新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊全冊課時練習(一課一練-含解析)

人教A版高中數(shù)學必修第二冊全冊課時練習6.1平面向量的概念 -2-6.2.1向量的加法運算 -5-6.2.2向量的減法運算 -8-6.2.3向量的數(shù)乘運算 -11-6.2.4向量的數(shù)量積 -14-6.3.1平面向量基本定理 -18-6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示 -21-6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示 -21-6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示 -24-6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示 -27-6．4平面向量的應用 -30-7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念 -34-7.1.2復數(shù)的幾何意義 -37-7.2.1復數(shù)的加、減運算及其幾何意義 -39-7.2.2復數(shù)的乘、除運算 -43-8.1.1棱柱、棱錐、棱臺的結構特征 -46-8.1.2圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體的結構特征 -49-8.2立體圖形的直觀圖 -51-8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積 -55-8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 -59-8.4.1平面 -62-8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系 -66-8.5.1直線與直線平行 -69-8.5.2直線與平面平行 -73-8.5.3平面與平面平行 -76-8.6.1直線與直線垂直 -80-8.6.2直線與平面垂直 -85-8.6.3平面與平面垂直 -89-9.1.1簡單隨機抽樣 -94-9.1.2分層隨機抽樣 -96-9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑 -96-9.2.1總體取值規(guī)律的估計 -100-9.2.2總體百分位數(shù)的估計 -105-9.2.3總體集中趨勢的估計 -105-9.2.4總體離散程度的估計 -105-10.1.1有限樣本空間與隨機事件 -110-10.1.2事件的關系和運算 -112-10.1.3古典概型 -115-10.1.4概率的基本性質 -118-10.2事件的相互獨立性 -121-10.3頻率與概率 -126-6.1平面向量的概念一、選擇題1．下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1個B．2個C．3個D．4個【解析】一個量是不是向量，就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量．【答案】D2．下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①單位向量都共線；②長度相等的向量都相等；③共線的單位向量必相等；④與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|).A．3B．2C．1D．0【解析】根據(jù)單位向量的定義，可知①②③明顯是錯誤的，對于④，與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是錯誤的．【答案】D3．如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則()A.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))B.eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))C.eq\o(PE,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))D.eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))【解析】由平面幾何知識知，eq\o(AD,\s\up10(→))與eq\o(BC,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up10(→))≠eq\o(BC,\s\up10(→))；eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(BD,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up10(→))≠eq\o(BD,\s\up10(→))；eq\o(PE,\s\up10(→))與eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up10(→))≠eq\o(PF,\s\up10(→)).eq\o(EP,\s\up10(→))與eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等且方向相同，∴eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→)).【答案】D4．若|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|且eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，則四邊形ABCD的形狀為()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【解析】由eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四邊形ABCD為平行四邊形．又因為|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|，所以四邊形ABCD為菱形．【答案】C二、填空題5．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，O為其中心，則|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝________.【解析】因為正方形的對角線長為2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)6.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD與BC的中點，則在以A、B、C、D四點中的任意兩點為始點和終點的所有向量中，與向量eq\o(EF,\s\up10(→))方向相反的向量為________．【解析】因為AB∥EF，CD∥EF，所以與eq\o(EF,\s\up10(→))平行的向量為eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BA,\s\up10(→))，其中方向相反的向量為eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→)).【答案】eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))7．給出下列命題：①若eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，則A、B、C、D四點是平行四邊形的四個頂點；②在?ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中所有正確命題的序號為________．【解析】eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，A、B、C、D四點可能在同一條直線上，故①不正確；在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(DC,\s\up10(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，故②正確；a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故a＝c，故③正確；對于④，當b＝0時，a與c不一定平行，故④不正確．【答案】②③三、解答題8．在如圖的方格紙(每個小方格的邊長為1)上，已知向量a.(1)試以B為起點畫一個向量b，使b＝a；(2)畫一個以C為起點的向量c，使|c|＝2，并說出c的終點的軌跡是什么．【解析】(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量b應與a同向，且長度相等，如下圖所示．(2)由平面幾何知識可作滿足條件的向量c，所有這樣的向量c的終點的軌跡是以點C為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．9．一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100千米到達B點，然后又改變了方向向北偏西40°走了200千米到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up10(→))|.【解析】(1)如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))共線，即AB∥CD.又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(CD,\s\up10(→))|，所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝200(千米)．10．如圖，在△ABC中，已知向量eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，求證：eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).證明：由eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，可得DF＝EC且DF∥EC，故四邊形CEDF是平行四邊形，從而DE∥FC.∵eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，∴D為AB的中點．∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).6.2.1向量的加法運算一、選擇題1．點O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))等于()A.eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(DA,\s\up10(→))【解析】因為點O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，則eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).故選A.【答案】A2．設a表示“向東走5km”，b表示“向南走5km”，則a＋b表示()A．向東走10kmB．向南走10kmC．向東南走10kmD．向東南走5eq\r(2)km【解析】如圖所示，eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝5，且AB⊥BC，則|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝5eq\r(2)，∠BAC＝45°.