2024屆河南省鄭州二中等八校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆河南省鄭州二中等八校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()A． B． C． D．2．設(shè)銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．3．中國古典數(shù)學(xué)有完整的理論體系，其代表我作有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《數(shù)書九章》等，有5位年輕人計劃閱讀這4本古典數(shù)學(xué)著作，要求每部古典數(shù)學(xué)著作至少有1人閱讀,則不同的閱讀方案的總數(shù)是()A．480 B．240 C．180 D．1204．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，且對任意的，都有恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示，設(shè)g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．37．現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一升高二時面臨著選文理科的問題，學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列統(tǒng)計結(jié)論是不正確的是()A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛理科D．樣本中的女生偏愛文科8．若非零向量，滿足，向量與垂直，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．橢圓的左右焦點分別是，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點，若直線恰好與圓相切于點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．10．已知l、m、n是空間三條直線，則下列命題正確的是（）A．若l//m，l//n，則m//nB．若l⊥m，l⊥n，則m//nC．若點A、B不在直線l上，且到l的距離相等，則直線AB//lD．若三條直線l、m、n兩兩相交，則直線l、m、n共面11．己知命題P：單位向量的方向均相同，命題q：實數(shù)a的平方為負(fù)數(shù)。則下列說法正確的是A．是真命題 B．是真命題 C．是假命題 D．是假命題12．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是虛數(shù)單位，則______.14．已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位,則的值是____________.15．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，給出下列判斷：①；②在上是減函數(shù)；③函數(shù)沒有最小值；④函數(shù)在處取得最大值；⑤的圖象關(guān)于直線對稱．其中正確的序號是________．16．已知函數(shù)，則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)命題冪函數(shù)在上單調(diào)遞減。命題在上有解；若為假，為真，求的取值范圍.18．（12分）設(shè)為關(guān)于的方程的虛根，虛數(shù)單位．（1）當(dāng)時，求、的值；（2）若，在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為，試求的取值范圍．19．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.20．（12分）已知.（1）求的最小值；（2）已知為正數(shù)，且，求證.21．（12分）已知：在中，，，分別提角，，所對的邊長，.判斷的形狀；若，，求的面積.22．（10分）如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運動到點處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

觀察已知中的三個圖形，得到每一次變化相當(dāng)于“順時針”旋轉(zhuǎn)2個角，由此即可得到答案．【題目詳解】由題意，觀察已知的三個圖象，每一次變化相當(dāng)于“順時針”旋轉(zhuǎn)2個角，根據(jù)此規(guī)律觀察四個答案，即可得到A項符合要求，故選A．【題目點撥】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，其中解答中熟記歸納的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某項相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想），合理使用歸納推理是解得關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】因為△為銳角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因為，所以，又因為，所以；由，即，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域為，故選C點睛：本題解題關(guān)鍵是利用正弦定理實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，易錯點是限制角的取值范圍.3、B【解題分析】分析：先根據(jù)條件確定有且僅有一本書是兩人閱讀，再根據(jù)先選后排求排列數(shù).詳解：先從5位年輕人中選2人，再進(jìn)行全排列，所以不同的閱讀方案的總數(shù)是選B.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.4、D【解題分析】因為，由題設(shè)可得在上恒成立，令，則，又，且，故，所以問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函數(shù)，則，應(yīng)選答案D．點睛：本題的求解過程自始至終貫穿著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是第一個轉(zhuǎn)化過程，換元是第二個轉(zhuǎn)化過程；構(gòu)造二次函數(shù)是第三個轉(zhuǎn)化過程，也就是說為達(dá)到求出參數(shù)的取值范圍，求解過程中大手筆地進(jìn)行三次等價的轉(zhuǎn)化與化歸，從而使得問題的求解化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數(shù)學(xué)思想的威力．5、B【解題分析】

先求出導(dǎo)函數(shù)，再分別討論，，的情況，從而得出的最大值【題目詳解】由題可得：；（1）當(dāng)時，則，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）當(dāng)時，則在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故不可能恒有；（3）當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，對任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，則在上所以單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；所以的最大值為；綜述所述，的最大值為；故答案選B【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題。6、B【解題分析】

結(jié)合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【題目詳解】由圖象可知，y軸左側(cè)上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對g(x)求導(dǎo)，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結(jié)合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.7、D【解題分析】由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量，男生偏愛理科，女生中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量，所以選D.8、B【解題分析】∵，且與垂直，∴，即，∴，∴，∴與的夾角為．故選．9、A【解題分析】

