2024屆重慶市江津中學(xué)、合川中學(xué)等七校高數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆重慶市江津中學(xué)、合川中學(xué)等七校高數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以下說法正確的是（）A．命題“，”的否定是“，”B．命題“，互為倒數(shù)，則”的逆命題為真C．命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題為真D．“”是“”的充要條件2．已知，為銳角，且，若，則的最大值為（）A． B． C． D．3．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，若，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．4．若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．5．在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，恰有1件次品的概率為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若的兩個極值點的等差中項在區(qū)間上，則整數(shù)（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或17．在中，，若，則A． B． C． D．8．設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]9．設(shè)實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個數(shù)不小于()A．0 B． C． D．110．已知，且，則等于()A． B． C． D．11．在△ABC中，，，，則角B的大小為（）A． B． C． D．或12．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足x≥1y≥-1x+y≥3，則z=x+2y14．設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為__________．15．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為______.16．由曲線與所圍成的封閉圖形的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2），，求a的取值范圍．18．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且過點.設(shè)為橢圓的右焦點,為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,連結(jié)并延長,分別交橢圓于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線的斜率分別為,是否存在實數(shù),使得?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.19．（12分）若一圓錐的底面半徑為4，體積是.（1）求該圓錐的母線長；（2）已知該圓錐的頂點為，并且、為圓錐的兩個母線，求線段長度為何值時，△的面積取得最大值？20．（12分）如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且．試用向量，，表示向量；若，，，，求的值．21．（12分）已知函數(shù)（其中），．（Ⅰ）若命題“”是真命題，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)命題：；命題：．若是真命題，求的取值范圍．22．（10分）如圖，在正四棱柱中，已知AB＝2，，E、F分別為、上的點，且.(1)求證：BE⊥平面ACF；(2)求點E到平面ACF的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識判斷A選項的正確性.寫出原命題的逆命題并判斷真假性，由此判斷B選項的正確性..寫出原命題的否命題并判斷真假性，由此判斷C選項的正確性.根據(jù)充要條件的知識判斷D選項的正確性.【題目詳解】對于A選項，原命題是全稱命題，其否定是特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故否定應(yīng)是“，”，所以A選項錯誤.對于B選項，原命題的逆命題是“若，則互為倒數(shù)”，是真命題，故B選項正確.對于C選項，原命題的否命題為“若不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)”，當(dāng)都為奇數(shù)時，是偶數(shù)，故為假命題.所以C選項錯誤.對于D選項，由，所以.“”不是“”的充要條件.故D選項錯誤.綜上所述可知，B選項正確.故選：B【題目點撥】本小題主要考查全稱命題的否定、逆命題、否命題以及充要條件等知識，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

把代入等式中，進(jìn)行恒等變形，用表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【題目詳解】，.因為為銳角，且，所以，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，因此的最大值為，故本題選B.【題目點撥】本題考查了三角恒等變形，考查了兩角差的正切公式，考查了應(yīng)用基本不等式求代數(shù)式最值問題.3、D【解題分析】分析：由題意可得函數(shù)為偶函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可得到結(jié)果詳解：定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱即函數(shù)為偶函數(shù)，，當(dāng)時，單調(diào)遞增故選點睛：本題利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性的概念，只要判定輸入值的大小即可判斷函數(shù)值的大小。4、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則可化簡復(fù)數(shù)得，由共軛復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

求出基本事件的總數(shù)和恰有1件次品包含的基本事件個數(shù)即可.【題目詳解】在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，基本事件的總數(shù)為：恰有1件次品包含的基本事件個數(shù)為在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，恰有1件次品的概率為故選：A【題目點撥】本題考查的是古典概型及組合的知識，較簡單.6、B【解題分析】

根據(jù)極值點個數(shù)、極值點與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系可確定的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：.有兩個極值點，，解得：或.方程的兩根即為的兩個極值點，，綜上可得：，又是整數(shù)，.故選：.【題目點撥】本題考查極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是明確極值點是導(dǎo)函數(shù)的零點，從而利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程.7、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的線性運算法則，用、表示出即可.【題目詳解】即：本題正確選項：【題目點撥】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點函數(shù)值異號，即f（a）f（b）≤0，把選擇項中的各端點值代入驗證可得答案D．考點：零點存在定理9、B【解題分析】∵三個數(shù)，，的和為1，其平均數(shù)為∴三個數(shù)中至少有一個大于或等于假設(shè)，，都小于，則∴，，中至少有一個數(shù)不小于故選B.10、A【解題分析】

令，即可求出，由即可求出【題目詳解】令，得，所以，故選A?！绢}目點撥】本題主要考查賦值法的應(yīng)用。11、A【解題分析】

首先根據(jù)三角形內(nèi)角和為，即可算出角的正弦、余弦值，再根據(jù)正弦定理即可算出角B【題目詳解】在△ABC中有,所以,所以,又因為,所以，所以,因為，，所以由正弦定理得，因為,所以。所以選擇A【題目點撥】本題主要考查了解三角形的問題，在解決此類問題時常用到：1、三角形的內(nèi)角和為。2、正弦定理。3、余弦定理等。屬于中等題。12、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

