求弱羲的方法是按定底接算。求相謨差的T昉法是先求出觸霆再按定式

計窠注意，不應(yīng)求相諾。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定來求，即先由劫逐確定

近似數(shù)的跑諾不超避一位的半個隹，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)步確定有效數(shù)字和有

效數(shù)位。有了定理2后，可以根據(jù)定理2更裁地解答。根據(jù)定理2,首先要將數(shù)著學(xué)想形

式，然后解答。

解：(1)觸霆：

e(x)=TT-3.14=3.14159265---3.14=0.00159--=0.00160

相耀：

e(x)0.00163

e(x)=-------=------------0.51X10-

x3.14

有效數(shù)字：

因的=3.14159265…=0.314159265…X10,3.14=0.314x10,m=1o

而TT-3.14=3.14159265---3.14=0.00159---

所以|TT-3.14|=0.00159…40.005=0.5x101x-=1x;

-2=1010

一2=22

所以，3.14作優(yōu)的近似值3個有效數(shù)字。

(2)絕遂:

e(x)=TT-3.15=3.14159265…-3.14=-0.008407--=-0.0085o

相塞:=----=--------=_x~

e(x)0.00852

e(x)0.2710

x3.15

有效數(shù)字：

因的=3.14159265…=0.314159265…xW,3.15=0.315x10,m=1o

而TT-3.15=3.14159265…-3.15=-0.008407---x-二一、

11

所以|TT-3.15|=0.008407........<0.05=0,5x101,2

-1-1010

-1=22

所以于近似值2?個有效數(shù)字。=-…

(3)"誤:

22

e(x)________-3.14159265_#1428571430.0012644930.0013

—

相耀：

e(x)0.00133

e(x)0.4110

X22

7

-------=X

有效數(shù)字：

因的=3.14159265…=0.314159265…因0,

22

3.1428571430.314285714310,m=1o

7

而7T一—=3.14159265…一3.142857143=-0.001264493…

7

所以

22

7T一一=3.14159265???-3.142857143|=0.001264493???<0.005

7

11

=XT=—XT=—X1

0.5101010

22

所以，絡(luò)作技的近似植3個有效數(shù)字。

7

(4)宛誤：

=五一355=***—=——

ex相耀:

()_3.141592653.141592920.00000027050.000000271

=-----3=----------------------------、—

e(x)0.0000002717

e(x)0.86310

X355

113

有效數(shù)字：

麗13.14159265s=0.314159265--?*10

355

-3.141&92920.31415929210,o…

113

355

而

3.141592653.141592920.0000002705

卜H3=|…-I=…4

所以

=355-=-x-=-x

3.141592653.141592920.00000027050.0000005

113

—

11

6617

0.5101010

22

mi355

所以，作觸）近似植7個有效數(shù)字。

113

2、用四舍五入原陶出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。

346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300

分析：本題阪指出，按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字定義相關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有

效數(shù)字。解答方法第,直接寫出就可以，不需要也不蹣珍讖（化科學(xué)數(shù)法形式）

解：346.7854=346.79,

7.000009=7.0000,

0.0001324580=0.00013246,

0.600300=0.60030o

指理：===

3、下列看■數(shù)都是淮庵?jǐn)?shù)進(jìn)四舍五入后得到一的近似數(shù)，避錮出他的她差限和相談

差限和有效數(shù)字的位數(shù)。

XXXXO

10.0315,20.3015,331.50,45000

分析：首先，本題準(zhǔn)確數(shù)未知，因此觸誤限根據(jù)四舍五入覲確定。其次，造先求

絕虐艮再求相強(qiáng)差限，最后確定有效數(shù)字個數(shù)。有效數(shù)字由定現(xiàn)以直接得出。

2

解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對誤差限分別是

8(x)=0.00005,g(x)=0.00005,￡(x)=0.005,g(x)=0.5

1234

由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系，相對誤差限分別是

s=000005.

(x)0.16%,

k￡x_0.0315?