【答案】D3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，則向量a＋b的方向()A．與向量a方向相同B．與向量a方向相反C．與向量b方向相同D．不確定【解析】如果a和b方向相同，則它們的和的方向應該與a(或b)的方向相同；如果它們的方向相反，而a的模大于b的模，則它們的和的方向與a的方向相同．【答案】A4．如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up10(→))B.eq\o(OG,\s\up10(→))C.eq\o(FO,\s\up10(→))D.eq\o(EO,\s\up10(→))【解析】設a＝eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))，以OP，OQ為鄰邊作平行四邊形，則OP與OQ之間的對角線對應的向量即向量a＝eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))，由a和eq\o(FO,\s\up10(→))長度相等，方向相同，得a＝eq\o(FO,\s\up10(→))，即eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(OQ,\s\up10(→))＝eq\o(FO,\s\up10(→)).【答案】C二、填空題5．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(CA,\s\up10(→))＝c，則a＋b＋c＝________.【解析】由向量加法的三角形法則，得eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))，即a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝0.【答案】06．化簡(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋(eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝________.【解析】原式＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).【答案】eq\o(AC,\s\up10(→))7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，則|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))|＝________.【解析】在菱形ABCD中，連接BD，∵∠DAB＝60°，∴△BAD為等邊三角形，又∵|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1，∴|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝1.【答案】1三、解答題8．如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.【解析】(1)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如圖(1)；(2)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如圖(2)；(3)作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，如圖(3)．9.如圖所示，設O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))；(2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FE,\s\up10(→)).【解析】(1)由圖可知，四邊形OABC為平行四邊形，所以由向量加法的平行四邊形法則，得eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→)).(2)由圖可知，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(FE,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))，所以eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FE,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→)).10．如圖，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，當整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，求兩根繩子的拉力．【解析】如圖，作?OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，則∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.設向量eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))分別表示兩根繩子的拉力，則eq\o(CO,\s\up10(→))表示物體所受的重力，且|eq\o(OC,\s\up10(→))|＝300N.所以|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up10(→))|＝|eq\o(OC,\s\up10(→))|cos60°＝150(N)．所以與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.6.2.2向量的減法運算一、選擇題1．下列運算中正確的是()A.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))C.eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))D.eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝0【解析】根據(jù)向量減法的幾何意義，知eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))，所以C正確，A錯誤；B顯然錯誤；對于D，eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))應該等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化簡為eq\o(PQ,\s\up10(→))的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→)))B．(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＋(eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\o(QC,\s\up10(→)))C.eq\o(QC,\s\up10(→))－eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(CQ,\s\up10(→))D.eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))【解析】D中，eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))－eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(QB,\s\up10(→))不能化簡為eq\o(PQ,\s\up10(→))，其余選項皆可．【答案】D3．在△ABC中，D是BC邊上的一點，則eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))等于()A.eq\o(CB,\s\up10(→))B.eq\o(BC,\s\up10(→))C.eq\o(CD,\s\up10(→))D.eq\o(DC,\s\up10(→))【解析】在△ABC中，D是BC邊上一點，則由兩個向量的減法的幾何意義可得eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→)).【答案】C4．如圖，在四邊形ABCD中，設eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up10(→))＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c【解析】eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a－b＋c.【答案】A二、填空題5.eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝________.【解析】eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(EF,\s\up10(→))＋eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(BF,\s\up10(→)).【答案】eq\o(BF,\s\up10(→))6．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【解析】若a，b為相反向量，則a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因為a與－b共線同向，所以|a－b|＝2.【答案】027．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，且|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，則|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝________.【解析】以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ACDB，由向量加減法幾何意義可知，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))，∵|eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))|＝|eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))|，平行四邊形ABCD為矩形，∴|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(CB,\s\up10(→))|，又|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝4，M是線段BC的中點，∴|eq\o(AM,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝2.【答案】2三、解答題8．如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.【解析】方法一：如圖①，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，則eq\o(CB,\s\up10(→))＝a＋b－c.方法二：如圖②，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(AB,\s\up10(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up10(→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up10(→))＝c，連接OC，則eq\o(OC,\s\up10(→))＝a＋b－c.9．