畫出不等式組表示的可行域，將z=x+2y變形為y=-x2+【題目詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示．由z=x+2y可得y=-x平移直線y=-x2+z2，由圖形得，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點A時，直線y=-由x+y=3y=-1解得x=4所以點A的坐標(biāo)為(4,-1)．所以zmin故答案為1．【題目點撥】利用線性規(guī)劃求最值體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運用，解題的關(guān)鍵有兩個：一是準(zhǔn)確地畫出不等式組表示的可行域；二是弄清楚目標(biāo)函數(shù)中z的幾何意義，根據(jù)題意判斷是截距型、斜率型、還是距離型，然后再結(jié)合圖形求出最優(yōu)解后可得所求．14、【解題分析】

根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達(dá)式，進(jìn)而確定其最小值.【題目詳解】因為對任意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因為，所以當(dāng)時，取最小值為.【題目點撥】函數(shù)的性質(zhì)（1）.（2）周期（3）由求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足，最小值對應(yīng)自變量滿足，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.15、【解題分析】

通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，可得，即，代入，得到，于是與的夾角為.【題目點撥】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力.16、【解題分析】分析：由題得曲線與所圍成的封閉圖形的面積為，再計算得解.詳解：因為，所以.聯(lián)立所以曲線與所圍成的封閉圖形的面積為，所以.故答案為：點睛：（1）本題主要考查定積分求面積和微積分基本原理，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)）圖中陰影部分的面積S=三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)．(2)．【解題分析】

（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，根據(jù)f（1）＞2分別解不等式即可'（2）根據(jù)絕對值三角不等式求出f（x）的值域，然后由條件可得f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a的范圍．【題目詳解】（1）∵f（x）＝|x+2a|﹣|x﹣a|，∴f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，∵f（1）＞2，∴，或，或，∴a＞1，或a≤1，或a＜﹣4，∴a的取值范圍為；（2）∵||x+2a|﹣|x﹣a||≤|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3|a|，∴f（x）∈[﹣3|a|，3|a|]，∵?x、y∈R，f（x）＞f（y）﹣6，∴只需f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，∴6|a|＜6，∴﹣1＜a＜1，∴a的取值范圍為[﹣1，1]．【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法和利用絕對值三角不等式求函數(shù)的范圍，考查了分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．18、（1）；（2）存在,使得.【解題分析】分析：(1)在橢圓上，所以滿足橢圓方程，又離心率為，聯(lián)立兩個等式即可解出橢圓方程；(2),則,所以的方程為，聯(lián)立AF的方程和橢圓方程即可求得C點坐標(biāo)，同理求得D點坐標(biāo)，從而分析的比值.詳解：(1)設(shè)橢圓的方程為，，由題意知解得所以橢圓的方程為.(2)設(shè),則,,又,所以直線的方程為.由消去，得.因為是該方程的一個解,所以點的橫坐標(biāo).又點在直線上，所以，從而點的坐標(biāo)為(同理,點的坐標(biāo)為(，所以，即存在,使得.點睛：橢圓和拋物線的結(jié)合也是高考一直以來的一個熱點，設(shè)而不求思想是圓錐曲線題目的考查核心，韋達(dá)定理就是該思想的體現(xiàn)，所以在圓錐曲線中要把所求的問題轉(zhuǎn)化出來韋達(dá)定理，整體帶入是解題的關(guān)鍵.19、（1）5；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)體積求高，再根據(jù)母線與高的關(guān)系求結(jié)果；（2）先確定△的面積最大值何時取得，再根據(jù)勾股定理求長度.【題目詳解】（1）因為圓錐的底面半徑為4，體積是，所以因此母線長為；（2）△的面積因為，所以當(dāng)時，△的面積取最大值，此時【題目點撥】本題考查圓錐的體積以及截面積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解題分析】

又，由此即可求出結(jié)果；（2）利用，和數(shù)量及的定義，代入得結(jié)果．【題目詳解】解：又由問知．【題目點撥】本題考查平面向量的基本定理，和平面向量的數(shù)量積的運算公式及平面向量基本定理的應(yīng)用．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（1），即，，解得；（2）是真命題，則都是真命題.當(dāng)時，，故需.或，故，.當(dāng)時，，故需.，所以，.綜上所述，.試題解析：（1）∵命題“”是真命題，即，∴，解得，∴的取值范圍是；（2）∵是真命題，∴與都是真命題，當(dāng)時，，又是真命題，則∵，∴，∴或∴，解得當(dāng)時，∵是真命題，則，使得，而∵，∴，∴，解得求集合的交集可得.考點：命題真假性判斷，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題．22、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，要證明線與面垂直，只需證明這條直線與平面上的兩條直線垂直即可；（2）為平面的一個法向量，向量在上的射影長即為到平面的距離，根據(jù)點到面的距離公式可得到結(jié)論.詳解：(1)證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴＝(－2,2