O=、

(x)0.00005

6(x)=-——=---------x0.02%,

2

x0.3015

2

6=-(5rr=0W5-85

(x)0.002%,

3

(x)0.5

4

(x)0.01%.

-x<5000

4

有效數(shù)/旃有3位=4位、4位、4位。

4.計算_W的近睡二其相對歲差不超過0.1%。

解：設(shè)取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于0.1%，則

1.!n_

10<0.1%'

2a

1

而3xio工，顯然a，此時，

13

11，

f1n1n

，ieio0.1%

2a23

X

即；L\"

b1010

也即610°Io"

所以，n=4。

此時，=103.162。=_=xx=X

5、在讓算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77Z7)_中，對為0.14281X與x20覆4159=10?，試求它們的機(jī)

器浮點(diǎn)數(shù)fl(x)(i1,2)及其相對誤差。

?

XX

=---------------恐=-----------------%—

解：X-X

0.14281o\e(fl(x))xfl(x)0.142811030.1428103o.oooo1io3,其相對誤

fl(X)

1111

=0:3142w\e(fl(x))1Q1(0.3加it)1)t).00tJ411

fl(X)xxfl”-)0.31415510

2222

差分另惺

3

0.00001100.00004110

e0.007%,e0.013%。

132

0.1428100.314210

6、在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)

42

xyz，試按(xy)z,x(yz)兩種算法計算

0.2337125810,0.3367842910,0.3367781110

xyz的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。

3

解：

+++2.2

fl((xy)z)=(0.23371258-10"0.33678429■10)-0.3367781110

=X2+X2_X2

(0.00000023100.3367842910)0.3367781110

-

=X2X2

0.33678452100.3367781110

=X2

0.050006^1J0,.

一十X一X

旦(x(yz))x0.2337125810X(0.33678429100.3367781110)

=0.23371258X10=0.000006182

x10

=0.00000023X1Q22

0.0000061810

2

0.0000064110

++=X-+X-X

精確計算得：

=X>X2-X2

XyZ0.23371258100.33678429100.3367781110

=*2一*22

(0.00000023371258100.3367842910)0.3367781110

1020.336778111(/

0.33678452371258

2

0.000064137125810

第一種算法按從小到大計算，但出現(xiàn)了兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)相加，容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)

而第二種算法則出現(xiàn)了兩個相近的數(shù)相減,容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計算結(jié)果證明，兩者精度水

平是相同的。

***

—X=X=一X+<卜++

在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)

++42

Xyz，試按(xy)z,x(yz)兩種算法計

0.2337125810,0.3367842910,0.3367781110

算xVz的值+拜將結(jié)果與精確結(jié)果此較。X--X

庚：x-+x__X

X—-X

22

a((xy)z)x(0.2337125810x0.3367842910)0.3367781110

222

=(0.00233713x100.3367842910)0.3367781110

2

0.3391214210，0.3367781110

++x-一十X一-X

-22

=0.0000339110./.33677811

X-矍X

=0.3367442x10-X

X—X

22

(yz))0.2337125810(0.33678429100.3367781110)

X

1Q2)

0.2337125810(0.00003368100.33677811

A2

0.23371258100.3367474210

22

0.00000023100.3367474210

2

0.3367471910

第一種算法是按從小到大的順序計算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計算更精確。

精確計算得：

4

42

X+y+z=023371258x10一+0.33678429x10--0.33677811x10

=0.000023371258+0.0033678429—33.677811

=0.003391214158—33.677811

=-33.674419785842

.X2

0.3367441978584210

顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。

7、某計算機(jī)的機(jī)器數(shù)系為F(10,2,L,U)，用浮點(diǎn)運(yùn)算分別從左到右計算及從右到左計算

+++++++

10.40.30.20.040.030.020.01

試比較所得結(jié)果。

解：從左到右計算得

+++++++

10.40.30.20.040.030.020.01

=X+X+X+X+X+X+X+X

0.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.0010

=x

0.1910

=1.9

從右到先計靠卷+++

10.40.30.20.040.030.020.01

=+++++++

0.010.020.030.040.20.30.41

=xx:+x：+x:++++

=0.1+10+0.2+10+0.3100.4100.20.30.41

0.10.20.30.41

=x+

0.1101

=x+x

=0.1x100.110

0.210

2

從右到左計算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計算精確。

8、對于有效數(shù)

