廣西柳州市2024屆高二數學第二學期期末質量檢測試題含解析

廣西柳州市2024屆高二數學第二學期期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．2．若，，滿足，，.則（）A． B． C． D．3．某個幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．4．設向量與，且，則（）A． B． C． D．5．等差數列{an}中，a1+a5=10,a4=7,則數列{an}的公差為A．1 B．2 C．3 D．46．設函數的定義域為R，滿足，且當時．則當，的最小值是（）A． B． C． D．7．的值是（）A．B．C．D．8．某體育彩票規(guī)定:從01到36個號中抽出7個號為一注，每注2元．某人想先選定吉利號18，然后再從01到17個號中選出3個連續(xù)的號，從19到29個號中選出2個連續(xù)的號，從30到36個號中選出1個號組成一注．若這個人要把這種要求的號全買，至少要花的錢數為()A．2000元 B．3200元 C．1800元 D．2100元9．已知的分布列為：設則的值為（）A． B． C． D．510．的展開式中的系數是（）A．16 B．70 C．560 D．112011．設橢圓的左、右焦點分別為，其焦距為，點在橢圓的內部，點是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知復數為虛數單位，是的共軛復數，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中，，則邊上中線的長為_____．14．正四棱柱的底面邊長為2，若與底面ABCD所成角為60°，則和底面ABCD的距離是________15．觀察以下各等式：，，，分析上述各式的共同特點，則能反映一般規(guī)律的等式為__________．16．已知不等式恒成立，其中為自然常數，則的最大值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求關于的不等式的解集；（2）若關于的不等式在時恒成立，求實數的取值范圍．18．（12分）在平面直角坐標系中，射線的傾斜角為，且斜率.曲線的參數方程為為參數）；在以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.(1)分別求出曲線和射線的極坐標方程；(2)若與曲線，交點(不同于原點)分別為A,B，求|OA||OB|的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標系中，直線，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設直線與曲線交于，兩點，點在點的下方.（Ⅰ）當時，求，兩點的直角坐標；（Ⅱ）當變化時，求線段中點的軌跡的極坐標方程.20．（12分）某地為了調查市民對“一帶一路”倡議的了解程度，隨機選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進行問卷調查，并通過問卷的分數把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類.得到下表：年齡20,3030,4040,5050,60調查人數/名30302515了解“一帶一路”倡議/名1228155（I）完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為以40歲為分界點對“一帶一路”倡議的了解有差異（結果精確到0.001）；年齡低于40歲的人數年齡不低于40歲的人數合計了解不了解合計（Ⅱ）以頻率估計概率，若在該地選出4名市民（年齡在20歲至60歲），記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數為X，求隨機變量X的分布列，數學期望和方差.附：P0.1500.1000.0500.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635K2=n21．（12分）某市政府為了節(jié)約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民月用電量標準a，用電量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費為此，政府調查了100戶居民的月平均用電量單位：度，以，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖的數據，求直方圖中x的值并估計該市每戶居民月平均用電量的值；用頻率估計概率，利用的結果，假設該市每戶居民月平均用電量X服從正態(tài)分布估計該市居民月平均用電量介于度之間的概率；利用的結論，從該市所有居民中隨機抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數為，求的分布列及數學期望．22．（10分）球O的半徑為R,A﹑B﹑C在球面上，A與B,A與C的球面距離都為，B與C的球面距離為，求球O在二面角B-OA-C內的部分的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．2、A【解題分析】

利用指數函數和對數函數的單調性即可比較大小.【題目詳解】，，，，，，，，，故選：A.【題目點撥】本題考查了指數函數和對數函數的單調性，考查了計算能力和推理能力，屬于基礎題.3、A【解題分析】

試題分析：由三視圖可知該幾何體的體積等于長方體體積和半個圓柱體積之和，．考點：三視圖與體積．4、B【解題分析】

利用列方程，解方程求得的值，進而求得的值.【題目詳解】由于，所以，即，而，故，故選B.【題目點撥】本小題主要考查向量數量積的坐標運算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.5、B【解題分析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋6、D【解題分析】

先求出函數在區(qū)間上的解析式，利用二次函數的性質可求出函數在區(qū)間上的最小值．【題目詳解】由題意可知，函數是以為周期的周期函數，設，則，則，即當時，，可知函數在處取得最小值，且最小值為，故選D.【題目點撥】本題考查函數的周期性以及函數的最值，解決本題的關鍵就是根據周期性求出函數的解析式，并結合二次函數的基本性質求解，考查計算能力，屬于中等題．7、B【解題分析】試題分析：設，結合定積分的幾何意義可知定積分值為圓在第一象限的面積的值是考點：定積分的幾何意義8、D【解題分析】第步從到中選個連續(xù)號有種選法；第步從到中選個連續(xù)號有種選法；第步從到中選個號有種選法.由分步計數原理可知：滿足要求的注數共有注,故至少要花,故選D.9、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點撥】本題考查數學期望的運算性質，也可根據兩個變量之間的關系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．10、D【解題分析】