化簡下列各式：(1)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(MO,\s\up10(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→)).【解析】(1)方法一原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).(2)方法一原式＝eq\o(DB,\s\up10(→))－eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).方法二原式＝eq\o(AB,\s\up10(→))－(eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→)).10．如圖，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up10(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up10(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up10(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up10(→)).【解析】由題意知，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(CD,\s\up10(→))＝c，eq\o(DE,\s\up10(→))＝d，eq\o(EA,\s\up10(→))＝e，則(1)eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(DE,\s\up10(→))＋eq\o(EA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝－eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up10(→))＝eq\o(EA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up10(→))＝－eq\o(CE,\s\up10(→))＝－(eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DE,\s\up10(→)))＝－c－d.6.2.3向量的數(shù)乘運算一、選擇題1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b【解析】原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.【答案】D2．點C在直線AB上，且eq\o(AC,\s\up10(→))＝3eq\o(AB,\s\up10(→))，則eq\o(BC,\s\up10(→))等于()A．－2eq\o(AB,\s\up10(→))B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))D．2eq\o(AB,\s\up10(→))【解析】如圖，eq\o(AC,\s\up10(→))＝3eq\o(AB,\s\up10(→))，所以eq\o(BC,\s\up10(→))＝2eq\o(AB,\s\up10(→)).【答案】D3．已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實數(shù)m的值為()A．－1或3B.eq\r(3)C．－1或4D．3或4【解析】因為向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，且向量a，b是兩個不共線的向量，所以m＝eq\f(－3,2－m)，解得m＝－1或m＝3.【答案】A4.如圖，已知eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，eq\o(BD,\s\up10(→))＝3eq\o(DC,\s\up10(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up10(→))，則eq\o(AD,\s\up10(→))＝()A．a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b【解析】eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.【答案】D二、填空題5．已知|a|＝4，|b|＝8，若兩向量方向同向，則向量a與向量b的關系為b＝________a.【解析】由于|a|＝4，b＝8，則|b|＝2|a|，又兩向量同向，故b＝2a.【答案】26．點C在線段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，則eq\o(AC,\s\up10(→))＝________eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))＝________eq\o(AB,\s\up10(→)).【解析】因為C在線段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(AB,\s\up10(→))方向相同，eq\o(BC,\s\up10(→))與eq\o(AB,\s\up10(→))方向相反，且eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,5)，所以eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up10(→)).【答案】eq\f(3,5)－eq\f(2,5)7．已知向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，則實數(shù)λ的值是________．【解析】由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝eq\f(3,5)，即λ＝±eq\f(3,5).【答案】±eq\f(3,5)三、解答題8．計算(1)eq\f(1,3)(a＋2b)＋eq\f(1,4)(3a－2b)－eq\f(1,2)(a－b)；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a)))).【解析】(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(3,4)－\f(1,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,2)＋\f(1,2)))b＝eq\f(7,12)a＋eq\f(2,3)b.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)a＋b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,7)b))＝eq\f(7,6)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(7,6)a－eq\f(1,2)b＝0.9．已知E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，設eq\o(BC,\s\up10(→))＝a，eq\o(DA,\s\up10(→))＝b，試用a，b表示eq\o(EF,\s\up10(→)).【解析】如圖所示，取AB的中點P，連接EP，F(xiàn)P.在△ABC中，EP是中位線，所以eq\o(PE,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a.在△ABD中，F(xiàn)P是中位線，所以eq\o(PF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)b.在△EFP中，eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→))＝－eq\o(PE,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)(a＋b)．10．已知e，f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up10(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up10(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up10(→))＝－5e－3f.(1)用e、f表示eq\o(AD,\s\up10(→))；(2)證明：四邊形ABCD為梯形．【解析】(1)eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)證明：因為eq\o(AD,\s\up10(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up10(→))，所以eq\o(AD,\s\up10(→))與eq\o(BC,\s\up10(→))方向相同，且eq\o(AD,\s\up10(→))的長度為eq\o(BC,\s\up10(→))的長度的2倍，即在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD是梯形．6.2.4向量的數(shù)量積一、選擇題1．若|m|＝4，|n|＝6，m與n的夾角為45°，則m·n＝()A．12B．12eq\r(2)C．－12eq\r(2)D．－12【解析】m·n＝|m||n|cosθ＝4×6×cos45°＝24×eq\f(\r(2),2)＝12eq\r(2).【答案】B2．已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|＝()A．12B．3C．6D．3eq\r(3)【解析】a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6.【答案】C3．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)【解析】因為|a|＝2，a·(b－a)＝－1，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，所以a·b＝3.又因為|b|＝3，設a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,2×3)＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).【答案】C4．若a·b＞0，則a與b的夾角θ的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))【解析】因為a·b＞0，所以cosθ＞0，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).【答案】A二、填空題5．如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，則eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))的值是________．【解析】方法一eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos(180°－∠B)＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos∠B＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|·eq\f(|\o(AB,\s\up10(→))|,|\o(BC,\s\up10(→))|)＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))|2＝－1.