2024屆湖南省邵陽市邵東一中數(shù)學高二下期末監(jiān)測試題含解析

2024屆湖南省邵陽市邵東一中數(shù)學高二下期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關指數(shù)R2為0.98 B．模型2的相關指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關指數(shù)R2為0.50 D．模型4的相關指數(shù)R2為0.252．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．3．已知i是虛數(shù)單位，若z=1+i1-2i，則z的共軛復數(shù)A．-13-i B．-14．的展開式中有理項系數(shù)之和為（）A． B． C． D．5．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．2π＋2 B．4π＋2C．2π＋ D．4π＋6．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，現(xiàn)將ΔABC繞BC所在直線旋轉至ΔPBC，設二面角P-BC-A的大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0<θ<π，則（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π47．甲乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是23A．2027B．49C．88．已知，用數(shù)學歸納法證明時．假設當時命題成立，證明當時命題也成立，需要用到的與之間的關系式是（）A． B．C． D．9．在“石頭、剪刀、布”游戲中，規(guī)定“石頭贏剪刀、剪刀贏布、布贏石頭”，現(xiàn)有小明、小澤兩位同學玩這個游戲，共玩局，每一局中每人等可能地獨立選擇一種手勢.設小明贏小澤的局數(shù)為，且，則（）A．1 B． C． D．210．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．11．設隨機變量，若，則（）A． B． C． D．12．設是定義在上的偶函數(shù)，對，都有，且當時，，若在區(qū)間內(nèi)關于的方程恰好有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間中，已知一個正方體是12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于，則______．14．有位同學參加學校組織的政治、地理、化學、生物門活動課，要求每位同學各選一門報名（互不干擾），則地理學科恰有人報名的方案有______．15．已知復數(shù)（，為常數(shù)，）是復數(shù)的一個平方根，那么復數(shù)的兩個平方根為______.16．隨機變量X的分布列是123P0.40.20.4則EX,DX分別是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為三個內(nèi)角,,的對邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.18．（12分）從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.19．（12分）數(shù)列滿足.（1）計算，并由此猜想通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.20．（12分）已知函數(shù)，.（I）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，即在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，，直線與平面所成的角等于．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，若直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）設點的直角坐標為，過的直線與直線平行，且與曲線交于、兩點，若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】解：因為回歸模型中擬合效果的好不好，就看相關指數(shù)是否是越接近于1，月接近于1，則效果越好．選A2、C【解題分析】

由，得出，計算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.3、C【解題分析】

通過分子分母乘以分母共軛復數(shù)即可化簡，從而得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意z=1+i1+2i【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的四則運算，共軛復數(shù)的概念，難度較小.4、B【解題分析】分析：在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求出r的值，再利用二項式系數(shù)的性質，即可求得展開式中有理項系數(shù)之和．詳解：（1+）6的展開式的通項公式為Tr+1=?，令為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，故展開式中有理項系數(shù)之和為+++=25=32，故選：B．點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù)5、C【解題分析】

試題分析：由三視圖知幾何體是一個簡單的組合體，上面是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個正方形，對角線長是，側棱長，高是，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是，高是，所以組合體的體積是，故選C.考點：幾何體的三視圖及體積的計算.【方法點晴】本題主要考查了幾何體的三視圖及其體積的計算，著重考查了推理和運算能力及空間想象能力，屬于中檔試題，解答此類問題的關鍵是根據(jù)三視圖的規(guī)則“長對正、寬相等、高平齊”的原則，還原出原幾何體的形狀，本題的解答中根據(jù)三視圖得出上面一個四棱錐、下面是一個圓柱組成的組合體，得到幾何體的數(shù)量關系是解答的關鍵，屬于基礎題.6、C【解題分析】

由題意畫出圖形，由線面角的概念可得α的范圍，得到C正確，取特殊情況說明A，B，D錯誤．【題目詳解】如圖，ΔABC為等腰直角三角形，AC=BC，將ΔABC繞BC所在直線旋轉至ΔPBC，則PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一條斜線，則PC與平面ABC垂直時，PB與平面ABC所成角最大，則α的范圍為(0，π4]，故此時α<θ，故A錯誤；當PC與平面ABC垂直時，三棱錐C-PAB滿足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，則PA=PB=AB，設AC=BC=1，則PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影為ΔPAB求得OP=63，即PC與平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63當θ無限接近0時，β無限接近π4，β>θ，故B綜上，正確的選項是C．故選：C．【題目點撥】本題考查空間角及其求法，考查空間想象能力與思維能力，屬難題．7、A【解題分析】試題分析：“甲隊獲勝”包括兩種情況，一是2:0獲勝，二是2:1獲勝.根據(jù)題意若是甲隊2:0獲勝，則比賽只有2局，其概率為(23)2=49；若是甲隊2:1獲勝，則比賽3局，其中第3考點：相互獨立事件的概率及n次獨立重復試驗.【方法點晴】本題主要考查了相互獨立事件的概率及n次獨立重復試驗，屬于中檔題.本題解答的關鍵是讀懂比賽的規(guī)則，尤其是根據(jù)“采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結束”把整個比賽所有的可能情況分成兩類，甲隊以2:0獲勝或2:1獲勝，據(jù)此分析整個比賽過程中的每一局的比賽結果，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式及n次獨立重復試驗概率公式求得每種情況的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.8、C【解題分析】

