河南省八市重點(diǎn)高中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

河南省八市重點(diǎn)高中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示是的圖象的一段，它的一個(gè)解析式是（）A． B．C． D．2．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.33．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c4．在等差數(shù)列中，，則為（）A．2 B．3 C．4 D．55．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A． B． C． D．6．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，滿足，，為球的直徑，且，則點(diǎn)到底面的距離為A． B． C． D．7．已知變量，滿足回歸方程，其散點(diǎn)圖如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，8．在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．9．如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是()A． B． C． D．10．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)>3C．a(chǎn)≤3D．a(chǎn)<311．若的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)為8，則（）A．2 B． C． D．12．在中，，，，則等于()A．或 B． C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，正方體的棱長為1，,為線段,上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn),,的平面截該正方體的截面記為,則下列命題正確的是________.①當(dāng)且時(shí),為等腰梯形;②當(dāng),分別為,的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為;③當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，與的交點(diǎn)為,滿足;④當(dāng)且時(shí),的面積.14．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則__________．15．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2名代表參加學(xué)校會(huì)議，則甲被選中的概率是．16．由曲線，坐標(biāo)軸及直線圍成的圖形的面積等于______。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）請(qǐng)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)嗎18．（12分）用適當(dāng)方法證明：已知：，，求證：．19．（12分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz．（1）若t＝1，求異面直線AC1與A1B所成角的大?。唬?）若t＝5，求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值；（3）若二面角A1—BD—C的大小為120°，求實(shí)數(shù)t的值.20．（12分）已知函數(shù)，其中均為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．21．（12分）已知.為銳角，，.（1）求的值；（2）求的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，且（為與無關(guān)的常數(shù)），證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)求出A，根據(jù)周期T求ω，圖象過（），代入求，即可求函數(shù)f（x）的解析式；【題目詳解】由圖象的最高點(diǎn)，最低點(diǎn)，可得A，周期Tπ，∴．圖象過（），∴，可得：，則解析式為ysin（2）故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．2、C【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)，得到對(duì)稱區(qū)間上的概率，從而可求．詳解：由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布可知正態(tài)密度曲線關(guān)于軸對(duì)稱，

而，

則故，

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的概率求法，結(jié)合正態(tài)曲線，加深對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解．3、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【題目詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

由等差數(shù)列性質(zhì)，得，問題得解.【題目詳解】是等差數(shù)列，，，解得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

由基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)分別加以驗(yàn)證，不難得到正確答案．【題目詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x3是R上的增函數(shù)，所以y＝﹣x3是（0，+∞）上的減函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，為偶函數(shù)，且在上沒有單調(diào)性，所以B不正確；對(duì)于C，在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D，若f（x）＝x|x|，則f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），說明函數(shù)是奇函數(shù)，而當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＝x2，顯然是（0，+∞）上的增函數(shù)，故D正確；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】∵三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA為球O的直徑且PA=4，∴球心O是PA的中點(diǎn)，球半徑R=OC=PA＝2，過O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC滿足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中點(diǎn)，且AD=BD=CD=∴OD=∴點(diǎn)P到底面ABC的距離為d=2OD=2,故選C.點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，關(guān)鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，找到的外接圓的圓心D即可有OD⊥平面ABC，求出OD即可求出點(diǎn)到底面的距離.7、D【解題分析】

由散點(diǎn)圖知變量負(fù)相關(guān)，回歸直線方程的斜率小于1；回歸直線在y軸上的截距大于1．可得答案.【題目詳解】由散點(diǎn)圖可知，變量之間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系．

回歸直線的方程的斜率．

回歸直線在軸上的截距是正數(shù)．

故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了散點(diǎn)圖與線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，可得導(dǎo)函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增等價(jià)于在該區(qū)間內(nèi)恒成立．9、A【解題分析】

觀察已知中的三個(gè)圖形，得到每一次變化相當(dāng)于“順時(shí)針”旋轉(zhuǎn)2個(gè)角，由此即可得到答案．【題目詳解】由題意，觀察已知的三個(gè)圖象，每一次變化相當(dāng)于“順時(shí)針”旋轉(zhuǎn)2個(gè)角，根據(jù)此規(guī)律觀察四個(gè)答案，即可得到A項(xiàng)符合要求，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，其中解答中熟記歸納的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某項(xiàng)相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），合理使用歸納推理是解得關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】∵f(x)=x3?ax?1，∴f′(x)=3x2?a，要使f(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減，則f′(x)?0在x∈(?1,1)上恒成立，則3x2?a?0，即a?3x2，在x∈(?1,1)上恒成立，在x∈(?1,1)上，3x2<3，即a?3，本題選擇A選項(xiàng).11、A【解題分析】展開式中含有項(xiàng)的系數(shù),,故選A.12、D【解題分析】

已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，先由正弦定理求，再求.【題目詳解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理的應(yīng)用.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，由正弦定理求另一邊的對(duì)角，要注意判斷解的個(gè)數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解題分析】

將①③④三個(gè)命題逐一畫出圖像進(jìn)行分析,即可判斷出真命題,從而得到正確的序號(hào)；②利用空間向量求點(diǎn)面距，進(jìn)而得體積.【題目詳解】①:作圖如下所示,過作,交于,截面為即即截面為等腰梯形.故①正確.②:以為原點(diǎn),、、分別為、、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則不妨設(shè),則法向量.則點(diǎn)到平面的距離.故②正確.③:延長交的延長線于一點(diǎn),連接交于點(diǎn).故③錯(cuò)誤④:延長交的延長線于,連接交于,則截面為四邊形根據(jù)面積比等于相似比的平方得.在中,,邊上的高為故④錯(cuò)誤故答案為:①②.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體截面有關(guān)命題真假性的判斷,考查椎體體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力.對(duì)于求體積求高時(shí),往往建立空間直角坐標(biāo)系,采用法向量的思想進(jìn)行求解思路比較明確.14、【解題分析】∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對(duì)任意的x∈R,滿足f(x+1)+f(x)=0，∴f(x+1)=?f(x)，則f(x+2)=?f(x+1)=f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，據(jù)此可得：15、【解題分析】試題分析：從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2名代表共有種基本事件，甲被選中包含種，基本事件，因此甲被選中的概率是考點(diǎn)：古典概型概率16、1【解題分析】

根據(jù)定積分求面積【題目詳解】.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分求面積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).【解題分析】試題分析：（1）由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有位需要志愿者提供幫助，兩個(gè)數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值；（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測(cè)值公式，得到觀測(cè)值的結(jié)果，把觀測(cè)值的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).試題解析：解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)?？键c(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn).18、見解析【解題分析】分析：直接利用作差法比較和的大小得解.詳解：.所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查不等式的證明，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)不等式的證明常用的有比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法等，本題運(yùn)用的是比較法，也可以利用綜合法.19、(1).(2).(3).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)坐標(biāo)表示向量，，再利用向量數(shù)量積求向量夾角，即得異面直線與所成角，（2）先利用方程組解得平面的一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角余弦值，再根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系得結(jié)果，（3）先利用方程組解得平面以及平面的一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角余弦值，再根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時(shí)，設(shè)與平面所成角為，因?yàn)?，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時(shí)，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20、（1）當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題對(duì)得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）由題當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，故又構(gòu)造函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)則，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，試題解析：（1）由題得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0極大值∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）當(dāng)時(shí)，，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，設(shè)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，∴實(shí)數(shù)的最小值為．