方法二|eq\o(BA,\s\up10(→))|＝1，即eq\o(BA,\s\up10(→))為單位向量，eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－|eq\o(BA,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos∠B，而|eq\o(BC,\s\up10(→))|·cos∠B＝|eq\o(BA,\s\up10(→))|，所以eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－|eq\o(BA,\s\up10(→))|2＝－1.【答案】－16．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為________．【解析】設a與b的夾角為θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2,1×4)＝eq\f(1,2)，又因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)7．已知|a|＝3，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，則a在b方向上的投影為________．【解析】向量a在b方向上的投影為|a|cosθ＝3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)三、解答題8．已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求：(1)a2－b2；(2)(2a－b)·(a＋3b)．【解析】(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－3×42＝－60.9．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；(3)如圖，已知在?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq\f(π,3)，求對角線AC和BD的長．【解析】(1)a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2)，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2＋|b|2－2a·b)＝eq\r(25)＝5，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq\r(325)＝5eq\r(13).(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，則a·b＝25.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.(3)設eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，則|a|＝3，|b|＝1，a與b的夾角θ＝eq\f(π,3).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2).又∵eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up10(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(\o(AC,\s\up10(→))\o(2,\s\up10()))＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13)，|eq\o(DB,\s\up10(→))|＝eq\r(\o(DB,\s\up10(→))\o(2,\s\up10()))＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(7).∴AC＝eq\r(13)，BD＝eq\r(7).10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.(1)求a與b的夾角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)當λ為何值時，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？【解析】(1)由題意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)易知a·b＝－1，則(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝eq\f(4,7).6.3.1平面向量基本定理一、選擇題1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關系是()A．不共線B．共線C．相等D．不確定【解析】∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)．∴a＋b與c共線．【答案】B2．已知AD是△ABC的中線，eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，以a，b為基底表示eq\o(AC,\s\up10(→))，則eq\o(AC,\s\up10(→))＝()A.eq\f(1,2)(a－b)B．2b－aC.eq\f(1,2)(b－a)D．2b＋a【解析】如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點，從而eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))，則eq\o(AC,\s\up10(→))＝2eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝2b－a.【答案】B3．在正方形ABCD中，eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))的夾角等于()A．45°B．90°C．120°D．135°【解析】如圖所示，將eq\o(AC,\s\up10(→))平移到eq\o(CE,\s\up10(→))，則eq\o(CE,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))的夾角即為eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))的夾角，夾角為135°.【答案】D4．若D點在三角形ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up10(→))＝4eq\o(DB,\s\up10(→))＝req\o(AB,\s\up10(→))＋seq\o(AC,\s\up10(→))，則3r＋s的值為()A.eq\f(16,5)B.eq\f(12,5)C.eq\f(8,5)D.eq\f(4,5)【解析】∵eq\o(CD,\s\up10(→))＝4eq\o(DB,\s\up10(→))＝req\o(AB,\s\up10(→))＋seq\o(AC,\s\up10(→))，∴eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＝req\o(AB,\s\up10(→))＋seq\o(AC,\s\up10(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5).∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).【答案】C二、填空題5．已知向量a，b是一組基底，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為________．【解析】因為a，b是一組基底，所以a與b不共線，因為(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.【答案】36．已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up10(→))，則eq\o(OC,\s\up10(→))＝________.【解析】eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))，∵2eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＝0，∴2(eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＋(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))＝0，∴eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝2a－b.【答案】2a－b7．在正方形ABCD中，E是DC邊上的中點，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up10(→))＝________.【解析】eq\o(BE,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CE,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＝b－eq\f(1,2)a.【答案】b－eq\f(1,2)a三、解答題8．已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，試用向量a和b表示c.【解析】因為a，b不共線，所以可設c＝xa＋yb，則xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因為e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))所以c＝a－2b.9．如圖所示，設M，N，P是△ABC三邊上的點，且eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(CN,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))，eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，試用a，b將eq\o(MN,\s\up10(→))、eq\o(NP,\s\up10(→))、eq\o(PM,\s\up10(→))表示出來．【解析】eq\o(NP,\s\up10(→))＝eq\o(AP,\s\up10(→))－eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(CN,\s\up10(→))－eq\o(CM,\s\up10(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up10(→))＝－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)(a－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(PM,\s\up10(→))＝－eq\o(MP,\s\up10(→))＝－(eq\o(MN,\s\up10(→))＋eq\o(NP,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．10．