2024屆焦作市重點中學數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆焦作市重點中學數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)=lnxA． B． C． D．2．如圖過拋物線焦點的直線依次交拋物線與圓于A、B、C、D，則A．4 B．2 C．1 D．3．隨機變量服從正態(tài)分布，且.已知，則函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20004．己知，是橢圓的左右兩個焦點，若P是橢圓上一點且，則在中（）A． B． C． D．15．曲線在處的切線斜率是()A． B． C． D．6．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥n，m∥β，則n∥β；④若m⊥α，m⊥β，則α⊥β.其中真命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．47．已知集合，現(xiàn)從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素集合，則可以組成這樣的新集合的個數(shù)為（）A． B． C． D．8．甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，分別以，，表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結論中不正確的是（）A．事件與事件不相互獨立 B．、、是兩兩互斥的事件C． D．9．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若{an}和{}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a6＝()A． B． C．. D．110．已知直線、經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是A．9 B．8 C．4 D．211．命題：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，12．集合，那么（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若＝，則x的值為_______．14．已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為____.15．在極坐標系中，直線被圓ρ＝4截得的弦長為________．16．已知則的值為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩人進行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）用X表示比賽決出勝負時的總局數(shù)，求隨機變量X的分布列和均值.18．（12分）已知點P(2,2),圓，過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.(1)求點M的軌跡方程;(2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.19．（12分）（．在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒獎．某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值X（元）的概率分布列．20．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線與直線相切，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個零點，，證明.21．（12分）某中學學生會由8名同學組成，其中一年級有2人，二年級有3人，三年級有3人，現(xiàn)從這8人中任意選取2人參加一項活動.（1）求這2人來自兩個不同年級的概率；（2）設表示選到三年級學生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）選修4-5：不等式選講設函數(shù).（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若，求不等式的解集.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性，排除選項B,D，再利用特殊點的函數(shù)值判斷即可．【題目詳解】函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除選項B,D；當-1<x<0,f（x）<0，排除選項C故選：A．【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的變化趨勢是判斷函數(shù)的圖象的常用方法．2、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的幾何意義轉化，，再通過直線過焦點可知，即可得到答案.【題目詳解】拋物線焦點為，,,，于是，故選C.【題目點撥】本題主要考查拋物線的幾何意義，直線與拋物線的關系，意在考查學生的轉化能力，計算能力及分析能力.3、C【解題分析】圖象不經(jīng)過第二象限，，隨機變量服從正態(tài)分布，且，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為，故選C.4、A【解題分析】

根據(jù)橢圓方程求出、，即可求出、，再根據(jù)余弦定理計算可得；【題目詳解】解：因為，所以，，又因為，，所以，在中，由余弦定理，即，，故選：【題目點撥】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)及余弦定理解三角形，屬于基礎題.5、C【解題分析】

根據(jù)已知對求導，將代入導函數(shù)即可.【題目詳解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴當時，.故選C.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求切線斜率問題，已知切點求切線斜率問題，先求導再代入切點橫坐標即可，屬于基礎題.6、A【解題分析】對于①，由直線與平面垂直的判定定理易知其正確；對于②，平面α與β可能平行或相交，故②錯誤；對于③，直線n可能平行于平面β，也可能在平面β內(nèi)，故③錯誤；對于④，由兩平面平行的判定定理易得平面α與β平行，故④錯誤．綜上所述，正確命題的個數(shù)為1，故選A.7、C【解題分析】分析：根據(jù)解元素的特征可將其分類為：集合中有5和沒有5兩類進行分析即可.詳解：第一類：當集合中無元素5：種，第二類：當集合中有元素5：種，故一共有14種，選C點睛：本題考查了分類分步計數(shù)原理，要做到分類不遺漏，分步不重疊是解題關鍵.8、D【解題分析】分析：由題意，，是兩兩互斥事件，條件概率公式求出，，對照選項即可求出答案.詳解：由題意，，是兩兩互斥事件，,,,,而.所以D不正確.故選：D.點睛：本題考查相互獨立事件，解題的關鍵是理解題設中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較復雜，正確理解事件的內(nèi)蘊是解題的關鍵.9、B【解題分析】

設等差數(shù)列{an}和{}的公差為d，可得an=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，于是==+d，=+2d，化簡整理可得a1，d，即可得出．【題目詳解】設等差數(shù)列{an}和{}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，∴==+d，=+2d，平方化為：a1+d=d2+2d，2a1+3d=4d2+4d，可得：a1=d﹣d2，代入a1+d=d2+2d，化為d（2d﹣1）=0，解得d=0或．d=0時，可得a1=0，舍去．∴，a1=．∴a6=．故答案為：B【題目點撥】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項和前n項和，意在考查學生歲這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)本題的關鍵是利用==+d，=+2d求出d.10、A【解題分析】

