2024屆廣東省興寧市一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆廣東省興寧市一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．同學(xué)聚會上，某同學(xué)從《愛你一萬年》，《十年》，《父親》，《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則《愛你一萬年》未選取的概率為（）A．B．C．D．2．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），若方程有且僅有四個不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．3．已知，，則A． B． C． D．4．已知向量，則與的夾角為（）A．0 B． C． D．5．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系A(chǔ)． B．C． D．7．展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．358．橢圓的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．09．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為()A． B． C． D．10．若，則A．10 B．15 C．30 D．6011．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．已知，那么“”是“且”的A．充分而不必要條件 B．充要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級考，已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A的概率分別為、、，這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個A的概率為____14．已知正方體的棱長為2，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是______.15．曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線的方程為____．16．若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）若，，求的值；（2）若，化簡：.18．（12分）已知復(fù)數(shù)z滿足|3+4i|+z=1+3i.(1)求；(2)求的值.19．（12分）已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求z.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將圓上每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線.（1）求直線的普通方程及曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時點(diǎn)的直角坐標(biāo).21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，證明：.22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），在同一直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線.（1）求曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，已知點(diǎn)，求直線傾斜角的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】,所以選B.2、D【解題分析】

首先需要根據(jù)方程特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方程解的問題，最后利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求切線斜率問題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，所以零點(diǎn)成對出現(xiàn)，依題意，方程有兩個不同的正根，又當(dāng)時，，所以方程可以化為：，即，記，，設(shè)直線與圖像相切時的切點(diǎn)為，則切線方程為，過點(diǎn)，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.3、A【解題分析】，故選A.4、C【解題分析】由題設(shè)，故，應(yīng)選答案C．5、C【解題分析】

先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【題目詳解】∵，即，（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．6、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

利用多項(xiàng)式乘法將式子展開,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)即可求得的系數(shù).【題目詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)為則展開式的通項(xiàng)為則展開式中的項(xiàng)為則展開式中的系數(shù)為故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)定理展開式的應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

寫設(shè)橢圓1上的點(diǎn)為M（3cosθ，2sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)能求出橢圓1上的點(diǎn)到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值．【題目詳解】解：設(shè)橢圓1上的點(diǎn)為M（3cosθ，2sinθ），則點(diǎn)M到直線x+2y﹣4＝1的距離：d|5sin（θ+α）﹣4|，∴當(dāng)sin（θ+α）時，橢圓1上的點(diǎn)到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值dmin＝1．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程以及點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)求最值，屬于中檔題．9、C【解題分析】分析：根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式求出的面積，利用橢圓的定義求出三角形的周長，代入內(nèi)切圓半徑，從而可得結(jié)果.詳解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則的坐標(biāo)為，過且斜率為的直線為，即，代入，得，則，故的面積，的周長，故的內(nèi)切圓半徑，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.10、B【解題分析】

分析：由于，與已知對比可得的值1．詳解：由于，與已知對比可得故選B.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，觀察分析得到是關(guān)鍵，考查分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．11、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)為奇函數(shù)得出，將不等式轉(zhuǎn)化為，即，利用函數(shù)的單調(diào)性可求解．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，，由，得，即，所以，，由于函數(shù)在上為單調(diào)遞減，因此，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式問題，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù)，一般而言，利用構(gòu)造新函數(shù)來解函數(shù)不等式的基本步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，必要時分析函數(shù)的單調(diào)性；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出與的大小關(guān)系．12、C【解題分析】

先利用取特殊值法判斷x?y＞0時，x＞0且y＞0不成立，再說明x＞0且y＞0時，x?y＞0成立，即可得到結(jié)論．【題目詳解】若x＝﹣1，y＝﹣1，則x?y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，則x?y＞0一定成立，故“x?y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分條件故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是充要條件的定義，考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求對立事件概率：三門科目考試成績都不是A，再根據(jù)對立事件概率關(guān)系求結(jié)果.【題目詳解】這位考生三門科目考試成績都不是A的概率為，所以這位考生至少得1個A的概率為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用對立事件求概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

分別取的中點(diǎn),并連同點(diǎn)順次連接,六邊形就是所求的動點(diǎn)的軌跡,求出面積即可.【題目詳解】如下圖所示：分別取的中點(diǎn),并連同點(diǎn)順次連接，因?yàn)槭侨切蔚闹形痪€,所以平面,平面,同理都平行平面,所以就是所求的動點(diǎn)的軌跡,該正六邊形的邊長為,所以正六邊形的面積為：.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力.15、；【解題分析】

曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，這個變換可分成兩個步驟：先是關(guān)于直線對稱，再關(guān)于軸對稱得到.【題目詳解】繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°等同于先關(guān)于直線翻折，再關(guān)于軸翻折，關(guān)于直線翻折得到，再關(guān)于軸翻折得到.【題目點(diǎn)撥】本題表面考查旋轉(zhuǎn)變換，而實(shí)質(zhì)考查的是兩次的軸對稱變換，要注意指數(shù)函數(shù)與同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對稱.16、【解題分析】

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用雙曲線的定義求出的值，結(jié)合焦距求出的值，從而可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題目詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，該雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，由雙曲線的定義可得，，則，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查過點(diǎn)求雙曲線的方程，在雙曲線的焦點(diǎn)已知的前提下，可以利用定義來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可以利用待定系數(shù)法求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）分別令，，利用二項(xiàng)展開式展開和，將兩式相減可得出的值；（2）將代入，求得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，利用組合數(shù)公式可得，化簡可得結(jié)果.【題目詳解】（1），時，令得，令得可得；（2）若，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，·····綜上，.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題，涉及到的知識點(diǎn)有利用賦值法求對應(yīng)系數(shù)的和，利用組合數(shù)公式化簡相應(yīng)的式子，屬于中檔題目.18、（1）；（2）2【解題分析】

（1）先求出為,即可求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計算即可得出結(jié)論.【題目詳解】(1)因?yàn)閨3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2.【題目點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用純虛數(shù)的定義設(shè)出并表示即可求解.（2）代入和，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)，則由題意得.∴∴（2）∵∴【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念等知識，是基礎(chǔ)題20、(1)（為參數(shù)）(2)【解題分析】

運(yùn)用消參求出直線的普通方程，解出曲線的普通方程，然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，運(yùn)用參數(shù)方程進(jìn)行求解【題目詳解】（1）由得，消元得設(shè)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)樯系狞c(diǎn)，依題意得由，得∴化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）由題意，最小值即橢圓上點(diǎn)到直線距離的最小值設(shè)，（其中，）∴，此時，即（）∴，∴∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了普通方程與參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化，需要運(yùn)用公式熟練求解，在求最值問題時運(yùn)用參量來求解，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。21、（1）當(dāng)，取得極小值；當(dāng)時，取得極大值；（2）見解析.【解題分析】【試題分析】(1)當(dāng)時,利用導(dǎo)數(shù)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得函數(shù)的極值.(2)當(dāng)時,化簡原不等式得,分別利用導(dǎo)數(shù)求得左邊對應(yīng)函數(shù)的最小值,和右邊對應(yīng)函數(shù)的最大值,最小值大于最大值,即可證明原不等式成立.【試題解析】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．所以，當(dāng)，取得極小值；當(dāng)時，取得極大值．（2）證明：當(dāng)時，，，所以不等式可變?yōu)椋C明上述不等式成立，即證明．設(shè)，則，令，得，在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．所以．令，則，在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，所以，所以，即，即，由此可知．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值的求法.考查