東北師大附中凈月實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

東北師大附中凈月實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)向量，，若向量與同向，則（）A．2 B．-2 C．±2 D．02．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知3號(hào)、29號(hào)、42號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)是()A．10 B．11 C．12 D．163．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為.若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A． B． C． D．4．如圖，在空間四邊形ABCD中，設(shè)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則+（-）等于A．B．C．D．5．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．6．若一個(gè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為1，且其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．7．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)有，且，若，則＝()A．2 B．4 C． D．8．兩個(gè)線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對(duì)應(yīng)于點(diǎn)（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.29．若a|a|＞b|b|，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．|a|＞|b|C．a(chǎn)+b＞0 D．以上都有可能10．已知，且，由“若是等差數(shù)列，則”可以得到“若是等比數(shù)列，則”用的是（）A．歸納推理 B．演繹推理 C．類比推理 D．?dāng)?shù)學(xué)證明11．的值等于（）A．1 B．－1 C． D．12．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已數(shù)列，令為，，，中的最大值2，，，則稱數(shù)列為“控制數(shù)列”，數(shù)列中不同數(shù)的個(gè)數(shù)稱為“控制數(shù)列”的“階數(shù)”例如：為1，3，5，4，2，則“控制數(shù)列”為1，3，5，5，5，其“階數(shù)”為3，若數(shù)列由1，2，3，4，5，6構(gòu)成，則能構(gòu)成“控制數(shù)列”的“階數(shù)”為2的所有數(shù)列的首項(xiàng)和是______．14．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則________15．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，則________.16．已知向量滿足：，，當(dāng)取最大值時(shí)，______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）老師要從7道數(shù)學(xué)題中隨機(jī)抽取3道考查學(xué)生，規(guī)定至少能做出2道即合格，某同學(xué)只會(huì)做其中的5道題．（I）求該同學(xué)合格的概率；（II）用X表示抽到的3道題中會(huì)做的題目數(shù)量，求X分布列及其期望．18．（12分）已知a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1求證：19．（12分）以下是某地搜集到的新房源的銷售價(jià)格（萬元）和房屋的面積的數(shù)據(jù)：房屋面積銷售價(jià)格（萬元）（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）請(qǐng)根據(jù)（1）中的線性回歸方程，預(yù)測(cè)該地當(dāng)房屋面積為時(shí)的銷售價(jià)格。，，其中，20．（12分）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測(cè)這批樹苗是否合格，從中隨機(jī)抽測(cè)株樹苗的高度，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計(jì)整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；（2）若從這批樹苗中隨機(jī)選取株，記為高度在的樹苗數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？21．（12分）數(shù)列滿足.（1）計(jì)算，并由此猜想通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗(yàn)證與同向即可得解【題目詳解】由與平行得，所以，又因?yàn)橥蚱叫?，所?故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查向量共線（平行）的概念，考查計(jì)算求解的能力，屬基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

由題計(jì)算出抽樣的間距為13，由此得解．【題目詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)后可求的坐標(biāo).【題目詳解】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，故其對(duì)應(yīng)點(diǎn)復(fù)數(shù)為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，注意復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是由其實(shí)部和虛部確定的，本題為基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

由向量的線性運(yùn)算的法則計(jì)算．【題目詳解】-＝，，∴+（-）．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，掌握線性運(yùn)算的法則是解題基礎(chǔ)．5、A【解題分析】

利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【題目詳解】對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D項(xiàng)中均有AB∥平面MNQ.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．6、B【解題分析】

根據(jù)題意畫出其立體圖形.設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點(diǎn),利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【題目詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為1,且每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵在于能想象出空間圖形,并能準(zhǔn)確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點(diǎn)．7、B【解題分析】分析：令，可求得，再令，可求得，再對(duì)均賦值，即可求得.詳解：，令，得，又，再令，得，，令，得，故選B.點(diǎn)睛：本題考查利用賦值法求函數(shù)值，正確賦值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8、B【解題分析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進(jìn)而求解相應(yīng)點(diǎn)的殘差，得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應(yīng)點(diǎn)的殘差為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應(yīng)用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預(yù)測(cè)值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

