2024屆海南省東方市八所中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆海南省東方市八所中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（）A．72 B．108 C．144 D．1962．函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B． C． D．3．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若a和b被m除得余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余.記為.若，，則b的值可以是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20224．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A． B． C．2 D．5．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，給出下列四個(gè)事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一個(gè)發(fā)生；（Ⅲ）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生；（Ⅳ）A，B，C最多有兩個(gè)發(fā)生；其中相互為對(duì)立事件的是（）A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ7．曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖像可能是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除B．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除C．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除D．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除12．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到的，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量滿足，則______.14．設(shè)為曲線上的點(diǎn),且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi)_________．15．已知展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______．16．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）證明：的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.18．（12分）已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;（Ⅱ）若過(guò)且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求.19．（12分）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，且.（1）求橢圓的離心率；（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程.20．（12分）已知復(fù)數(shù)（a∈R,i為虛數(shù)單位）（I）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（II）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．（12分）已知菱形所在平面，，為線段的中點(diǎn),為線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）在中，角所對(duì)的邊分別是且.（1）求角A；（2）若為鈍角三角形，且，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

分步完成，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．【題目詳解】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。虼颂罘倲?shù)為．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理．解題關(guān)鍵是確定完成這件事的方法．2、C【解題分析】因?yàn)?，所以，即，?yīng)選答案C．3、A【解題分析】

先利用二項(xiàng)式定理將表示為，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，得出除以的余數(shù)，結(jié)合題中同余類的定義可選出合適的答案．【題目詳解】，則，所以，除以的余數(shù)為，以上四個(gè)選項(xiàng)中，除以的余數(shù)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查數(shù)的整除問(wèn)題，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是將指數(shù)冪的底數(shù)表示為與除數(shù)的倍數(shù)相關(guān)的底數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)定理展開(kāi)式可求出整除后的余數(shù)，考查計(jì)算能力與分析問(wèn)題的能力，屬于中等題．4、D【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題設(shè)，找到倍數(shù)關(guān)系，即得解.【題目詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知：故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的定義，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

易知函數(shù)是上的增函數(shù),,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷出函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)是上的增函數(shù),是上的增函數(shù),故函數(shù)是上的增函數(shù).,,則時(shí),;時(shí),,因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

利用互斥事件、對(duì)立事件的定義直接求解．【題目詳解】解：，，是三個(gè)事件，給出下列四個(gè)事件：（Ⅰ），，中至少有一個(gè)發(fā)生；（Ⅱ），，中最多有一個(gè)發(fā)生；（Ⅲ），，中至少有兩個(gè)發(fā)生（Ⅳ），，最多有兩個(gè)發(fā)生；在中，Ⅰ和Ⅱ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對(duì)立事件；在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，故中的兩個(gè)事件相互為對(duì)立事件；在中，Ⅲ和Ⅳ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對(duì)立事件；在中，Ⅳ和Ⅰ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對(duì)立事件．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查相互為對(duì)立事件的判斷，考查互斥事件、對(duì)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【題目詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：，所以曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法，熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)最小值；在時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，則對(duì)任意的，.此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；②當(dāng)時(shí)，解方程，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無(wú)最小值；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在和，使得，即，且當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.9、B【解題分析】

先判斷函數(shù)奇偶性，再根據(jù)存在多個(gè)零點(diǎn)導(dǎo)致存在多個(gè)零點(diǎn)，即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】∵，∴為奇函數(shù)，且存在多個(gè)零點(diǎn)導(dǎo)致存在多個(gè)零點(diǎn)，故的圖像應(yīng)為含有多個(gè)零點(diǎn)的奇函數(shù)圖像.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.10、A【解題分析】，令，得：，∴單調(diào)遞減區(qū)間為故選Ａ11、D【解題分析】注意n為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意n為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵．12、B【解題分析】

把的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像，化簡(jiǎn)后可得的值，利用兩角和的余弦和正弦展開(kāi)后可得的值.【題目詳解】把的圖像向左平移個(gè)單位后得到所得圖像的解析式為，根據(jù)可得①，所以即（舍），又對(duì)①化簡(jiǎn)可得，故，故選B.【題目點(diǎn)撥】三角函數(shù)的圖像往往涉及振幅變換、周期變換和平移變換，注意左右平移時(shí)是自變量作相應(yīng)的變化，而且周期變換和平移變換（左右平移）的次序?qū)瘮?shù)解析式的也有影響，比如，它可以由先向左平移個(gè)單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，也可以先保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移.．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

利用平面向量得數(shù)量積運(yùn)算，則，將，帶入即可出答案【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考察平面向量數(shù)量積得基本運(yùn)算14、【解題分析】

由切線的傾斜角范圍為，得知切線斜率的取值范圍是，然后對(duì)曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)求導(dǎo)得，解不等式可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【題目詳解】由于曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是，則切線斜率的取值范圍是，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，即，解不等式，得或；解不等式，即，解得.所以，不等式組的解集為.因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線的斜率與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題．15、61【解題分析】分析：根據(jù)題設(shè)可列出關(guān)于的不等式，求出，代入可求展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.詳解：的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大，，解得，又，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.點(diǎn)睛：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，有時(shí)存在一些特殊的項(xiàng)，如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等等，這些特殊項(xiàng)的求解主要是利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.16、3【解題分析】

先利用待定系數(shù)法代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【題目詳解】設(shè)，由于圖象過(guò)點(diǎn),得，，，故答案為3.【題目點(diǎn)撥】本題考査冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）84；（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式分別求出每個(gè)二項(xiàng)式中的項(xiàng)的系數(shù)相加即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式，含項(xiàng)的系數(shù)為，又，再結(jié)合即可得到結(jié)論．【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．（2），，故的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為因?yàn)?，所以?xiàng)的系數(shù)為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)的求法、組合數(shù)的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．18、（Ⅰ），（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得直線的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)，即可求得曲線的普通方程；（Ⅱ）求得直線的參數(shù)方程，代入橢圓的方程，利用直線參數(shù)的幾何意義，即可求解．【題目詳解】（Ⅰ）由直線極坐標(biāo)方程為，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得直線直角坐標(biāo)方程：，由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則，整理得，即橢圓的普通方程為．（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）把直線的參數(shù)方程代入得：，故可設(shè)，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，則有又直線過(guò)點(diǎn)，故由上式及的幾何意義得：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線參數(shù)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線OM的斜率，進(jìn)而得證；（2）由（1）知，橢圓方程設(shè)為，設(shè)PQ的方程，與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長(zhǎng)公式，解方程即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程.詳解：（1）∵，，，所以.∴，解得，于是，∴橢圓的離心率為.（2）由（1）知，∴橢圓的方程為即①依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.由對(duì)稱性可知，與軸不垂直，設(shè)其直線方程為，代入①得：，設(shè)，，則，，由得，解得.于是.于是.解得：，，∴橢圓的方程為.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（II）【解題分析】

（I）計(jì)算出，由其實(shí)部為0，虛部不為0可求得值；（II）計(jì)算出，由其實(shí)部小于0，虛部大于0可求得的取值范圍．【題目詳解】解：（I）由復(fù)數(shù)得=（）（）=3a+8+（6-4a）i若是純虛數(shù)，則3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-（II）=若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則有解得-【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）見(jiàn)解析；（2）．【解題分析】分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，得，由線面平行的判定定理得平面，連接交與點(diǎn),連接，得，進(jìn)而得平面，再由面面平行的判定，得平面平面，進(jìn)而得到平面．（2）建立空間