設含的為第，所以，故系數為：，選D．11、B【解題分析】由題設可得，即，解之得，即；結合圖形可得，即，應選答案B。點睛：解答本題的關鍵是建構不等式（組），求解時先依據題設條件，將點代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質，建立了不等式，進而使得問題獲解。12、C【解題分析】，選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長，而，用余弦定理求出的表達式，代入上式可以直接求出的長．【題目詳解】由余弦定理可知：,設，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長為．【題目點撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長的問題．本題也可以應用中點三角形來求解，過程如下：延長至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．14、.【解題分析】分析：確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，即可求得結論．詳解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∵A1C1?平面A1B1C1D1，∴A1C1∥平面ABCD∴A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為2，AC1與底面ABCD成60°角，∴A1A=2tan60°=故答案為．點睛：本題考查線面距離，確定A1C1到底面ABCD的距離為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高是解題的關鍵．如果直線和已知的平面是平行的，可以將直線和平面的距離，轉化為直線上一點到平面的距離.15、【解題分析】由題意得，，與相差了，另外根據所給三個式子的特點可得一般規(guī)律為．答案：16、【解題分析】

先利用導數確定不等式恒成立條件，再利用導數確定的最大值.【題目詳解】令當時，，不滿足條件；當時，，當時當時因此，從而令再令所以當時；當時；即，從而的最大值為.【題目點撥】本題考查利用導數研究不等式恒成立以及利用導數求函數最值，考查綜合分析求解能力，屬較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）分類討論，轉化為三個不等式組，即可求解不等式的解集；（2）由題意，令，則不等式恒成立，即為，分類討論即可求解實數的取值范圍．詳解：（1）原不等式化為：①或②或③．解得或或．∴原不等式的解集為（2）令，則只須即可．①當時，（時取等）；②當時，（時取等）．∴．點睛：本題主要考查了絕對值不等式的求解及其應用，其中合理分類討論，轉化為等價不等式組進行求解是解答絕對值問題的關鍵，著重考查了推理與運算能力．18、（1）（2）【解題分析】試題分析：(1)結合題中所給的方程的形式整理可得曲線和射線的極坐標方程分別是：.(2)聯立的方程，結合題意可求得|OA||OB|的取值范圍是(.試題解析：(1)的極坐標方程為，的極坐標方程為，(2)聯立，得聯立，得∴19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據題意，可將直線與曲線C聯立求得，兩點的直角坐標；（II）（解法一）當變化時，，于是可知點的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設，可用相關點法表示出的坐標，代入，于是得到軌跡方程.【題目詳解】解：（Ⅰ）當時，直線，曲線的普通方程為：，由解得或，∵點在點的下方，所以，兩點的直角坐標為：，.（II）（解法一）當變化時，，所以點的軌跡是以為直徑的圓（點除外），因為曲線是圓心為的圓，則以為直徑的圓的圓心坐標，半徑為2.所以點軌跡的直角坐標方程為，所以點軌跡的極坐標方程為.（解法二）設，因為點是線段中點，是極點，所以點的坐標為，代入中，得，因為，不重合，所以，所以點軌跡的極坐標方程為.【題目點撥】本題主要考查直線與圓的位置關系，軌跡方程.意在考查學生的轉化能力，計算能力，邏輯推理能力，難度中等.20、（Ⅰ）填表見解析，有90%的把握認為以40歲為分界點“一帶一路”倡議的了解有差異（Ⅱ）見解析【解題分析】

（1）由表格讀取信息，年齡低于40歲的人數共60人，年齡不低于40歲的人數，代入K2（2）在總體未知的市民中選取4人，每位市民被選中的概率由頻率估計概率算出35，所以隨機變量X服從二項分布【題目詳解】解：（Ⅰ）根據已知數據得到如下列聯表年齡低于40歲的人數年齡不低于40歲的人數合計了解402060不了解202040合計6040100K故有90%的把握認為以40歲為分界點“一帶一路”倡議的了解有差異.（Ⅱ）由題意，得市民了解“一帶一路”倡議的概率為60100=3PX=0=C40PX=3=C則X的分布列為X01234P169621621681EX=4×3【題目點撥】本題要注意選取4人是在總體中選，而不是在100人的樣本中選，如果看成是在樣本中100人選4人，很容易誤用超幾何分布模型求解.21、(1)225.6.(2)（i）；（ii）分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）由矩形面積和為列方程可得，利用每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和，即可得到該市每戶居民平均用電量的值；(2)（i）由正態(tài)分布的對稱性可得結果；（ii）因為，則，，從而可得分布列，利用二項分布的期望公式可得結果.詳解：（1）由得（2）（i）（ii）因為，∴，.所以的分布列為0123所以點睛：“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望．對于某些實際問題中的隨機變量，如