吉林省長春市榆樹市一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

吉林省長春市榆樹市一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的，的值分別為（）A．3，5 B．4，7 C．5，9 D．6，112．當(dāng)輸入a的值為，b的值為時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的結(jié)果是()A． B． C． D．3．不等式＞0的解集是A．（，） B．（4，）C．（，－3）∪（4，+） D．（，－3）∪（，）4．若正數(shù)滿足，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（）A． B． C． D．5．已知二項(xiàng)式的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A． B． C．或 D．或6．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．67．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0<y≤1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()A． B． C． D．9．用反證法證明命題“關(guān)于x的方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．方程至多有一個(gè)實(shí)根 B．方程至少有兩個(gè)實(shí)根C．方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程沒有實(shí)根10．不等式的解集為（）A． B．C． D．11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為（）A．5 B． C． D．12．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，矩形中曲線的方程分別為，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為____.14．外接圓的半徑為1，圓心為O，且，，則______.15．設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為________.16．如圖，以長方體的頂?shù)诪樽鴺?biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)的資料表明:居民住宅距最近消防站的距離(單位:千米)和火災(zāi)所造成的損失數(shù)額(單位:千元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:距消防站的距離(千米)火災(zāi)損失數(shù)額(千元)（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)(精確到)說明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系;（2）求關(guān)于的線性回歸方程(精確到);（3）若發(fā)生火災(zāi)的某居民區(qū)距最近的消防站千米,請(qǐng)?jiān)u估一下火災(zāi)損失(精確到).參考數(shù)據(jù):參考公式:回歸直線方程為,其中18．（12分）今年4月23日我市正式宣布實(shí)施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的語文、數(shù)學(xué)、外語三門學(xué)科，“1”是指在物理和歷史中必選一科，“2”是指在化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選兩科．為了解我校高一學(xué)生在物理和歷史中的選科意愿情況，進(jìn)行了一次模擬選科.已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學(xué)生，其中男生1000人，女生800人.按分層抽樣的方法從中抽取了36個(gè)樣本，統(tǒng)計(jì)知其中有17個(gè)男生選物理，6個(gè)女生選歷史．（I）根據(jù)所抽取的樣本數(shù)據(jù)，填寫答題卷中的列聯(lián)表.并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量判斷能否有的把握認(rèn)為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)？（II）在樣本里選歷史的人中任選4人，記選出4人中男生有人，女生有人，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．（的計(jì)算公式見下），臨界值表：19．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）若，求異面直線與所成角的大小；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）已知函數(shù)，將的圖象向右平移兩個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，已知對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．21．（12分）已知一次函數(shù)f(x)滿足：f(1)=2,f(2x)=2f(x)-1.(1)求f(x)的解析式;(2)設(shè),若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】執(zhí)行第一次循環(huán)后，，，執(zhí)行第二次循環(huán)后，，，執(zhí)行第三次循環(huán)后，，，執(zhí)行第四次循環(huán)后，此時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，故選C.點(diǎn)睛：對(duì)于比較復(fù)雜的流程圖，可以模擬計(jì)算機(jī)把每個(gè)語句依次執(zhí)行一次，找出規(guī)律即可.2、C【解題分析】

模擬程序的運(yùn)行，根據(jù)程序流程，依次判斷寫出a，b的值，可得當(dāng)a=b=4時(shí)，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4，即可得解．【題目詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得a=16，b=12滿足條件a≠b，滿足條件a>b，a=16?12=4，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=12?4=8，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=4?4=4，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.3、D【解題分析】分析：解分式不等式先移項(xiàng)將一側(cè)化為0，通分整理，轉(zhuǎn)化為乘法不等式。詳解：，故選D。點(diǎn)睛：解分式不等式的解法要，先移項(xiàng)將一側(cè)化為0（本身一側(cè)為0不需要移項(xiàng)），通分整理，轉(zhuǎn)化為乘法不等式，但分母不能為0.4、A【解題分析】

根據(jù)正數(shù)滿足，利用基本不等式有，再研究等號(hào)成立的條件即可.【題目詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式取等號(hào)的條件，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】分析：根據(jù)第二項(xiàng)系數(shù)，可求出；由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為，進(jìn)而通過微積分基本定理求得定積分值。詳解：展開式的第二項(xiàng)為所以系數(shù)，解得所以所以選A點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理和微積分基本定理的綜合應(yīng)用，通過方程確定參數(shù)的取值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題。6、C【解題分析】

令,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【題目詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時(shí),;時(shí),;時(shí),.結(jié)合圖象,若,有3個(gè)解;若,無解;若,有1個(gè)解.所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生的推理能力,屬于中檔題.7、B【解題分析】,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為:.點(diǎn)在第二象限,所以B選項(xiàng)是正確的.8、A【解題分析】由函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0<y≤1}，得0<a<1.y＝loga|x|在上為單調(diào)遞減，排除B,C,D又因?yàn)閥＝loga|x|為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確.故選A.9、D【解題分析】

