天津市河西區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

天津市河西區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，給出下列4條敘述：①點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；②點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．02．空間四邊形中，，，，則等于（

）A． B． C． D．3．過(guò)點(diǎn)的直線的斜率等于1，則的值為A．1 B． C．2 D．4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．（－∞，－2）∪ B．C．（－2，0） D．5．已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A． B．1 C．2 D．6．若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為則其離心率為A． B． C． D．7．已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于x軸的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且，則的方程為（）A． B． C． D．8．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE＝CF＝a(0<a<1)，則D′E與B′F的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．與a值有關(guān)9．若是直線上的兩點(diǎn)，那么間的距離為（

）A． B．C． D．二、填空題10．已知橢圓的焦距是2，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.11．如圖，隧道的截面是半徑為的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，假設(shè)貨車的最大寬度為，那么要正常駛?cè)朐撍淼?，貨車的限高為多?三、雙空題12．已知直線和平面相交，設(shè)直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面的夾角，（用含的代數(shù)式表示）.（用含的三角函數(shù)式表示）四、填空題13．已知點(diǎn)，和直線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為．14．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為BB1，CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為．五、雙空題15．兩相交圓與的公共弦所在的直線方程為，以公共弦為直徑的圓的方程為.六、證明題16．已知直線的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求直線的方程．七、解答題17．已知點(diǎn)、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求k．八、問(wèn)答題18．已知兩點(diǎn)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.九、證明題19．直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．十、解答題20．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接.（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；（2）若求橢圓離心率的值.參考答案：1．C【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷①③的正誤，利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷②的正誤，利用關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷④的正誤.【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn).對(duì)于①，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，④正確；綜上知，正確的個(gè)數(shù)是1.故選：C.2．B【分析】根據(jù)向量的三角形法則，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得.故選：B.3．A【分析】利用直線的斜率公式計(jì)算.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為1，所以，解得；故選：A．4．D【解析】整理方程得＋（y＋a）2＝1－a－，解不等式1－a－＞0即得解.【詳解】由題得方程為＋（y＋a）2＝1－a－因?yàn)榉匠蹋▂＋a）2＝1－a－表示圓，則1－a－＞0，解得－2＜a＜.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5．C【詳解】試題分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、兩條直線垂直的應(yīng)用.6．C【詳解】由題意可知：.本題選擇C選項(xiàng).7．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示：，，由橢圓定義得.①在中，.②由①②得，則，所以橢圓C的方程為.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解.8．B【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量的乘積計(jì)算出，即可求解【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的垂直的定義，屬于基礎(chǔ)題9．A【分析】由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算后結(jié)合點(diǎn)在直線進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】由題意，，故選：A．10．或【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在軸或軸上分類討論．【詳解】焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,故答案為：或．11．【分析】畫(huà)出如圖的貨車截面圖矩形，在圓上時(shí)，貨車最高，求出的長(zhǎng)即得．【詳解】如圖，矩形是貨車截面圖，，則，故答案為：．12．或【分析】討論直線的方向向量與平面的法向量夾角、分別確定直線與平面的夾角與的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與平面的夾角，則；當(dāng)時(shí)，直線與平面的夾角，則；綜上，.故答案為：或，13．【分析】找關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，可得的最小值為【詳解】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則，解之得故連接交直線于點(diǎn)，如圖所示則此時(shí)取得最小值為故答案為：14．【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示的空間向量求出點(diǎn)F到平面A1D1E的距離.【詳解】取射線AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則A1(0，0，1)，E，F(xiàn)，D1(0，1，1)．所以＝，＝(0，1，0)．設(shè)平面A1D1E的法向量為=(x，y，z)．則即，令z＝2，則x＝1，得=(1，0，2)，又＝，所以點(diǎn)F到平面A1D1E的距離.故答案為：【點(diǎn)睛】點(diǎn)到平面的距離的問(wèn)題，有共點(diǎn)三直線兩兩垂直，以建立坐標(biāo)系求解最佳.15．【分析】將兩圓的方程相減即可得公共弦所在的直線方程；設(shè)所求圓的方程為：，得圓心，代入直線，求解即可.【詳解】解：將與的方程相減，得，即兩圓的公共弦所在直線方程為：；因?yàn)椴辉谥本€上，所以設(shè)所求圓的方程為：，即：，其圓心，因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，故所求方程為，即.故答案為：；16．【分析】設(shè)出直線方程的斜截式方程，求出直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距，利用三角形的面積公式求解直線在y軸上的截距，從而可得答案．【詳解】設(shè)直線的方程為，取，得，所以和坐標(biāo)軸圍成面積為，解得．所以直線的方程為，即．【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的一般式，訓(xùn)練了斜截式和一般式的互化，是基礎(chǔ)題．17．(1)或(2)(3)或【分析】（1）由，可得存在唯一實(shí)數(shù)，使得，再結(jié)合空間向量的模的坐標(biāo)公式即可得解；（2）根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（3）由與互相垂直，可得，再根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】（1）由題知，因?yàn)?，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，又因?yàn)?，所以，解得，故或；?）由題知，，，所以；（3）因?yàn)?，，所以，，又與互相垂直，所以，解得或，所以或．18．答案見(jiàn)解析．【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則求出點(diǎn)軌跡方程，然后由方程確定曲線形狀．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則由題意得，所以，化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，即，點(diǎn)的軌跡方程是，其軌跡是直線（軸）；當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑長(zhǎng)的圓.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，即可利用法向量與方向向量垂直證明，（2）利用法向量與直線的方向向量的夾角即可求解線面角，（3）根據(jù)平面法向量的夾角即可求解面面角大小.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，平面,所以，且，則，平面，則平面，平面，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，,，，，,，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.（2）由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.令直線與平面所成角為，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（1）可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，令平面與平面所成二面角為，由圖可知，所以，即平面與平面所成二面角的余弦值為.20．（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，建立方程的關(guān)系式，求出的值，即可得到橢圓的方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用建立斜率之間的關(guān)系，解方程即可求出的值.試題解析：設(shè)橢圓的焦距為，則.（1），又,故,點(diǎn)在橢圓上，，解得,故所求橢圓的方程為.（2）在直線上，直線的方程為,解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為,又垂直于軸，由橢圓的對(duì)稱性，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，直