利用已知條件，分類討論化簡(jiǎn)可得.【題目詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，即；當(dāng)時(shí)，則一定成立，而和均不一定成立；當(dāng)時(shí)，有，即；綜上可得選項(xiàng)A正確.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等關(guān)系的判定，不等關(guān)系一般是利用不等式的性質(zhì)或者特值排除法進(jìn)行求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).10、C【解題分析】分析：根據(jù)類比推理的定義，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，可得結(jié)論.詳解：根據(jù)類比推理的定義，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列類比到等比數(shù)列的類比推理，類比推理一般步驟：①找出等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的相似性或者一致性．②用等差數(shù)列的性質(zhì)去推測(cè)物等比數(shù)列的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．11、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算方法，可得的值，進(jìn)而可得，可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算方法，可得，則，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算，解本題時(shí)，注意先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再來計(jì)算復(fù)數(shù)平方，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

根據(jù)已知條件先求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值和拋物線的定義，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.【題目詳解】如圖：拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得,圓的圓心為，半徑，可得的最大值為，由，可令，則，即，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以的最小值為故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線定義以及基本不等式求最小值，考查了計(jì)算能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1044【解題分析】

根據(jù)新定義，分別利用排列、組合，求出首項(xiàng)為1，2，3，4，5的所有數(shù)列，再求出和即可．【題目詳解】依題意得，首項(xiàng)為1的數(shù)列有1，6，a，b，c，d，故有種，首項(xiàng)為2的數(shù)列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有種，首項(xiàng)為3的數(shù)列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有種，首項(xiàng)為4的數(shù)列有種，即4，6，a，b，c，d，有種，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有種，4，a，b，6，c，d，其中a，2，，則有種，4，a，b，c，6，d，其中a，b，2，，則有6種，首項(xiàng)為5的數(shù)列有種，即5，6，a，b，c，d，有種，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有種，5，a，b，6，c，d，其中a，2，3，，則有種，5，a，b，c，6，d，其中a，b，2，3，，則有24種，5，a，b，c，d，6，其中a，b，c，2，3，，則有24種，綜上，所有首項(xiàng)的和為．故答案為1044【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了排列組合，考查了新定義問題，屬于難題14、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為：，解得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求得的系數(shù)，進(jìn)而得到的值，然后再根據(jù)微積分基本定理求解即可．詳解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得的系數(shù)為，由題意得，解得．∴．點(diǎn)睛：解答有關(guān)二項(xiàng)式問題的關(guān)鍵是正確得到展開式的通項(xiàng)，然后根據(jù)題目要求求解．定積分計(jì)算的關(guān)鍵是確定被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求解．16、【解題分析】

根據(jù)向量模的性質(zhì)可知當(dāng)與反向時(shí)，取最大值，根據(jù)模長(zhǎng)的比例關(guān)系可得，整理可求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)取等號(hào)又整理得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算性質(zhì)，關(guān)鍵是能夠確定模長(zhǎng)取得最大值時(shí)，兩個(gè)向量之間的關(guān)系，從而得到兩個(gè)向量之間的關(guān)系.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).（2）分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）設(shè)“該同學(xué)成績(jī)合格”為事件；（2）可能取的不同值為1，2,3，時(shí)，時(shí)，時(shí).詳解：(1)設(shè)“該同學(xué)成績(jī)合格”為事件（2）解：可能取的不同值為1，2,3當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)=當(dāng)時(shí)=的分布列為123點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.18、見解析【解題分析】

利用不等式證明．【題目詳解】∵，∴，時(shí)取等號(hào)．又均為正數(shù)，∴【題目點(diǎn)撥】本題考查用基本不等式證明不等式，解題關(guān)鍵是掌握基本不等式的推廣形式：即．19、(1).(2)該地房屋面積為時(shí)的銷售價(jià)格為萬元.【解題分析】分析：（1）先求出和的平均數(shù)，將數(shù)據(jù)代入，計(jì)算出的值，最后根據(jù)，求出的值，即可得到線性回歸方程；（2）將代入所求的線性回歸方程可估計(jì)當(dāng)房屋面積為時(shí)的銷售價(jià)格.詳解：（1）設(shè)所求線性回歸方程為，則∴∴所求線性回歸方程為（2）當(dāng)時(shí)，銷售價(jià)格的估計(jì)值為（萬元）所以該地房屋面積為時(shí)的銷售價(jià)格為萬元點(diǎn)睛：求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).20、（1）概率為，，，（2）詳見解析（3）將順利被公司簽收【解題分析】

（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2求得，，，，即可求得答案；（2）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得這批樹苗中隨機(jī)選取株，高度在的概率為，因?yàn)閺臉涿鐢?shù)量這批樹苗中隨機(jī)選取株，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可得隨機(jī)變量，即可求的分布列，進(jìn)而求得；（3）利用條件，計(jì)算出，從而給出結(jié)論.【題目詳解】（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2可得：，，，組距為，，，.（3）以樣本