山東省泰安市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

山東省泰安市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若、、，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．2．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，含項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．3．端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)，則三種粽子各取到1個(gè)的概率是（）A． B． C． D．4．由①安夢(mèng)怡是高二（1）班的學(xué)生，②安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女，③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女，寫一個(gè)“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②5．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，則（）A．- B．1或2 C．1 D．26．二維空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)），二維測(cè)度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積），三維測(cè)度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四維測(cè)度（）A． B． C． D．7．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．100 B．80 C．60 D．408．已知函數(shù)f(x)=2x3+ax+a.過(guò)點(diǎn)M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-39．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．310．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是，若，則（）A． B． C． D．11．設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則稱該直線為“型直線”.給出下列直線：（1）；（2）；（3）；（4）其中所有是“型直線”的序號(hào)為_(kāi)_____.14．某中學(xué)開(kāi)設(shè)A類選修課4門，B類選修課5門，C類選修課2門，每位同學(xué)從中共選4門課，若每類課程至少選一門，則不同的選法共有_______種.15．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．4名學(xué)生被中大、華工、華師錄取，若每所大學(xué)至少要錄取1名，則共有不同的錄取方法__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，斜率為k的動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）若直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，求這兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)P的軌跡關(guān)于參數(shù)k的參數(shù)方程；（2）在條件（1）下，求曲線的長(zhǎng)度.18．（12分）已知函數(shù)，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時(shí)，，求的取值范圍．19．（12分）若，解關(guān)于的不等式.20．（12分）小王每天自己開(kāi)車上班，他在路上所用的時(shí)間（分鐘）與道路的擁堵情況有關(guān).小王在一年中隨機(jī)記錄了200次上班在路上所用的時(shí)間，其頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數(shù)（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨(dú)立，設(shè)一周內(nèi)上班在路上所用時(shí)間不超過(guò)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.21．（12分）為了響應(yīng)黨的十九大所提出的教育教學(xué)改革，某校啟動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索,學(xué)校將髙一年級(jí)部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個(gè)班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學(xué)，乙班實(shí)施自主學(xué)習(xí)模式.經(jīng)過(guò)一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，將甲、乙兩個(gè)班學(xué)生一年來(lái)的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個(gè)班學(xué)生的平均成績(jī)均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]進(jìn)行分組,繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制）為優(yōu)秀，，(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”〔Ⅱ）從乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言,記來(lái)自[80，90)發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量x，求x的分布列和期望.22．（10分）某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),消費(fèi)每超過(guò)600元(含600元),均可抽獎(jiǎng)一次,抽獎(jiǎng)方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,一次性摸出3個(gè)球,其中獎(jiǎng)規(guī)則為:若摸到3個(gè)紅球,享受免單優(yōu)惠；若摸到2個(gè)紅球,則打6折；若摸到1個(gè)紅球,則打7折；若沒(méi)摸到紅球,則不打折.方案二:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.(1)若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元,且均選擇抽獎(jiǎng)方案一,試求兩位顧客均享受6折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

對(duì)，利用分析法證明；對(duì)，不式等兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，乘以0再根據(jù)不等式是否取等進(jìn)行考慮；對(duì)，考慮的情況；對(duì)，利用同向不等式的可乘性.【題目詳解】對(duì)，，因?yàn)榇笮o(wú)法確定，故不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)，才能成立，故也不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)不成立，故也不一定成立；對(duì)，，故一定成立.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查不等式在特殊情況下能否成立的問(wèn)題，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.2、B【解題分析】

由題意，先寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由此得出二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，以及含項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，因此二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為：，令得，所以，含項(xiàng)的系數(shù)為，因此.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，以及求指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】試題分析：由題可先算出10個(gè)元素中取出3個(gè)的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個(gè)有種情況，則可由古典概率得；考點(diǎn)：古典概率的算法．4、D【解題分析】

根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關(guān)系，即可求解.【題目詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過(guò)程是：大前提：③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女；小前提：①安夢(mèng)怡是高二（1）班的學(xué)生；結(jié)論：②安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】分析：由為偶數(shù)，且，即可得結(jié)果.詳解：冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，為偶數(shù)，且，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題考查冪函數(shù)的定義、冪函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.6、A【解題分析】

因?yàn)?，，由此類比可得，，從而可得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槎S空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)），二維測(cè)度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積），三維測(cè)度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).所以由四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四為測(cè)度W，應(yīng)滿足，又因?yàn)?，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查類比推理以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.7、D【解題分析】

由二項(xiàng)式項(xiàng)的公式，直接得出x2的系數(shù)等于多少的表達(dá)式，由組合數(shù)公式計(jì)算出結(jié)果選出正確選項(xiàng)．【題目詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中含的項(xiàng)為,故的系數(shù)為40.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)項(xiàng)的公式正確寫出x2的系數(shù)是解題的關(guān)鍵，對(duì)于基本公式一定要記憶熟練．8、A【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，利用切點(diǎn)與點(diǎn)M連線的斜率等于曲線C在切點(diǎn)處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)建立有關(guān)t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當(dāng)x<-324或x>【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，在處理過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的切線時(shí)，一般要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線與點(diǎn)連線的斜率等于切線的斜率，考查計(jì)算能力，屬于中等題。9、B【解題分析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值，選B.10、C【解題分析】