X13.105,X20.00俁0.100估計下列算式的相對誤差限

=++

X2

yxxx,yxxx,y

112321233Y

分析：求和差的相對誤差限采取先求出和差的絕對誤差限再求相對誤差限的方法。求積商的

相對誤差限采取先求每一個數(shù)的相對誤舞艮再求和的方法。

解：因為X13.105,X0.001冷0.1酈是有效數(shù)，

￡=82=￡=

所以(x)0.0005,4)0.0005,x()0.0005

13

5==0==8=----------=

0.00050.00050.0005

（X?）++21￡%，+&)+￡=50%,Cx),0.5%

T3T=

3.1050.0010.100

(支)

則UXxj￡+(x)_(x)0.0005---0-.0-0-0-5-0.0005二0.0015X一_

I++II一++I

(xxx)0.00150.0015

123

4.991040.05%

(XXX)

123

xxx3.1050.0010.1003.004

6(Xxx)=6(X)+6(X)+5(X)=0.16%+50%+0.5%=50.66%

123123

§—=&+6=+=

2

()(x)(x)50%0.5%50.5%

23

X

311=11=

9、試改變下列表達(dá)式，使其計算結(jié)果比較精確(其中x1表示X充分接近0，x1表示X

充分大)。-*

小1cosX

(4),x0x1

一」#且=;

1

(5)cotx,x(fix10

x

分析：根據(jù)算法設(shè)計的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒有簡單有效的方法時就采用泰勒展開的方法。

X

解：⑴InxInxIn1；

12

X

2

_+__

(2LT--+=-----一--------+-----

2

1+LX_1+x(1x)_

產(chǎn)下一一h~幻(干<2

2

2

X(X1X1)

或

6

X

2

x(x11)

⑷

:??+七??

1cosX(2n)!

x

X

+（「）+

=m!(2n)i

x

2n1

xXX

n1

=一一「曠

2!4!(2n)!

2n

111112B

2n1

cotxXXX

xxx345(2n)!

2n

112B

2n9

xXx

3(2n)!

（B是我努利『數(shù)）

10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證1cos2有較高的精度？

解：根畔±

C。S2—2sin先疊表求由再計算出要求的結(jié)果精度較高。

256

11、利用^^^27.98家方程10

=+L、+￡x的兩個根，使它們至少具有4位有效數(shù)字。

解：

由方程的求根公式，本方程的根為

22

X56564562281

28783

1,222

因為78327.982，則

Xi287832827.98255.982

7

如果直接根據(jù)求根公式計算第二個根，則因為兩個相近的數(shù)相減會造成有效數(shù)字的減少，誤

差增大。因此

根據(jù)韋達(dá)定理XX=＞在求出XE后這樣計算X：

2

121155.982

11,

x2=**55.982=0.01786=0.1786x10

1

這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。

12、試給出一種計算積分

1nx

I=elxedxn=

(0,1,2,3,...)

n

0

近似值的穩(wěn)定算法。

==一-=一一

解：當(dāng)n=0時，?e'x°e*dxe'ee'。

(1)1

I00

f=I=-

11

(edxee)°

*x1J=I-/

00

bb

對In運(yùn)用分部積分法(=嬴uv'=嬴一J-="--J

由此得到帶初值的遞推關(guān)系式_=--

I1e1

0

J4J=+I1nl(n1,2,3,...)

nn1

1，這是逆向的遞推公式，對?n的值作估計，有

由遞推公式ln=1—nl"I(1

解得n1

-1n

"J2=

1nx1*ln1+

exedxeexdx

n

1

<

另有

11

1nx1n11

exedxexdxe

n

1

0

（取e的指數(shù)為最小值0，將e取作e=1作為常數(shù)即可簡化公式）。

則J11

n1n1

那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取

8

11

=--------+

I+(e1)

02n1

可以看出，n越大，迭近似越精確地接近于準(zhǔn)確值

(n越大，In的上限和下限船越接近，近儀隨的度就越短，更似翹精確能越接近)

1

此時e…=1"…=Jlnn)e】ej,算是想的。

*-In*-I=nn，In!