分別根據(jù)已知列出和，即可得兩者之間的關系式.【題目詳解】由題得，當時，，當時，，則有，故選C.【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法的步驟表示，屬于基礎題.9、C【解題分析】

由題意可得，每一局中，小明贏小澤的概率為，且，先由求出，然后即可算出【題目詳解】由題意可得，每一局中，小明贏小澤的概率為，且因為，所以所以故選：C【題目點撥】本題考查的是二項分布的知識，若，則，.10、B【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，即可得到判定，得出答案.【題目詳解】由題意，指數(shù)函數(shù)時，函數(shù)是增函數(shù)，所以不正確，是正確的，又由對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以不正確；對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以不正確，故選B.【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調性的應用，其中熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.11、A【解題分析】

根據(jù)對立事件的概率公式，先求出，再依二項分布的期望公式求出結果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點撥】本題主要考查二項分布的期望公式，記準公式是解題的關鍵．12、D【解題分析】由f(x?2)=f(x+2),可得函數(shù)的周期T=4,當x∈[?2,0]時,，∴可得(?2,6]的圖象如下：從圖可看出,要使f(x)的圖象與y=loga(x+2)的圖象恰有3個不同的交點，則需滿足，求解不等式組可得的取值范圍是.本題選擇D選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于,在可求得.【題目詳解】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于正方體面,與面所成的角為不妨設正方體棱長為,故在中由勾股定理可得:故答案為:.【題目點撥】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形,掌握正方體結構特征是解本題的關鍵.屬于基礎題.14、【解題分析】

由排列組合及分步原理得到地理學科恰有2人報名的方案，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，先在4位同學中選2人選地理學科，共種選法，再將剩下的2人在政治、化學、生物3門活動課任選一門報名，共3×3＝9種選法，故地理學科恰有2人報名的方案有6×9＝1種選法，故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查了排列、組合，以及分步計數(shù)原理的應用，其中解答中認真審題，合理利用排列、組合，以及分步計數(shù)原理求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．15、,【解題分析】

由題可知,再對開根號求的兩個平方根即可.【題目詳解】由題,故,即,故復數(shù)的兩個平方根為與故答案為：,【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的基本運算,運用即可聯(lián)系與的關系,屬于基礎題型.16、2,0.1【解題分析】

于已知分布列，故可直接使用公式求期望、方差．【題目詳解】Eξ=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2，Dξ=（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.2+（3﹣2）2×0.4=0.1．故答案為：2,0.1．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的分布和數(shù)學期望、方差等基礎知識，熟記期望、方差的公式是解題的關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)=2【解題分析】

(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面積==,故=4，而故=8，解得=218、(1)①;②見解析;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是獨立重復試驗，根據(jù)獨立重復試驗概率公式求結果，(ⅱ)抽到紅球次數(shù)服從二項分布，根據(jù)二項分布期望與方差公式求結果，（2）先確定隨機變量取法，再根據(jù)組合數(shù)求對應概率，列表可得分布列.詳解：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②～B(3,),則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)題設條件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想{an}的通項公式．（2）利用數(shù)學歸納法的證明步驟對這個猜想加以證明．詳解：（1）根據(jù)數(shù)列滿足，當時，，即；當時，，即；同理，由此猜想；（2）當時，，結論成立；假設（為大于等于1的正整數(shù)）時，結論成立，即，那么當（大于等于1的正整數(shù)）時，∴，∴，即時，結論成立，則.點睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，寫出切線方程即可（2）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可.【題目詳解】（1）當時，，所以，

所以，又，

所以曲線在點處的切線方程為；

（2）因為函數(shù)f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，

所以在[1，3]上恒成立，令，則，解得，故.所以實數(shù)的取值范圍.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值，導數(shù)的應用，恒成立問題，屬于中檔題.21、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)．【解題分析】

（Ⅰ）先證得，再證得，于是可得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用幾何法求解或建立坐標系，利用向量求解即可得到所求．【題目詳解】（Ⅰ）在中，是斜邊的中點，所以.因為是的中點，所以，且，所以，所以.又因為，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）方法一：取中點，連，則，因為，所以.又因為，，所以平面，所以平面．因此是直線與平面所成的角．故，所以.過點作于，則平面，且．過點作于，