由圓的一般方程得圓的標準方程為，所以圓心坐標為，由直線過圓心，將圓心坐標代入得，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以最小值為1【題目詳解】圓化成標準方程，得，圓的圓心為，半徑．直線經(jīng)過圓心C，，即，因此，，、，，當且僅當時等號成立．由此可得當，即且時，的最小值為1．故選A．【題目點撥】若圓的一般方程為，則圓心坐標為，半徑11、C【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可進行選擇.【題目詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故可得，的否定是，.故選：C.【題目點撥】本題考查全稱命題的否定，屬基礎題.12、D【解題分析】

把兩個集合的解集表示在數(shù)軸上，可得集合A與B的并集．【題目詳解】把集合A和集合B中的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則A∪B={x|-2＜x＜3}故選A．【題目點撥】本題考查學生理解并集的定義掌握并集的運算法則，靈活運用數(shù)形結合的數(shù)學思想解決數(shù)學問題，屬基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4或9.【解題分析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結果詳解：因為＝，所以因此點睛：組合數(shù)性質(zhì)：14、【解題分析】

焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，可知，由此可求出雙曲線的離心率?！绢}目詳解】由題可設焦點在軸上的雙曲線方程為，由于該雙曲線的漸近線方程為，則，在雙曲線中，所以雙曲線的離心率，故雙曲線的離心率為?！绢}目點撥】本題考查雙曲線的離心率的求法，雙曲線漸近方程的應用，屬于基礎題。15、【解題分析】將直線及圓分別化成直角坐標方程：，．利用點到直線距離求出圓心到直線的距離為1．∴長等于16、【解題分析】

試題分析：,.考點：分段函數(shù)求值．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)概率的乘法公式，求出對應的概率，即可得到結論．（2）利用離散型隨機變量分別求出對應的概率，即可求X的分布列以及數(shù)學期望．【題目詳解】用A表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”則，，.（1）.（2）X的所有可能取值為.，，，.∴X的分布列為X2345P∴【題目點撥】本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、(1)；(2)直線的方程為，的面積為.【解題分析】

求得圓的圓心和半徑.（1）當三點均不重合時，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，是定點，所以的軌跡是以為直徑的圓（除兩點），根據(jù)圓的圓心和半徑求得的軌跡方程.當三點有重合的情形時，的坐標滿足上述求得的的軌跡方程.綜上可得的軌跡方程.（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)（垂徑定理），求得直線的斜率，進而求得直線的方程.根據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)求得的面積.【題目詳解】圓，故圓心為，半徑為.(1)當C,M,P三點均不重合時,∠CMP=90°,所以點M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點P,C),線段中點為，，故的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).當C,M,P三點中有重合的情形時,易求得點M的坐標為(2,2)或(0,4).綜上可知,點M的軌跡是一個圓,軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知點M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3,所以的斜率為，故的方程為，即.又易得|OM|=|OP|=，點O到的距離為，，所以△POM的面積為.【題目點撥】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查圓的幾何性質(zhì)，考查等腰三角形面積的計算，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）分布列見解析.【解題分析】

⑴運用古典概率方法，從有獎的4張獎券中抽到了1張或2張算出答案依題意可知，的所有可能取值為，用古典概型分別求出概率，列出分布列【題目詳解】（1）該顧客中獎，說明是從有獎的4張獎券中抽到了1張或2張，由于是等可能地抽取，所以該顧客中獎的概率P＝.（或用間接法，P=1-）.(2)依題意可知，X的所有可能取值為0,10,20,50,60(元)，且P(X＝0)＝，P(X＝10)＝，P(X＝20)＝，P(X＝50)＝，P(X＝60)＝.所以X的分布列為：X010205060P【題目點撥】本題主要考查的是等可能事件的概率及離散型隨機變量及其分布列，本題的解題關鍵是看出要求概率的事件包含的結果數(shù)比較多，注意做到不重不漏20、(1)0.(2)證明見解析.【解題分析】

分析：求出導函數(shù)，可設切點為，由此可得切線方程，與已知切線方程比較可求得．（2）由可把用表示（注意是，不是它們中的單獨一個），這樣中的可用代換，不妨設，設，可表示為的函數(shù)，然后求得此函數(shù)的單調(diào)性與最值后可得證．詳解：（1）由，得，設切點橫坐標為，依題意得，解得．（2）不妨設，由，得，即，所以，設，則，，設，則，即函數(shù)在上遞減，所以，從而，即點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值．函數(shù)存在零點且證明與零點有關的問題，可利用零點的定義把參數(shù)用零點表示，這樣要證明的式子就可表示的代數(shù)式，然后只要設，此代數(shù)式又轉化為關于的代數(shù)式，把它看作是的函數(shù)，用導數(shù)求得此函數(shù)的最值，從而證明題設結論．21、(1).(2)見解析.【解題分析】

（1）正難則反，先求這2人來自同一年級的概率，再用1減去這個概率，即為這2人來自兩個不同年級的概率；（2）先求X的所有可能的取值，為0,1,2，再分別求時對應的概率P進而得到分布列，利用計算可得數(shù)學期望?！绢}目詳解】（1）設事件表示“這2人來自同一年級”,這2人來自兩個不同年級的概率為.（2）隨機變量的可能取值為0,1,2,,,所以的分布列為012【題目點撥】本題考查古典概型的概率求解、離散型隨機變量的分布列