-1???eo|1=

實甌，如果我弱求I9,可以先求出I2。，栩社的I9的瀑是比12。的差小得多的，而12。

的墨本身也并不大。就，建I社的19比直接算出來的精確得多。

習(xí)題解答

—X

1.用二分法求方程x3-2X2-4X-7=0在區(qū)間，4］內(nèi)的根，精確到10-1°

3,即連不超過?！恪?/p>

3-2X2-4X-7=0在區(qū)同,4］內(nèi)的根，精確到10-3,即羲不超過

2

分析■:精確至『10=一=一=7與震不超過一3不同。

解：因鄭)=-10V0,f(4)=9>0,所以，方程在區(qū)閘3,4］上有根。

由

baba43113

nnnn

22222

有2~：1000,又為。=1024>1000,

所以n：:11,即只需要二:分11次即可。

列表地F:

naibnXnf(Xn)的符號

1343.500-

23.50043.750+

33.5003.7503.625-

43.6253.7503.688+

53.6253.6883.657+

63.6253.6573.6414-

73.6253.6413.6334-

83.6253.6333.629-

93.6293.6333.631-

103.6313.6333.632+

113.6313.6323.632-

X

飛xi=3.632o

指出：

(1)注意精確度的不同表述。精確到10

，和墨不超過-3是不同的。

(2)在算程中按趣精度保留小數(shù)，最后兩次算維相同。

如果算程中取4位小數(shù)，維取3位，則下表：

9

naibnXnf(Xn)的符號

1343.5000—

23.500043.7500+

33.50003.75003.6250—

43.62503.75003.6875+

53.62503.68753.6563+

63.62503.65633.6407+

73.62503.64073.6329+

83.62503.63293.6290—

93.62903.63293.6310—

103.63103.63293.6320+

113.63103.63203.6315—

(3)用秦九韶算法計算f(Xn)比較簡單。

1*?求方程x2-4X-7=0的隔根區(qū)間。

3-2x

=3-2X__

解：令32

a、yxxx?

,24.7

=--=T-

貝Uy3x24x4(3x2)(x2)

——+—==-

1LZ2/

—'yxxxx時，有x,x2°

12

344(32)(2)0q

函數(shù)工良調(diào)區(qū)間列表分析如下L-

22

(F123)

(，)2(2,+8)

32

1+

/------------------1-XJ—■^0―

y

y149

------------<=—<27-----

-15

1492

因為yy，所以方程在區(qū)間(，2)上無根；

()一0,(2)1503

3一一2手

21492

因為y()，而函數(shù)在(，)上單調(diào)增，函數(shù)值不可能變號，所以方程在該區(qū)間上無

03

327

根；

因為y(2)150，函數(shù)在(2,+oo)上單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間上最多有一個根，

而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在區(qū)間(3,4)有一個根。

所以，該方程有一個根，隔根區(qū)間是(3.4)。

2?證明1xsinx。在［0,1］內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不大于1。"的根，需要迭代多少次？

2

分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個根，就是證明相應(yīng)的函數(shù)在指定區(qū)間有至少一個零點(diǎn)。

10

解：令f(x)=1_x—sinx)

因為f(0)=1-0-sin0=1>0,f(1)=1-1-sin1=-sin1<0'

則f(0)f(1)<0'

由零點(diǎn)定理*函數(shù)f(X)在零點(diǎn)區(qū)間有一個根。

由

b_ab_a1_0114

一<nn=----=---=—<-x—

x*x-10

nnnn

22222

有2

"10000>又為210=1024，23=8192<10000，214=16384>10000

所以n=15，即需要事分-書冬一=++_=

++

3?試用迭代公式X20X1'求方程X3X2X的根，要求精確到10

一kX'-210200

120

x2x10

kk

1