2024屆湖南省長(zhǎng)沙同升湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆湖南省長(zhǎng)沙同升湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系A(chǔ)． B．C． D．3．甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地解答同一個(gè)問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是25和12A．27 B．15 C．24．設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則（）A． B．C． D．5．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．326．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．7．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．8．若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．9．已知命題，總有，則為（）A．使得 B．使得C．總有 D．,總有10．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A．B．C．D．11．在極坐標(biāo)系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．112．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，則P(0<X<1)的值為()A．p B．1－p C．1－2p D．－p二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則___________.14．若向量，且，則等于________.15．橢圓的焦點(diǎn)為、，為橢圓上的一點(diǎn)，，則__________．16．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將圓上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到曲線.（1）求直線的普通方程及曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到曲線的最小距離為，求的值．19．（12分）在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油灌，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊相互獨(dú)立，且命中概率都是，求（1）油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求的分布列．20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，與曲線相交于點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．（1）求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）將，的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：先把拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再求其焦點(diǎn)坐標(biāo).詳解：由題得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)研究圓錐曲線時(shí)，首先一般把曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程再研究.2、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

設(shè)事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個(gè)問題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，求出P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.7【題目詳解】設(shè)事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個(gè)問題被解答”，則P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.2+0.3+0.2＝0.7∴在這個(gè)問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學(xué)都能正確回答該問題的概率：P（AB|C）=P(AB)故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率公式的合理運(yùn)用．4、B【解題分析】分析：易得到fn（x）表達(dá)式以8為周期，呈周期性變化，由于2018÷8余2，故f2008（x）=f2（x），進(jìn)而得到答案詳解：∵f0（x）=ex（cosx+sinx），∴f0′（x）=ex（cosx+sinx）+ex（﹣sinx+cosx）=2excosx，∴f1（x）==excosx，∴f1′（x）=ex（cosx﹣sinx），∴f2（x）==ex（cosx﹣sinx），∴f2′（x）=ex（cosx﹣sinx）+ex（﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，∴f3（x）=﹣exsinx，∴f3′（x）=﹣ex（sinx+cosx），∴f4（x）=﹣ex（cosx+sinx），∴f4′（x）=﹣2excosx，∴f5（x）=﹣excosx，∴f6（x）=﹣ex（cosx﹣sinx），∴f7（x）=exsinx，∴f8（x）=ex（cosx+sinx），…，∴=f2（x）=，故選：B．點(diǎn)睛：本題通過觀察幾個(gè)函數(shù)解析式，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.5、B【解題分析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值．【題目詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.6、B【解題分析】

由，可得，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，據(jù)此可得，結(jié)合函數(shù)的周期性與奇偶性，即可求解．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則有，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即；故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，求得函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算，可得y值．【題目詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=1-2=-1<0，程序運(yùn)行結(jié)束，得，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

根據(jù)題意可知有解,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【題目詳解】由題,若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則有解.當(dāng)時(shí)顯然有解.當(dāng)時(shí),,解得.因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)中僅.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題,需要判斷出導(dǎo)數(shù)大于0有解,利用二次函數(shù)的判別式進(jìn)行求解.屬于中檔題.9、B【解題分析】

利用全稱命題的否定解答即得解.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可知，￢p為?x0＞0，使得（x0+1）≤1，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.10、B【解題分析】試題分析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為，故選B.考點(diǎn)：《算數(shù)書》中的近似計(jì)算，容易題.11、B【解題分析】

分別將曲線，的極坐標(biāo)方程化為普通方程，根據(jù)直線與圓相交，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合垂徑定理，可得結(jié)果【題目詳解】根據(jù)題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設(shè)長(zhǎng)為，則有，即解得（舍負(fù)）故線段的長(zhǎng)度為故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題12、D【解題分析】

由，得正態(tài)分布概率密度曲線關(guān)于對(duì)稱，又由，根據(jù)對(duì)稱性，可得，進(jìn)而可得，即可求解．【題目詳解】由隨機(jī)變量，可知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中是圖象的對(duì)稱軸，又由，所以，又因?yàn)?，根?jù)正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱性，可得，所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正態(tài)分布曲線性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱性，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解詳解：點(diǎn)睛：等比數(shù)列的性質(zhì)：若，則。14、1【解題分析】

根據(jù)題目，可知，根據(jù)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律，即可求解出的值．【題目詳解】由題意知，向量，即解得，故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)向量的垂直關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求參數(shù)．15、8【解題分析】分析：根據(jù)橢圓的方程，得到，由知為直角三角形，在中利用勾股定理得|．再根據(jù)橢圓的定義得到，兩式聯(lián)解可得，由此即可得到Rt△F1PF2的面積為S=1．詳解：∵橢圓方程為，且，可得

∵，∴…①

根據(jù)橢圓的定義，得|，

∴…②

②減去①，得，可得

即答案為：8點(diǎn)睛：本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求焦點(diǎn)三角形的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．16、【解題分析】

先由復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求得復(fù)數(shù)模。【題目詳解】由題意可得，所以，填?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的模，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)（為參數(shù)）(2)【解題分析】

運(yùn)用消參求出直線的普通方程，解出曲線的普通方程，然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，運(yùn)用參數(shù)方程進(jìn)行求解【題目詳解】（1）由得，消元得設(shè)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)樯系狞c(diǎn)，依題意得由，得∴化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）由題意，最小值即橢圓上點(diǎn)到直線距離的最小值設(shè)，（其中，）∴，此時(shí)，即（）∴，∴∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了普通方程與參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化，需要運(yùn)用公式熟練求解，在求最值問題時(shí)運(yùn)用參量來求解，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。18、（1），；（2）或【解題分析】

分析：（1）由曲線的參數(shù)方程，利用代入法消去參數(shù)，可得的普通方程，由曲線的極坐標(biāo)方程得，利用互化公式可得的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，，利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合輔助角公式，由三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.詳解：（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得的普通方程為：．由曲線的極坐標(biāo)方程得，，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，，則點(diǎn)到曲線的距離為．∵，∴，，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，．∴或．點(diǎn)睛：參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．19、（1）；（2）見解析.【解題分析】試題分析：（1）由題意便知需命中2次引爆油罐，且第二次命中時(shí)停止射擊，這樣可設(shè)Ai=“射擊i+1次引爆油罐”，i=1，2，3，4，根據(jù)符合二項(xiàng)分布的變量的概率的求法及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求法即可求出油罐被引爆的概率；

（2）根據(jù)題意知變量ξ的取值為2，3，4，5，并且取5時(shí)包含這樣幾種情況：5次都未打中，5次只有1次打中，打中2次且第5次打中，這三個(gè)事件相互獨(dú)立，求出每個(gè)事件的概率再求和即可，列表表示ξ的分布列，根據(jù)期望的計(jì)算公示求ξ的數(shù)學(xué)期望即可．試題解析：（1）“油罐被引爆”的事件為事件，其對(duì)立事件為包括“一次都沒有命中”和“只命中一次”，即，∴（2）射擊次數(shù)的可能取值為2，3，4，5故的分布列為：20、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義得，再根據(jù)點(diǎn)N坐標(biāo)列方程，解得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再根據(jù)切線方程解得A點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后利用直線與方程聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理化簡(jiǎn)的縱坐標(biāo).【題目詳解】解：（1）由已知拋物線的焦點(diǎn)，由，得，即因?yàn)辄c(diǎn)，所以，所以拋物線方程：（2）拋物線的焦點(diǎn)為