題型05 平面解析幾何題型（定值定點(diǎn)問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最值取值范圍問(wèn)題）（原卷版）-【滿(mǎn)分沖刺】2022年高考數(shù)學(xué)必考重點(diǎn)題型技法突破

平面解析幾何

一、由題目的已知條件證明問(wèn)題....................................................................1

二、定值、定點(diǎn)問(wèn)題..............................................................................3

三、存在性問(wèn)題與探索性問(wèn)題.....................................................................11

四、最值與取值范圍問(wèn)題.........................................................................15

常見(jiàn)最值與取值范圍的解題技巧...................................................................15

一、由題目的已知條件證明問(wèn)題

1、已知斜率為k的直線I與橢圓C：3+專(zhuān)=1交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1,〃?)(,〃

>0).

(1)證明：^<-1；

(2)設(shè)F為。的右焦點(diǎn)，尸為C上的點(diǎn)，且沖+或+而=0.證明：|而|,|而|,|而|成等差數(shù)

列.

2、已知橢圓C：5+￡=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)乎)，其離心率為半，設(shè)直線/：y^kx+

，〃與橢圓C相交于4,B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線/與圓/+)2=,相切，求證：。"。8(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

2

3、設(shè)橢圓C:；+V=1的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)戶(hù)的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)

為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線A"的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：NOMA=NOMB.

4、已知橢圓。:91+丁2=相2(加>0),直線/不過(guò)原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有兩個(gè)

交點(diǎn)A，B,線段A6的中點(diǎn)為

(助證明：直線的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(班若/過(guò)點(diǎn)(T，加)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形Q4尸B能否為平行四邊形？若能,

求此時(shí)/的斜率，若不能，說(shuō)明理由.

二、定值、定點(diǎn)問(wèn)題

求圓錐曲線中定值問(wèn)題常用的方法

(1)引起變量法三個(gè)步驟：

①選擇合適的量作為變量

②把變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式

③化簡(jiǎn)函數(shù)，消去變量得到定值(沒(méi)消去變量要注意計(jì)算是否出錯(cuò))

(2)特例法：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).

1、已知拋物線C：)?=2外經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2).過(guò)點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的

交點(diǎn)A,B,且直線外交)，軸于M,直線尸B交y軸于M

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，QM^AQO,QN=nQO,求證：:十!為定值.

721

2、已知橢圓C：的離心率為點(diǎn)左、右焦點(diǎn)分別為人，尸2,A為橢圓C

8

上一點(diǎn)，AFZLF\F2,且忸尸2尸于

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為4,A2，過(guò)4,4分別作x軸的垂線八，a，橢圓C

的一條切線/：、=日+機(jī)與/1,/2分別交于M,N兩點(diǎn)，求證：NMQN為定值.

x2y2

3、3知橢圓C：7+京=1過(guò)A(2,0),B(O,1)兩點(diǎn)。

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線方與)，軸交于點(diǎn)M,直線P8與x軸交于點(diǎn)

N。求證：四邊形A8NM的面積為定值。

4^已知橢圓。2+/=1(。>比>0)的左焦點(diǎn)尸i(—1,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2：小。

(1)求橢圓的方程；

11

⑵過(guò)Fi作兩直線形，〃交橢圓于A,B,C,。四點(diǎn)，若加_L〃，求證：|45|+|CQ|為定

值。

丁+丁

5、已知橢圓C:=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo),I耳瑪1=2過(guò)點(diǎn)片的

直線與橢圓。交于A8兩點(diǎn)，延長(zhǎng)8g交橢圓C于點(diǎn)M，A46E的周長(zhǎng)為8.

⑴求C的離心率及方程：

(2)試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)。(％，0)，使得麗?而為定值？若存在，求七;若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

6、6知平面上的動(dòng)點(diǎn)R(X,>)及兩定點(diǎn)A(—2,0),8(2,0),直線RA,R8的斜率分別為公，

3

ki,且&伙2=設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)四邊形MNPQ的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線C上，且MQ〃NP,MQLx軸。若直線用N和直

線QP交于點(diǎn)S(4,0),那么四邊形MNP。的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

7、己知橢圓C：，+，=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為。，直線P。與圓W+V.相

切于點(diǎn)碓

(1)求橢圓C的方程；

(2)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線/與橢圓C交于A,2兩點(diǎn)，且麗?麗=0,求證：直線/過(guò)定點(diǎn).

8、過(guò)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線/交拋物線C于A,3兩點(diǎn)，且|AB|=8.

⑴求直線/的方程；

(2)若A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為￡>,求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

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9、定橢圓C：，+白=1（。＞力〉0）,稱(chēng)圓心在原點(diǎn)。，半徑為yja+b的圓是橢圓C的“衛(wèi)

星圓".若橢圓C的離心率乎，點(diǎn)（2,、歷）在c上.