由題得，再利用橢圓定義得的長度，利用勾股定理求解即可【題目詳解】由題得，且又由勾股定理得，解得故選：A【題目點撥】本題考查橢圓的定義及幾何意義，準(zhǔn)確求得是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題10、A【解題分析】分析：由公理4可判斷A，利用空間直線之間的位置關(guān)系可判斷B，C，D的正誤，從而得到答案．詳解：由公理4可知A正確；若l⊥m，l⊥n，則m∥n或m與n相交或異面，故B錯誤；若點A、B不在直線l上，且到l的距離相等，則直線AB∥l或AB與l異面，故C錯誤；若三條直線l，m，n兩兩相交，且不共點，則直線l，m，n共面，故D錯誤．故選A．點睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握空間直線的位置關(guān)系是判斷的基礎(chǔ)，對于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷．還可以畫出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見的立體圖形，將點線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷．11、D【解題分析】

先判斷命題P，命題q均為假.再逐項判斷每個選項的正誤.【題目詳解】命題P：單位向量的方向可以是任意的，假命題命題q：實數(shù)a的平方為非負(fù)數(shù)，假命題為假命題，A錯誤為假命題，B錯誤是真命題，C錯誤是假命題，D正確故答案選D【題目點撥】本題考查了命題的判斷，正確判斷命題的正誤是解決此類題型的關(guān)鍵.12、B【解題分析】分析：把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出的坐標(biāo)即可得到結(jié)論.詳解：，，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第二象限，故選B.點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計算即可.【題目詳解】.

故答案為：【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.14、5【解題分析】分析：先將復(fù)數(shù)z右邊化為形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計算詳解：因為所以=5點睛：復(fù)數(shù)計算時要把復(fù)數(shù)化為形式，以防止出錯.15、①②④【解題分析】

先利用題中等式推出，進(jìn)一步推出，得知該函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出滿足條件的圖像可得出答案．【題目詳解】因為，所以，所以，所以，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．由題意知，函數(shù)關(guān)于點對稱，畫出滿足條件的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知①②④正確．故答案為①②④.【題目點撥】本題考查抽象函數(shù)的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵在于充分利用題中等式進(jìn)行推導(dǎo)，進(jìn)一步得出函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性等相關(guān)性質(zhì)，必要時結(jié)合圖象來考查．16、【解題分析】

求導(dǎo)，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】故答案為：【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解題分析】試題分析：由真可得，由真可得，為假，為真等價于一真一假，討論兩種情況，分別列不等式組，求解后再求并集即可.試題解析：若正確，則，若正確，為假，為真，∴一真一假即的取值范圍為.18、（1）,（2）【解題分析】

（1）,則,則可確定方程兩根為,由韋達(dá)定理即可求得;（2）可確定,為方程的兩根,設(shè),由韋達(dá)定理可得,即,,,用兩點間距離公式可表示出,用三角函數(shù)的知識求得其范圍.【題目詳解】（1）當(dāng),則方程的兩根分別為:,即,（2）當(dāng)時，方程為,為方程的兩根設(shè)，則，設(shè)，，故復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為,可得根據(jù)兩點間距離公式:其中，即的取值范圍為:.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的定義,幾何意義的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠通過方程的一個虛根確定方程兩根,利用韋達(dá)定理建立等量關(guān)系.19、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.20、（1）3；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）利用絕對值不等式求得函數(shù)的最小值.（2）利用基本不等式，證得不等式成立.【題目詳解】（1）依題意，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，故的最小值為.（2）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.【題目點撥】本小題主要考查利用絕對值不等求得最小值，考查利用基本不等式證明不等式，屬于基礎(chǔ)題.21、等腰三角形或直角三角形；.【解題分析】

利用正弦定理化邊為角，可得，得到，或,由此可得出結(jié)論；當(dāng)時，可知為等腰三角形，則，利用余弦定理求出，再由三角形面積公式求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：，則，即，.，是的內(nèi)角，，或,為等腰三角形或直角三角形.由及知，為等腰三角形，.根據(jù)余弦定理，得，解得，，的面積.【題目點撥】本題考查三角形的性質(zhì)判斷，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.22、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點，連接，，由，進(jìn)而，由，得.進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過點作的平行線交于點，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點，上的點，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可【題目詳解】（1）證明：取的中點，連接，，由已知得，所