若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足：eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→)).(1)求△ABM與△ABC的面積之比；(2)若N為AB中點，AM與CN交于點O，設eq\o(BO,\s\up10(→))＝xeq\o(BM,\s\up10(→))＋yeq\o(BN,\s\up10(→))，求x，y的值．【解析】(1)由eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))可知M，B，C三點共線，如圖，令eq\o(BM,\s\up10(→))＝λeq\o(BC,\s\up10(→))?eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))?λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即面積之比為14.(2)由eq\o(BO,\s\up10(→))＝xeq\o(BM,\s\up10(→))＋yeq\o(BN,\s\up10(→))?eq\o(BO,\s\up10(→))＝xeq\o(BM,\s\up10(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(BO,\s\up10(→))＝eq\f(x,4)eq\o(BC,\s\up10(→))＋yBN，由O，M，A三點共線及O，N，C三點共線?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示一、選擇題1．設i，j是平面直角坐標系內分別與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量，O為坐標原點，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j，則2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))的坐標是()A．(1，－2)B．(7,6)C．(5,0)D．(11,8)【解析】因為eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(3,4)，所以2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．【答案】D2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐標是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4,2)D．(4，－2)【解析】3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，則b＝()A．(1，－2)B．(1,2)C．(5,6)D．(2,0)【解析】b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．【答案】A4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對坐標平面內的任一向量a，給出下列四個結論：①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是(x，y)，則a＝(x，y)．其中正確結論的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】由平面向量基本定理知①正確；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關，故③錯誤；當a的終點坐標是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．【答案】A二、填空題5．在平面直角坐標系內，已知i、j是兩個互相垂直的單位向量，若a＝i－2j，則向量用坐標表示a＝________.【解析】由于i，j是兩個互相垂直的單位向量，所以a＝(1，－2)．【答案】(1，－2)6．如右圖所示，已知O是坐標原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，則向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐標為________．【解析】設點A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)．【答案】(2eq\r(3)，6)7．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(AB,\s\up10(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，則x＝________.【解析】易得eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(AB,\s\up10(→))相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.【答案】－1三、解答題8．如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i，j作為基底，分別用i，j表示eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，并求出它們的坐標．【解析】由圖形可知，eq\o(OA,\s\up10(→))＝6i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝2i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝－4i＋2j，它們的坐標表示為eq\o(OA,\s\up10(→))＝(6,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(2,4)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4,2)．9．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.(1)求p的坐標；(2)若以a，b為基底，求p的表達式．【解析】(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)設p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－μ＝－6，,－4λ＋3μ＝－3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(21,2)，,μ＝－15，))所以p＝－eq\f(21,2)a－15b.10．已知O是△ABC內一點，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設eq\o(OA,\s\up10(→))a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，試用a，b表示c.【解析】如圖，以O為原點，eq\o(OA,\s\up10(→))為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，由三角函數(shù)的定義，得B(cos150°，sin150°)，C(3cos240°，3sin240°)．即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，又∵A(2,0)，故a＝(2,0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).設c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))＝λ1(2,0)＋λ2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2λ1－\f(\r(3),2)λ2，\f(1,2)λ2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1－\f(\r(3),2)λ2＝－\f(3,2)，,\f(1,2)λ2＝－\f(3\r(3),2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝－3\r(3)，))∴c＝－3a－3eq\r(3)b.6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示一、選擇題1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)【解析】由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．【答案】C2．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2【解析】a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，故選A.【答案】A3．已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三點共線，則點C的坐標可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)【解析】設點C的坐標是(x，y)，因為A，B，C三點共線，所以eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(AC,\s\up10(→)).因為eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))－(1，－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－eq\f(7,2)(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，經(jīng)檢驗可知點(9,1)符合要求，故選C.【答案】C4．已知向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，若eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C．3D．－3【解析】向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,1)，∵eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，故選D.【答案】D二、填空題5．已知向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，則實數(shù)x的值為________．【解析】因為向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.【答案】16．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，給出下列結論：①直線OC與直線BA平行；②eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))；③eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))；④eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)).其中，正確結論的序號為________．【解析】①因為eq\o(OC,\s\up10(→))＝(－2,1)，eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2，－1)，所以eq\o(OC,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))，又直線OC，BA不重合，所以直線OC∥BA，所