2024屆吉林省白山市長(zhǎng)白實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆吉林省白山市長(zhǎng)白實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“b2=ac”是“a,b,c成等比數(shù)列”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．是（）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)3．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)說法：；函數(shù)的周期為；在區(qū)間上單調(diào)遞增；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱其中正確說法的序號(hào)是A． B． C． D．5．2017年1月我市某校高三年級(jí)1600名學(xué)生參加了全市高三期末聯(lián)考，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)（試卷滿分150分）．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次期末聯(lián)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為A．120 B．160 C．200 D．2406．函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為A． B．或C． D．或7．已知命題；命題若，則．則下列命題為真命題的是A． B．C． D．8．某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有（）A．8種 B．15種 C．種 D．種9．已知函數(shù)，若，且對(duì)任意的恒成立，則的最大值為A．3 B．4 C．5 D．610．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．11．從混有4張假鈔的10張一百元紙幣中任意抽取3張，若其中一張是假幣的條件下，另外兩張都是真幣的概率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．課本中，在形如……的展開式中，我們把）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，類似地在…的展開式中，我們把叫做三項(xiàng)式系數(shù)，則……的值為______.14．在如圖的數(shù)表中，僅列出了前6行，照此排列規(guī)律還可以繼續(xù)排列下去，則數(shù)表中第（）行左起第3個(gè)數(shù)為_______。15．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足的概率為，則_______.16．對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若滿足①；②當(dāng)，且時(shí)，都有；③當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱為“偏對(duì)稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.則其中是“偏對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)序號(hào)為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)在上為減函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知等差數(shù)列不是常數(shù)列，其前四項(xiàng)和為10，且、、成等比數(shù)列.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：毫克)，質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品。如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖。產(chǎn)品質(zhì)量/毫克頻數(shù)（1）根據(jù)乙流水線樣本的頻率分布直方圖，求乙流水線樣本質(zhì)量的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品包裝是否合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)？甲流水線乙流水線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)下列臨界值表僅供參考：參考公式：，其中.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），兩曲線相交于，兩點(diǎn).（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、分別是、中點(diǎn).（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】2、D【解題分析】

整理,即可判斷選項(xiàng).【題目詳解】由題,因?yàn)?所以該函數(shù)是奇函數(shù),周期為,故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的應(yīng)用.3、A【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)確定象限.【題目詳解】解：∵，∴，∴復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為4、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的周期性可排除，同時(shí)可以確定對(duì)．由，可去絕對(duì)值函數(shù)化為，可判斷對(duì)．由取特值，可確定錯(cuò)．【題目詳解】，所以函數(shù)的周期不為，錯(cuò)，，周期為．=，對(duì)．當(dāng)時(shí)，，，所以f(x)在上單調(diào)遞增．對(duì)．，所以錯(cuò)．即對(duì)，填．【題目點(diǎn)撥】本題以絕對(duì)值函數(shù)形式綜合考查三角函數(shù)求函數(shù)值、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)，需要從定義角度入手分析，也是解題之根本．5、C【解題分析】結(jié)合正態(tài)分布圖象的性質(zhì)可得：此次期末聯(lián)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.選C.6、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，在單調(diào)遞增，得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，【題目詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，則，故，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不等式，或者，的解集為，故選D.【題目點(diǎn)撥】此題考查了函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，對(duì)于抽象函數(shù)，且要求解不等式的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較，直接比較括號(hào)內(nèi)的自變量的大小即可.7、B【解題分析】試題分析：顯然命題是真命題；命題若，則是假命題，所以是真命題，故為真命題.考點(diǎn)：命題的真假.8、C【解題分析】由題意得，每一封不同的電子郵件都有三種不同的投放方式，所以把封電子郵件投入個(gè)不同的郵箱，共有種不同的方法，故選C.9、B【解題分析】由,則=可化簡(jiǎn)為,構(gòu)造函數(shù),,令,即在單調(diào)遞增,設(shè),因?yàn)?,所以,且,故在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以,又,,即k的最小值為4,故選B.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的恒成立和有解問題,屬于較難題目.首先根據(jù)自變量x的范圍,分離參數(shù)和變量,轉(zhuǎn)化為新函數(shù)g(x)的最值,通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性,可知在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以,且,,通過對(duì)最小值化簡(jiǎn)得出的范圍,進(jìn)而得出k的范圍.10、D【解題分析】

由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，故，分析即得解【題目詳解】由題意，等差數(shù)列，且可得故所以當(dāng)時(shí)，則的通項(xiàng)公式可能是故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.11、A【解題分析】分析:直接利用條件概率公式求解.詳解：由條件概率公式得.故答案為A點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對(duì)條件概率的掌握水平.(2)條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個(gè)條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時(shí)也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識(shí)別.12、D【解題分析】

對(duì)進(jìn)行變形，得到，令，，即的整數(shù)個(gè)數(shù)為3，再由的函數(shù)圖像和的函數(shù)圖像，寫出限制條件，得到答案【題目詳解】，即設(shè)，其中時(shí)，時(shí)，即符合要求，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，為極小值.有三個(gè)整數(shù)解，則還有一個(gè)整數(shù)解為或者是①當(dāng)解集包含時(shí)，時(shí)，所以需要滿足即，解得②當(dāng)解集包含時(shí)，需要滿足即整理得，而，所以無解集，即該情況不成立.綜上所述，由①②得，的范圍為故選D項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系與解析式大小之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，題目較綜合，考查內(nèi)容比較多，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解題分析】