根據(jù)切線方程計(jì)算，，再計(jì)算的導(dǎo)數(shù)，將2代入得到答案.【題目詳解】函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了切線方程，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、D【解題分析】D試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計(jì)算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．12、B【解題分析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到的取值范圍詳解：令，則，令，在單調(diào)增，在單調(diào)減的取值范圍為故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法得到關(guān)于的范圍二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(1)(3)(4)【解題分析】

由題可得若則是在以,為焦點(diǎn),的橢圓上.故“型直線”必與橢圓相交,再判斷直線與橢圓是否相交即可.【題目詳解】由題可得若則是在以,為焦點(diǎn),的橢圓上.故“型直線”需與橢圓相交即可.易得.左右頂點(diǎn)為,上下頂點(diǎn)為對(duì)(1),過(guò),滿足條件對(duì)(2),設(shè)橢圓上的點(diǎn),則到直線的距離,.若,則無(wú)解.故橢圓與直線不相交.故直線不滿足.對(duì)(3),與橢圓顯然相交,故滿足.對(duì)(4),因?yàn)檫^(guò),故與橢圓相交.故滿足.故答案為：(1)(3)(4)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的定義與新定義的問(wèn)題,判斷直線與橢圓的位置關(guān)系可設(shè)橢圓上的點(diǎn)求點(diǎn)與直線的距離,分析是否可以等于0即可.屬于中等題型.14、160【解題分析】

每位同學(xué)共選4門課，每類課程至少選一門，則必有某類課程選2門，另外兩類課程各選1門，對(duì)選2門的這類課程進(jìn)行分類，可能是A類，可能是B類，可能是C類.【題目詳解】（1）當(dāng)選2門的為A類，N1（2）當(dāng)選2門的為B類，N2（3）當(dāng)選2門的為C類，N3∴選法共有N1【題目點(diǎn)撥】分類與分步計(jì)數(shù)原理，要確定好分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，本題對(duì)選2門課程的課程類進(jìn)行分類，再對(duì)每一類情況分3步考慮.15、（1）；（2）.【解題分析】

（1）討論范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解不等式.（2）將函數(shù)代入不等式化簡(jiǎn)，再利用絕對(duì)值三角不等式得到不等式右邊的最小值，轉(zhuǎn)化為存在問(wèn)題求得答案.【題目詳解】解：（1），∴或或，解得：或或無(wú)解，綜上，不等式的解集是（，）．（2）（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因?yàn)椴坏仁浇饧强眨?，∴，∴或，即或，∴?shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，存在問(wèn)題，題型比較綜合，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、36種【解題分析】先從名學(xué)生中任意選個(gè)人作為一組，方法種；再把這一組和其它個(gè)人分配到所大學(xué)，方法有種，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得不同的錄取方法種，故答案為種.故答案為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）把兩邊同時(shí)乘以，然后結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線的方程為，與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡關(guān)于參數(shù)的參數(shù)方程；（2）化參數(shù)方程為普通方程，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求得曲線的長(zhǎng)度．【題目詳解】解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為.設(shè)直線l的方程為，設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為，，聯(lián)立直線l與曲線C的方程得解得，，，，設(shè)P的坐標(biāo)為，則，代入l的方程得.故的參數(shù)方程為.（2）由的參數(shù)方程得即.如圖，圓C：圓心為，半徑為2，圓D：圓心為，半徑為2，曲線為劣弧，顯然，所以的長(zhǎng)度為.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范圍是．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè)，則，故只需證即可．由題意得，即，又由，得，，分，，三種情況分別討論判斷是否恒成立即可得到結(jié)論．試題解析：（I）∵，∴，，由題意得，，解得，．∴，．（II）由（I）知，，設(shè)，則，由題設(shè)可得，即，令，得，．（i）若，則，從而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在的最小值為，而，故當(dāng)時(shí)，，即恒成立．（ii）若，則，從而當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，，即恒成立．（iii）若，，則在上單調(diào)遞增，而，從而當(dāng)時(shí)，不可能恒成立，綜上可得的取值范圍是．19、見(jiàn)解析【解題分析】

本題是含有參數(shù)的解不等式，可以先將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，再通過(guò)分類討論參數(shù)得出解．【題目詳解】時(shí)，且；時(shí)，等價(jià)于因?yàn)?，所以，所以不等式可化?jiǎn)為當(dāng)時(shí)，或．當(dāng)時(shí)，，或綜上所述，時(shí)，且；0時(shí)或時(shí)，或}【題目點(diǎn)撥】在解含有參數(shù)的不等式的時(shí)候，一定要注意參數(shù)的取值范圍并進(jìn)行分類討論．20、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）先由題得到x=15,20,25,30，再求出其對(duì)應(yīng)的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二項(xiàng)分布求的分布列及數(shù)學(xué)期望.詳解：（Ⅰ），，，，的分布列為15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用時(shí)間不超過(guò)的概率為，依題意，，分布列為，，012345.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查二項(xiàng)分布，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)若～則利用該公式可以提高計(jì)算效率.21、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.(2)分布列見(jiàn)解析，【解題分析】分析：（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)填表，再代入卡方公式求，最后與參考數(shù)據(jù)作比較得結(jié)論，（2）先根據(jù)分層抽樣得抽取人數(shù)，再確定隨機(jī)變量取法，利用組合數(shù)確定對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.詳解：（1