2024屆江蘇如皋高三上學(xué)期1月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題含答案

高三1月診斷高三1月診斷數(shù)學(xué)試題第頁(yè)）如皋市2024屆高三1月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題 2024.1注意事項(xiàng)（請(qǐng)考生注意事項(xiàng)（請(qǐng)考生作答前認(rèn)真閱讀以下內(nèi)容）：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆填涂準(zhǔn)考證號(hào).作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上?？忌仨毐３执痤}卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.試卷共4頁(yè)，共19小題；答題卡共2頁(yè).滿分150分.考試用時(shí)120分鐘. 命題：馬超 一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（▲）.A. B. C. D.在等比數(shù)列中，，，且前x項(xiàng)和，（▲）.A.4 B.5 C.6 D.7已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，則（▲）.A.若，，則 B.若，，則

C.若，，則 D.若，，則有5輛車停放6個(gè)并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r(shí)需要占兩個(gè)車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７?，則共有（▲）種停放方法.A.72 B.144 C.108 D.96已知的邊BC的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E在所在平面內(nèi)，且，若，則（▲）.A.5 B.7 C.9 D.11函數(shù)的圖象為橢圓軸上方的部分，若，，成等比數(shù)列，則點(diǎn)的軌跡是（▲）.A.線段（不包含端點(diǎn)） B.橢圓一部分

C.雙曲線一部分 D.線段不包含端點(diǎn)和雙曲線一部分已知，，則（▲）.A.3 B. C. D.2雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過作的平分線的垂線，垂足是M，，若C上一點(diǎn)T滿足，則T到C的兩條漸近線距離之和為（▲）.A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題 目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的兩根，則（▲）.A. B.

C. D.若，則若函數(shù)，則（▲）.A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

C.的最小值為 D.的單調(diào)遞減區(qū)間為，設(shè)a為常數(shù)，，，則（▲）.A. B.恒成立

C. D.滿足條件的不止一個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．集合，若A中元素至多有1個(gè)，則a的取值范圍是▲.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，則當(dāng)圓錐的母線與底面所成角的余弦值為▲時(shí)，圓錐的體積最大，最大值為▲.函數(shù)的最小值▲.四、解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.（本小題滿分13分）設(shè)，曲線在點(diǎn)處取得極值.（1）求a；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.（本小題滿分15分）袋中裝有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)舊球，現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一球檢驗(yàn)．

（1）若直到取到新球?yàn)橹?，求抽取次?shù)X的概率分布及其均值；

（2）若將題設(shè)中的“無(wú)放回”改為“有放回”，求檢驗(yàn)5次取到新球個(gè)數(shù)X的均值．（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，，，且平面平面

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)點(diǎn)P為直線BC的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

（本小題滿分17分）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，若的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線E上，且滿足，則稱該三角形為“核心三角形”．（1）設(shè)“核心三角形ABC”的一邊AB所在直線的斜率為2，求直線AB的方程；（2）已知是“核心三角形”，證明：三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于

（本小題滿分17分）對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個(gè)n維向量.特別地，稱為零向量.

設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.

對(duì)一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無(wú)關(guān)．

（1）對(duì)，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說明理由．

①，；

②，，；

③，，，

（2）已知，，線性無(wú)關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說明理由．

（3）已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無(wú)關(guān)，證明：

①如果存在等式，則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；

②如果兩個(gè)等式，同時(shí)成立，其中，則

如皋市2024屆高三1月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案2024.01一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.題號(hào)12345678答案DBBADAAA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分.題號(hào)91011答案ACDBCDABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.題號(hào)1213①13②14答案或

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）（1），則，

又，故可得，解得；

（2）由可知，，，

令，解得，，

又函數(shù)定義域?yàn)?，故可得在區(qū)間和單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.

故的極大值為，的極小值為

16.（15分）（1）的可能取值為1，2，3，，，，

故抽取次數(shù)X的概率分布為：X123P

（2）每次檢驗(yàn)取到新球的概率均為，故，所以

17.（15分）（1）證明：因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)?，所?/p>

在中，，即，

所以，即

又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面ABC，

所以平面

又平面，所以，

在中，，，，

所以，即，

所以

而，平面ABC，平面ABC，，

所以平面

又平面，所以平面平面

（2）在平面ABC中過點(diǎn)C作AC的垂線CE，

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CE，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，

所以，

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則直線與平面所成角的正弦值為：

，

18.（17分）（1）解：設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立得，

，得，設(shè)，，，則

，，

所以，

由題意知，因?yàn)椋?，?/p>

所以，

所以

，

所以，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

代入拋物線E的方程得：，解得，滿足條件，

所以直線AB的方程為（2）證明：設(shè)直線BC的方程為，與聯(lián)立得，

，所以，

，，

所以

由知，所以，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為

又點(diǎn)A在拋物線上，所以，

所以，

又，所以，

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，

同理可證，B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也小于

所以三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于

（17分）（1）解：對(duì)于①，設(shè)，則可得，所以線性相關(guān)；

對(duì)于②，設(shè)，則可得，所以，，所以線性相關(guān)；

對(duì)于③，設(shè)，則可得，解得，所以線性相關(guān)；

（2）解：設(shè)，

則，

因