根據(jù)的等式兩邊的項(xiàng)的系數(shù)相同，從而求得要求式子的值.【題目詳解】，其中系數(shù)為……，，而二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，因?yàn)?015不是3的倍數(shù)，所以的展開式中沒有項(xiàng)，由代數(shù)式恒成立可得……，故答案為：0.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生的分析能力和理解能力，關(guān)鍵在于構(gòu)造并分析其展開式，是一道難題.14、【解題分析】

根據(jù)題意先確定每行最后一個(gè)數(shù)，再求結(jié)果【題目詳解】依排列規(guī)律得，數(shù)表中第行最后一個(gè)數(shù)為第行左起第3個(gè)數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15、2【解題分析】

畫出數(shù)軸，利用滿足的概率，可以求出的值即可.【題目詳解】如圖所示，區(qū)間的長(zhǎng)度是6，在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，若滿足的概率為，則有，解得，故答案是：2.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)長(zhǎng)度型幾何概型的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型的概率公式，屬于簡(jiǎn)單題目.16、①④.【解題分析】分析：條件②等價(jià)于f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，條件③等價(jià)于f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判斷各函數(shù)是否滿足條件即可得出結(jié)論．詳解：由②可知當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調(diào)遞減，不滿足條件②，∴f2（x）不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；又（）=（）=0，∴（x）在（0，+∞）上不單調(diào)，故（x）不滿足條件②，∴（x）不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；又f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調(diào)遞減，不滿足條件②，∴f2（x）不是“偏對(duì)稱函數(shù)”；由③可知當(dāng)x1＜0時(shí)，f（x1）＜f（﹣x2），即f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，對(duì)于（x），當(dāng)x＜0時(shí)，（x）﹣（﹣x）=﹣x﹣e﹣x+1，令h（x）=﹣x﹣e﹣x+1，則h′（x）=﹣1+e﹣x＞0，∴h（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，故h（x）＜h（0）=0，滿足條件③，由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可知（x）滿足條件①，②，∴（x）為“偏對(duì)稱函數(shù)”；對(duì)于f4（x），f4′（x）=2e2x﹣ex﹣1=2（ex﹣）2﹣，∴當(dāng)x＜0時(shí)，0＜ex＜1，∴f4′（x）＜2（1﹣）2﹣=0，當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞1，∴f4′（x）＞2（1﹣）2﹣=0，∴f4（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足條件②，當(dāng)x＜0，令m（x）=f4（x）﹣f4（﹣x）=e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，則m′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2=2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，令e﹣x+ex=t，則t≥2，于是m′（x）=2t2﹣t﹣6=2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣=0，∴m（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴m（x）＜m（0）=0，故f4（x）滿足條件③，又f4（0）=0，即f4（x）滿足條件①，∴f4（x）為“偏對(duì)稱函數(shù)”．故答案為：①④．點(diǎn)睛：本題以新定義“偏對(duì)稱函數(shù)”為背景，考查了函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）由于是奇函數(shù)，，因此要證明的不等式可變形為要證明，因此只要說明與異號(hào)，即與的大小和與的大小關(guān)系正好相反即可，這由減函數(shù)的定義可得，證明時(shí)可分和分別證明即可；（2）這個(gè)函數(shù)不等式由奇函數(shù)的性質(zhì)可化為，然后由單調(diào)性可去“”，并注意將和限制在定義域內(nèi)，可得出關(guān)于的不等式組，就可解得范圍．【題目詳解】（1）∵定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴為奇函數(shù)．若，則，∴，∴，∴成立．若，則，∴．∴，∴成立．綜上，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有恒成立．（2），得，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義以及單調(diào)性與奇偶性解不不等式，解題的關(guān)鍵就是利用奇偶性將不等式進(jìn)行變形，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化，同時(shí)要注意自變量要限制在定義域內(nèi)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)條件列方程組，根據(jù)首項(xiàng)和公差求通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)求和公式求解.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，解得：；（2），，是公比為8，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差和等比數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題型，只需熟記公式.19、（1）210；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）先判斷中位數(shù)在第四組，再根據(jù)比例關(guān)系得到計(jì)算得到答案.（2）完善列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值表作比較得到答案.【題目詳解】解：（1）因?yàn)榍叭M的頻率之和前四組的頻率之和所以中位數(shù)在第四組，設(shè)為由，解得（2）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個(gè)數(shù)為，所以，列聯(lián)表是：甲流水線乙流水線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)所以的觀測(cè)值故在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為產(chǎn)品的包裝是否合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了中位數(shù)的計(jì)算，獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力.20、(1)當(dāng)a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當(dāng)，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當(dāng)a=，在（0，+∞）遞增；當(dāng)a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2).【解題分析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，可證明，當(dāng)時(shí)與當(dāng)且時(shí)，至多一個(gè)零點(diǎn)，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)?，，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)時(shí)，由得，（舍去），①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，或，恒成立，在上單調(diào)遞增；時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.③當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，令，則在成立，故單調(diào)遞增，，，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)極值，，記，，令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，時(shí)，，故，又，由（1）知，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問