結(jié)論“至少有一個(gè)”的反面是“至多有0個(gè)”即“一個(gè)也沒有”．【題目詳解】假設(shè)是“關(guān)于x的方程沒有實(shí)根”．故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法．掌握命題的否定是解題關(guān)鍵．在有“至多”“至少”等詞語時(shí)，其否定要注意．不能弄錯(cuò)．10、D【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于的一元二次不等式，解得答案.【題目詳解】不等式，轉(zhuǎn)化為，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增且定義域?yàn)?，所以，解?故不等式的解集為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查解指數(shù)不等式，一元二次不等式，屬于簡單題.11、C【解題分析】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結(jié)合正弦定理即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.點(diǎn)睛：此題主要考三角形面積公式的應(yīng)用，以及余弦定理、正弦定理在計(jì)算三角形外接圓半徑的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題型，也是常考考點(diǎn).此類題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時(shí)三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，此時(shí)三角形形狀不一定唯一.12、A【解題分析】

畫出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間?！绢}目詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題，在含有絕對(duì)值的題目時(shí)通常要經(jīng)過分類討論去絕對(duì)值。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

運(yùn)用定積分可以求出陰影部分的面積，再利用幾何概型公式求出在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.【題目詳解】解:陰影部分的面積為，故所求概率為【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何概型，正確運(yùn)用定積分求陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.14、3【解題分析】

利用向量的運(yùn)算法則將已知等式化簡得到,得到BC為直徑,故為直角三角形,求出三邊長可得的值,利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出的值.【題目詳解】,.,B,C共線,BC為圓的直徑,.,故.則,【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,兩個(gè)向量垂直的充要條件、圓的直徑對(duì)的圓周角為直角,求出為直角三角形及三邊長,是解題的關(guān)鍵.15、或.【解題分析】

由公式結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算律得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解出該方程可得出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】，，，，，，則，解得或.故答案為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16、【解題分析】

根據(jù)的坐標(biāo)，求的坐標(biāo)，確定長方體的各邊長度，再求的坐標(biāo).【題目詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量坐標(biāo)的求法，意在考查基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)，屬于簡單題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）（3）火災(zāi)損失大約為千元．【解題分析】分析：⑴利用相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式，即可求得結(jié)果⑵由題中數(shù)據(jù)計(jì)算出，然后計(jì)算出回歸方程的系數(shù)，，即可得回歸方程⑶把代入即可評(píng)估一下火災(zāi)的損失詳解：（1）所以與之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（2），∴與的線性回歸方程為（3）當(dāng)時(shí)，，所以火災(zāi)損失大約為千元．點(diǎn)睛：本題是一道考查線性回歸方程的題目，掌握求解線性回歸方程的方法及其計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．18、（I）沒有90%的把握認(rèn)為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)；（II）見解析【解題分析】

（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個(gè)樣本數(shù)據(jù)中有個(gè)男生，16個(gè)女生，根據(jù)題意列出列聯(lián)表，求得的值，即可得到結(jié)論．（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，進(jìn)而求得相應(yīng)的概率，列出隨機(jī)變量的分布列，利用公式求解期望．【題目詳解】（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個(gè)樣本數(shù)據(jù)中有個(gè)男生，16個(gè)女生，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表：男生女生合計(jì)選物理17320選歷史10616合計(jì)279得而，所以沒有90%的把握認(rèn)為選擇物理還是歷史與性別有關(guān).（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人．所以可能的取值有.且，；，，所以的分布列為：20所以的期望.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算，其中解答中認(rèn)真審題，準(zhǔn)確得出隨機(jī)變量的取值，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）異面直線與所成角為；（2）與平面所成角的正弦值為；（3）二面角的大小為，的值為.【解題分析】分析：（1）由題意可得和的坐標(biāo)，可得夾角的余弦值；（2）求出平面的法向量，即可求出答案；（3）設(shè)，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小為，即可求出t.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當(dāng)時(shí)，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時(shí)，設(shè)與平面所成角為，因?yàn)?，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設(shè)平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時(shí)，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點(diǎn)睛：本題考查空間向量的數(shù)量積和模長公式.20、（1）（2）（3）【解題分析】【試題分析】（1）借助平移的知識(shí)可直接求得函數(shù)解析式；（2）先換元將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)根，再構(gòu)造二次函數(shù)運(yùn)用函數(shù)方程思想建立不等式組分析求解；（3）先依據(jù)題設(shè)條件求出函數(shù)的解析式，再運(yùn)用不等式恒成立求出函數(shù)的最小值：解：（1）（2）設(shè),則，原方程可化為于是只須在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，法1：設(shè)，對(duì)稱軸t=,則①，或②由①得，即，由②得無解,，則．法2：由，得，，，設(shè)，則，，記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須，即，從而有（3）設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)在的圖像上，所以，于是即..由，化簡得，設(shè),即恒成立.解法1：設(shè)，對(duì)稱軸則③或④由③得，由④得或，即或綜上，.解法2：注意到，分離參數(shù)得對(duì)任意恒成立設(shè)，，即可證在上單調(diào)遞增21、(1)f(x)=x+1.(2)a≤0.【解題分析】分析：（1）待定系數(shù)法即可求得f(x)的解析式；（2）分類討論、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合都可以解決.詳解：(1)設(shè)f(x)=kx+b，則解得：k=b=1,故f(x)=x+1.(2)由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化為|g(x)|≥ax.∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分兩種情況：(I)恒成立若x＝0，不等式顯然成立；若x<0時(shí)，不等式等價(jià)于x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.(II)恒成立方法一[分離參數(shù)]：可化為a≤在(0,＋∞)上恒成立。令h(x)=,則h′(x)==令t(x)=x－(x+1)ln(x+1),則由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)