⑴求橢圓C的方程和其"衛(wèi)星圓"方程；

⑵點(diǎn)P是橢圓C的"衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線4,4使得4_L4,與橢圓C都只有一

個(gè)交點(diǎn)，且44分別交其"衛(wèi)星圓"于點(diǎn)證明:弦長(zhǎng)1MM為定值.

10、已知P是圓Fl：(x+l)2+y2=i6上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2(l,0),線段PF2的垂直平分線與半徑PFi

交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓Fi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵記曲線C與x軸交于A,B兩點(diǎn)，M是直線x=l上任意一點(diǎn)，直線MA,MB與曲線C的

另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，E,求證：直線OE過(guò)定點(diǎn)H(4,0).

三、存在性問(wèn)題與探索性問(wèn)題

解決存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿(mǎn)足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確

則不存在.

1、已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)F(l,0),且與定直線X=-1相切.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(—2,0)的任一條直線/與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P,Q,試探究在x軸上是

否存在定點(diǎn)M異于點(diǎn)M)，使得NQNM+NPNM=n?若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

.2,2

2.已知橢圓C：5+方=13>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi(—1,0),尸2(1，0)，點(diǎn)A（空）

在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M,N時(shí)，能在直

線丫=三上找到一點(diǎn)P,在橢圓C上找到一點(diǎn)Q,滿(mǎn)足麗=應(yīng)？若存在，求出直線的方程;

若不存在，說(shuō)明理由.

3、已知點(diǎn)4,8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，\AB\=4,0M過(guò)點(diǎn)4,8且與直線x+2=0相切.

(1)若A在直線x+y=0上，求OM的半徑；

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)4運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|一|MP|為定值？并說(shuō)明理由.

4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：0+與=1（。＞方＞0）的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為右焦點(diǎn)、為F,直線/與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直

線/，使得F為AB肱V的垂心，若存在，求出直線/的方程：若不存在，說(shuō)明理由.

5、已知橢圓C:9f+y2=s2（加＞o）,直線/不過(guò)原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有兩個(gè)

交點(diǎn)A，B,線段A3的中點(diǎn)為

（助證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；

（回）若/過(guò)點(diǎn)（￡,加），延長(zhǎng)線段OM與。交于點(diǎn)P,四邊形。4PB能否為平行四邊形？若能,

求此時(shí)/的斜率，若不能，說(shuō)明理由.

22

6、已知片，居分別為橢圓C:二+乙=1的左、右焦點(diǎn)，為該橢圓的一條垂直于x軸

43

的動(dòng)弦，直線機(jī)：x=4與x軸交于點(diǎn)A，直線M居與直線AN的交點(diǎn)為反

⑴證明：點(diǎn)5恒在橢圓C上.

（2）設(shè)直線〃與橢圓。只有一個(gè)公共點(diǎn)「，直線”與直線加相交于點(diǎn)Q,在平面內(nèi)是否存在

兀

定點(diǎn)T，使得NPTQ=z恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

四、最值與取值范圍問(wèn)題

常見(jiàn)最值與取值范圍的解題技巧

①利用以下條件找出不等式：

(1)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)建立已知參數(shù)與未知參數(shù)之間的等量關(guān)系，利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍；

(3)利用隱含的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

②再對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有以下兩種思路

(1)轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值問(wèn)題，切記取等條件要看是否成立

(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，可以求最值問(wèn)題，也可以求取值范圍問(wèn)題

1、己知4(0,也)，仇小，1)是橢圓C：也+%=1(a>6>0)上的兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P(3,0),線段PM的垂直平分線交y軸于

點(diǎn)。，求［0。|的最小值.

2、已知橢圓^+/=1(。>人>0)的離心率為手，戶(hù)是其右焦點(diǎn)，直線y=fcr與橢圓

交于A，3兩點(diǎn)，|4月+|明=8.

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)。(3,0),若NAQ5為銳角，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

22

3、已知橢圓3=1(440)上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F(c,0)的最大距離是啦+1,且1,y[2a,

4c成等比數(shù)列.

(1)求橢圓的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線/與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于

點(diǎn)0),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3

4、已知橢圓。的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線丁=會(huì)與橢圓。在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)

是M,點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點(diǎn)橢圓C的另一個(gè)焦點(diǎn)是K，且向蒞-MF2

9

=4-

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/過(guò)點(diǎn)(一1,0),且與橢圓C交于尸，。兩點(diǎn)，求△BPQ的內(nèi)切圓面積的最大值.

5、已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于

M,N兩點(diǎn)，且|MV|=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線/為拋物線C的切線，且/〃MN,P為/上一點(diǎn)，求麗?麗的最小值.

6、已知橢圓M：7+左=1(40)的一個(gè)焦點(diǎn)為「(一1,0),左、右頂點(diǎn)分別為A,3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)

F的直線/與橢圓M交于C,。兩點(diǎn).

(1)當(dāng)直線/的傾斜角為45。時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；

(2)記△ABO與AABC的面積分別為S和S2,求⑸一S2I的最大值.

7、已知點(diǎn)4一1,。)，8(1,0),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C滿(mǎn)足Z4MB=2。，\AM\-